第2篇 第11節(jié) 導數(shù)的簡單應用

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1、第二篇　第11節(jié) 一、選擇題 1．函數(shù)y＝(3－x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，0)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1) 解析：y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)， 由y′>0?x2＋2x－3<0?－3

2、a2在x＝1處有極值10， ∴f(1)＝10，且f′(1)＝0， 即解得或 而當時，函數(shù)在x＝1處無極值，故舍去． ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， ∴f(2)＝18.故選C. 答案：C 3．(2014年高考大綱全國卷)已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c等于(　　) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 解析：∵y′＝3(x＋1)(x－1)， ∴當x＝－1或x＝1時取得極值， 由題意得f(1)＝0或f(－1)＝0， 即c－2＝0或c＋2＝0， 解得c＝2或c＝－2. 故選A. 答案：A 4．若函數(shù)f(x)＝

3、ax3＋bx2＋cx＋d有極值，則導函數(shù)f′(x)的圖象不可能是(　　) 解析：若函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，則此函數(shù)在某點兩側(cè)的單調(diào)性相反，也就是說導函數(shù)f′(x)在此點兩側(cè)的導函數(shù)值的符號相反，所以導函數(shù)的圖象要穿過x軸，觀察四個選項中的圖象只有D項是不符合要求的，即f′(x)的圖象不可能是D. 答案：D 5．(2014福建廈門質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－，1) B．[－，1) C．[－2,1) D．(－，－2] 解析：f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝1，且x＝1為函數(shù)的

4、極小值點，x＝－1為函數(shù)的極大值點． 函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,6－a2)上， 則函數(shù)f(x)極小值點必在區(qū)間(a,6－a2)內(nèi)， 即實數(shù)a滿足a<1<6－a2 且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2. 解a<1<6－a2得，－

5、范圍是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 解析：由題意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0， 在x∈(1，＋∞)上恒成立， 即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立， 由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可． 答案：C 二、填空題 7．已知向量a＝ex＋，－x，b＝(1，t)，若函數(shù)f(x)＝ab在區(qū)間(－1,1)上存在增區(qū)間，則t的取值范圍為________． 解析：f(x)＝ex＋－tx，x∈(－1,1)，f′(x)＝ex＋x－t，函數(shù)在(x1，x2)?

6、(－1,1)上單調(diào)遞增， 故ex＋x>t，x∈(x1，x2)時恒成立，故e＋1>t. 答案：(－∞，e＋1) 8．(2014福建廈門外國語學校高三模擬)若函數(shù)f(x)＝x4－ax3＋x2－2有且僅有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍________． 解析：f′(x)＝4x3－3ax2＋2x＝x(4x2－3ax＋2)，函數(shù)f(x)＝x4－ax3＋x2－2有且只有一個極值點的充要條件是9a2－32≤0， 解得－≤a≤. 答案：－， 9．(2014鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________．

7、 解析：f′(x)＝－3x2＋2ax， 根據(jù)已知＝2， 得a＝3， 即f(x)＝－x3＋3x2－4. 根據(jù)函數(shù)f(x)的極值點，可得函數(shù)f(m)在[－1,1]上的最小值為f(0)＝－4，f′(x)＝－3n2＋6n在[－1,1]上單調(diào)遞增， 所以f′(n)的最小值為f′(－1)＝－9. [f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13. 答案：－13 10．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析：f′(x)＝ ＝>0， 即cos x>－， 結合三角函數(shù)圖象或是單位圓中的三角函數(shù)線知道，2kπ－

8、即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 2kπ－，2kπ＋(k∈Z)． 答案：2kπ－，2kπ＋(k∈Z) 三、解答題 11．(2014四川眉山二診)已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2f′(x)＋在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝(x>0)， 當a>0時，f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，＋∞)； 當a<0時，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)；

9、 當a＝0時，f(x)不是單調(diào)函數(shù)． (2)由(1)得f′(2)＝－＝1， 即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3， ∴g(x)＝x3＋＋2x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不是單調(diào)函數(shù)， 即g′(x)＝0在區(qū)間(t,3)內(nèi)有變號零點． 由于g′(0)＝－2， ∴ 當g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0對任意t∈[1,2]恒成立， 由于g′(0)<0， 故只要g′(1)<0且g′(2)<0， 即m<－5且m<－9， 即m<－9； 由g′(3)>0， 即m>－. 所以－

10、．(2014嘉興測試)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋2)x＋(2a＋1)ln x (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)對任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤λ－，求正實數(shù)λ的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝x－(2a＋2)＋ ＝，x>0. ①當2a＋1≤0，即a≤－時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增； ②當0<2a＋1<1，即－1，即a>

11、0時，函數(shù)f(x)在(1,2a＋1)上單調(diào)遞減，在(0,1)，(2a＋1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)根據(jù)(1)，當a∈，時，函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減． 若x1＝x2，則不等式|f(x1)－f(x2)|≤λ－對任意正數(shù)λ恒成立，此時λ∈(0，＋∞)． 若x1≠x2，不妨設1≤x1f(x2)，>， 原不等式即f(x1)－f(x2)≤λ－， 即f(x1)－≤f(x2)－對任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]恒成立． 設g(x)＝f(x)－，問題即對任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]不等式g(x1)≤g(x2)恒成立，問題等價于函數(shù)g(x)在[1,

12、2]上為增函數(shù)， 故g′(x)≥0對任意a∈，，x∈[1,2]恒成立． g′(x)＝x－(2a＋2)＋＋≥0， 即x3－(2a＋2)x2＋(2a＋1)x＋λ≥0， 即(2x－2x2)a＋x3－2x2＋x＋λ≥0， 對任意a∈，恒成立． 由于x∈[1,2]，2x－2x2<0， 故只要(2x－2x2)＋x3－2x2＋x＋λ≥0， 即x3－7x2＋6x＋λ≥0對任意x∈[1,2]恒成立． 令h(x)＝x3－7x2＋6x＋λ，h′(x)＝3x2－14x＋6<0恒成立， 故函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)， 所以h(x)min＝h(2)＝λ－8， 只要λ－8≥0即可， 即得λ≥8， 故實數(shù)λ的取值范圍是[8，＋∞)．