MINITAB統(tǒng)計基礎(chǔ)[共27頁]

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1、MINITAB統(tǒng)計基礎(chǔ) 1. 正態(tài)總體的抽樣分布 1) 樣本均值 X 的分布——標準正態(tài)分布及T分布 樣本標準差計算公式： u T分布的定義：Student t distribution，如果X服從標準正態(tài)分布，S2服從個自由度的卡方分布，且它們相互獨立，那么隨機量 所服從的分布稱為 ν 個自由度的t分布。其分布密度函數(shù)為： 當 ν ∞ 時的極限分布即是標準正態(tài)分布， 當 ν=1 時就是Cauchy分布。 T分布只包含1個參數(shù)。數(shù)學期望和方差分別為0，νν-2（ν≤1時期望不存在，ν≤2方差不存在）。我們常常用 tν 表示 υ 個自由度的t分布。MINITAB

2、對于更一般的t分布還增加了一個“非中心參數(shù)”，當非中心參數(shù)為0時，就得到了我們現(xiàn)在所說的t分布。在用MINITAB計算時，只要注意這一點就行了。 自由度：可以簡單理解為在研究問題中，可以自由獨立取值的數(shù)據(jù)或變量的個數(shù)。 范例： ² Z~N(0，1)，求Z=1.98時的概率密度。 計算----->概率分布----->正態(tài)分布----->概率密度----->輸入常數(shù)1.98----->確定 概率密度函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標準差 = 1 x f( x ) 1.98 0.0561831 ² Z~N0，1，

3、求PZ<2.4。 計算----->概率分布----->正態(tài)分布----->累積概率----->輸入常數(shù)2.4----->確定 累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標準差 = 1 x P( X <= x ) 2.4 0.991802 ² Z~N(0，1)，求使得P(Z<x)=0.95成立的x值，即Z的0.95分位數(shù)。 計算----->概率分布----->正態(tài)分布----->逆累積概率----->輸入常數(shù)0.95----->確定 逆累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 =

4、 0 和標準差 = 1 P( X <= x ) x 0.95 1.64485 ² 自由度=12，求使得PZ<x=0.95成立的x值。 計算----->概率分布----->t分布----->逆累積概率----->輸入自由度12----->輸入常數(shù)0.95----->確定 逆累積分布函數(shù) 學生 t 分布，12 自由度 P( X <= x ) x 0.95 1.7822 ² 自由度=12，求使得Pt≤3。 計算----->概率分布---

5、-->t分布----->累積概率----->輸入自由度12----->輸入常數(shù)3----->確定 累積分布函數(shù) 學生 t 分布，12 自由度 x P( X <= x ) 3 0.994467 2) 雙樣本均值差的分布 3) 正態(tài)樣本正態(tài)樣本方差S2的分布——卡房卡方分布 若X1，X2，……,Xn是從正態(tài)總體Nμ，σ2中抽出的一組樣本量為n的獨立隨機樣本，記 則當μ 已知時： 當未知時，用 X 替 μ 后可以得到 其概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。 u 卡方分布的定義：把n個相互獨立的標準正

6、態(tài)隨機變量的平方和稱為自由度為n的卡方分布。它的密度表達式為： 參數(shù) ν≥1 稱為自由度。 卡方分布有向右的偏斜，特別在較小自由度情況下（ ν 越小，分布越偏斜）。我們常用 χ2ν 表達自由度為 ν 的卡方分布。 卡方分布有很多用途，其中一項就是用來分析單個正態(tài)總體樣本方差的狀況；還可以用來進行分布的擬合優(yōu)度檢驗，即檢驗資料是否符合某種特定分布；對于離散數(shù)據(jù)構(gòu)成的列聯(lián)表，也可以用來分析兩個離散型因子間是否獨立等。 u 卡方分布的性質(zhì) a) 卡方分布的加法性：設(shè)X和Y彼此獨立，且都服從卡方分布，其自由度分別為n1，n2。若令Z=X+Y，則Z服從自由度為n1+n2的卡方分布。 b)

7、 若 X～χ2n ，則 EX=n ，VX=2n 。 計算下列各卡方分布的相關(guān)數(shù)值： ² 自由度=10，求使得 Pχ2<x=0.95 成立的 x 值。 計算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 逆累積概率 -----> 自由度=10 -----> 常數(shù)=0.95 -----> 確定 逆累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度 P( X <= x ) x 0.95 18.307 ² 自由度=10，求 Pχ2≤28 。 計算 -----> 概率

8、分布 -----> 卡方分布 -----> 累積概率 -----> 自由度=10 -----> 常數(shù)=28 -----> 確定 累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度 x P( X <= x ) 28 0.998195 4) 兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布 兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布是F分布。 設(shè)有兩個獨立的正態(tài)總體 N(μ1，σ2) 和 N(μ2，σ2) ，它們的方差相等。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個樣本Y1，Y2，…，Yn是來自N(μ2，σ2) 的一個樣本，這兩樣相互獨立。它們的

9、樣本方差之比是自由度為n-1和m-1的F分布： n-1稱為分子自由度；m-1為分母自由度；F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。 實際上，F(xiàn)統(tǒng)計量就是由兩個卡方隨機變量相除所構(gòu)成的，如果 Χ～χ2ν1 ，Y～χ2ν2 ，且二者相互獨立，則稱二者比值的分布為F分布，即 其密度函數(shù)是： F分布的應用非常廣泛，尤其是在判斷兩正態(tài)總體方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等問題上面。 ² 計算F0.95（8，,18）的數(shù)值。 計算 -----> 概率分布 -----> F分布 -----> 逆累積概率 -----> 分子自由度=8 ---

10、--> 分母自由度=18 ----->常數(shù)=0.95 ----->確定 逆累積分布函數(shù) F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度 P( X <= x ) x 0.95 2.51016 2. 參數(shù)的點估計 1) 點估計的概念 用單個數(shù)值對于總體參數(shù)給出估計的方法稱為點估計。 設(shè)?是總體的一個未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是從總體中抽取的樣本量為n的一個隨機樣本，那么用來估計未知參數(shù)?的統(tǒng)計量 Θ（X1，X2，…Xn）稱為?的估計量，或稱為?的點估計。 我們總是在參數(shù)上方畫一個帽子“∧”表示該參數(shù)的估計量。在工程

11、中經(jīng)常出現(xiàn)的點估計問題之最好結(jié)果是： Ø 對于總體均值 μ ， μ =X ； Ø 對于總體方差 σ2 ， σ2 =S2 ； Ø 對于比率p ， p =Xn ，X是樣本量為n的隨機樣本中我們感興趣的那類出現(xiàn)的次數(shù)； Ø 對于 μ1 - μ2 ，μ1 - μ2 = X1-X2（兩個獨立隨機樣本均值之差）； Ø 對于p1 - p2，估計為 P1 -P2（兩個獨立隨機樣本比率之差）； 2) 點估計的評選標準 3. 參數(shù)的區(qū)間估計 設(shè)?是總體的一個待估參數(shù)，從總體中獲得樣本量為n 的樣本是X1，X2，…，Xn，對給

12、定的顯著性水平α（0﹤α﹤1），有統(tǒng)計量：?L= ?L（X1，X2，…，Xn）與?U= ?U（X1，X2，…，Xn），若對于任意?有P（?L≤?≤?U）= 1 - α，則稱隨機區(qū)間[?L，?U]是?的置信水平為1-α的置信區(qū)間，?L與?U分別稱為置信下限和置信上限。 置信區(qū)間的大小表達了區(qū)間估計的精確性，置信水平表達了區(qū)間估計的可靠性， 1 - α是區(qū)間估計的可靠程度，而 α 表達了區(qū)間估計的不可靠程度。 在進行區(qū)間估計時，必須同時考慮置信水平與置信區(qū)間兩個方面。對于置信區(qū)間的選取，一定要注意，決不能認為置信水平越大的置信區(qū)間就越好。實際上，置信水平定的越大，則置信區(qū)間相應也一定越寬，當置

13、信水平太大時，則置信區(qū)間會寬得沒有實際意義了。這兩者要結(jié)合在一起考慮，才更為實際。通常我們?nèi)≈眯潘綖?.95，極個別情況下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。 1) 單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間 當 X ~ N(μ，σ2)時，正態(tài)總體均值的置信區(qū)間有以下三種情況： a) 當總體方差 σ2 已知時，正態(tài)總體均值 μ 的 1 – α置信區(qū)間為： 式中，Z1-α2是標準正態(tài)分布的 1-α2 分位數(shù)，也就是雙側(cè) α 分位數(shù)。例如α=0.05時，Z0.975=1.96。 在MINITAB中，我們通過：統(tǒng)計 -----> 基本統(tǒng)計量 -----> 單樣本Z 來實現(xiàn)的。

14、 由于實際情況中，已知標準差的情況很少見，因此我們這里重點關(guān)注的是標準差位置時的情況。 b) 當總體方差 σ2 未知時，σ 用樣本標準差S代替，此時正態(tài)總體均值 μ 的 1 – α置信區(qū)間為： 式中，t1-α2n-1 表示自由度為n – 1的 t 分布的 1-α2 分位數(shù)，也就是t分布的雙側(cè) α 分位數(shù)。例如α=0.05時，樣本量n = 16時，t0.97515=2.131，其值略大于Z0.975=1.96。 在MINITAB中，我們通過：統(tǒng)計 -----> 基本統(tǒng)計量 -----> 單樣本t 來實現(xiàn)的。 ² 某集團公司正推進節(jié)省運輸費用活動，下表為2

15、0個月使用的運輸費用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)： 1742 1827 1681 1742 1676 1680 1792 1735 1687 1852 1861 1778 1747 1678 1754 1799 1697 1664 1804 1707 假設(shè)運輸費用是服從正態(tài)分布的，求運輸費用均值的95%置信區(qū)間。 統(tǒng)計 -----> 基本統(tǒng)計量 -----> 單樣本t -----> 樣本所在列 = 運輸費用 -----> 選項 -----> 置信水平 = 95 -----> 確定。 單樣本 T: 運輸費用

16、 均值標 變量 N 均值 標準差 準誤 95% 置信區(qū)間 運輸費用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2) c) 前兩種情況討論的是當總體為正態(tài)分布時，μ 的區(qū)間估計，然而當總體不是正態(tài)分布時，如果樣本量n 超過30，則可根據(jù)中心極限定理知道：X 仍近似服從正態(tài)分布，因而仍可用正態(tài)分布總提示的均值 μ 的區(qū)間估計方法，而且可以直接用樣本標準差代替總體標準差，即采用公式： 在MINITAB中，通常直接采用：統(tǒng)計 -----> 基本統(tǒng)計量

17、 -----> 圖形化匯總 中得到總體均值的置信區(qū)間結(jié)果。只不過要注意的是：總體非正態(tài)時，在小樣本情況下此結(jié)果并不可信，只有當樣本量超過30后，由于中心極限定理的保證，此結(jié)果才是可信的。 2) 單正態(tài)總體方差和標準差的置信區(qū)間 當 X ~ N(μ，σ2)時，正態(tài)總體方差的置信區(qū)間是： 式中，χ1-α22n-1和χα22n-1分別是 1-α2 分位數(shù)與 α2 分位數(shù)。 當 X ~ N(μ，σ2)時，正態(tài)總體標準差的置信區(qū)間是： ² 某集團公司正推進節(jié)省運輸費用活動，下表為20個月使用的運輸費用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)： 1742 1827 1681 1742 16

18、76 1680 1792 1735 1687 1852 1861 1778 1747 1678 1754 1799 1697 1664 1804 1707 假設(shè)運輸費用是服從正態(tài)分布的，求運輸費用方差和標準差的95%置信區(qū)間。 統(tǒng)計 -----> 基本統(tǒng)計量 -----> 單方差 -----> 樣本所在列 = 運輸費用 -----> 選項 -----> 置信水平 = 95 -----> 確定。 單方差檢驗和置信區(qū)間: 運輸費用 方法 卡方方法僅適用于正態(tài)分布。 Bonett 方法適用于任何連續(xù)分布。

19、 統(tǒng)計量 變量 N 標準差 方差 運輸費用 20 61.9 3830 95% 置信區(qū)間 標準差置信 方差置信區(qū) 變量 方法 區(qū)間 間 運輸費用 卡方 (47.1, 90.4) (2215, 8170) Bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507) 求總體標準差置信區(qū)間另一種方法：統(tǒng)計----->基本統(tǒng)計量----->圖形化匯總----->變量：運輸費用----->置信水平：95 ----

20、->確定 3) 單總體比率的置信區(qū)間 當 X ~ b(1，p)時，也就是X取“非0則1”的0-1分布，我們常需要估計總體中感覺的那類比率的置信區(qū)間，比如，一批產(chǎn)品中，不合格品率的大致范圍；顧客滿意度調(diào)查中，有抱怨顧客的比率范圍等。 這里我們記總體比率為p，樣本比率為 p 。可以證明，當樣本量足夠大時（要求np>5及np（1-p）>5），且p值適中（0.1<p<0.9），則可用正態(tài)分布去近似二項分布，因而近似有： p ~N(p，p1-pn)。因此，由 p 服從的正態(tài)分布構(gòu)造總體比率p的置信區(qū)間為： ² 一電視臺為了調(diào)查新節(jié)目收視

21、率，在節(jié)目放映時間內(nèi)進行了電話調(diào)查。在接受調(diào)查的2000名被調(diào)查者中有1230名正在收看本節(jié)目。求此節(jié)目收視率的95%置信區(qū)間。 統(tǒng)計----->基本統(tǒng)計量----->單比率----->匯總數(shù)據(jù)：事件數(shù)=1230，實驗數(shù)=2000----->選項----->置信水平：95 ；勾選使用正態(tài)分布的檢驗和區(qū)間----->確定 由于np>5及np（1-p）>5，可用于正態(tài)分布近似二項分布，故可以勾選使用基于正態(tài)分布的檢驗和區(qū)間。 單比率檢驗和置信區(qū)間 樣本 X N 樣本 p 95% 置信區(qū)間 1

22、 1230 2000 0.615000 (0.593674, 0.636326) 使用正態(tài)近似。 4) 雙總體均值差的置信區(qū)間 設(shè)有兩個總體X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，從總體X中抽取的樣本X1，X2，…，Xn，樣本均值為 X ，樣本方差為 SX2 ，樣本標準差為 SX ，從總體Y中抽取的樣本Y1，Y2，…，Yn，樣本均值為 Y ，樣本方差為 SY2 ，樣本標準差為 SY 。 對兩總體均值差異 μ1-μ2 的區(qū)間估計常有以下三種情況： a) 兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 σ12，σ22 都已知時，兩總體均值差異 μ1 - μ2 的1-α

23、 置信水平下的置信區(qū)間為： 只要樣本量足夠大，無論兩總體的方差是否相等，上式都成立。 b) 兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 σ12=σ22 均未知時，兩總體均值差異 μ1 - μ2 的1-α 置信水平下的置信區(qū)間為： 式中， ² 一家冶金公司需要減少其排放到廢水中的生物氧需求量含量。用于廢水處理的活化泥供應商建議，用純氧取代空氣吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此數(shù)值越小越好）。從兩種處理的廢水中分別抽取10個和9個樣品，數(shù)據(jù)如下： 空氣 184 194 158 218 186 218 165 172 191 179 氧氣 16

24、3 185 178 183 171 140 155 179 175 已知生物氧需求量含量服從正態(tài)分布，試確定：該公司采用空氣和采用純氧減少生物氧需求量含量均值之差的95%置信區(qū)間。 求兩總體μ1 - μ2 的置信區(qū)間：統(tǒng)計----->基本統(tǒng)計量----->雙樣本t----->樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣----->勾選假定等方差----->選項：置信水平=95，備擇=不等于----->確定。 雙樣本 T 檢驗和置信區(qū)間: 空氣, 氧氣 空氣 與 氧氣 的雙樣本 T

25、 均值標 N 均值 標準差 準誤 空氣 10 186.5 20.0 6.3 氧氣 9 169.9 14.7 4.9 差值 = mu (空氣) - mu (氧氣) 差值估計值: 16.61 差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.58, 33.80) 差值 = 0 (與 ≠) 的 T 檢驗: T 值 = 2.04 P 值 = 0.057 自由度 = 17 兩者都使用合并標準差 = 17.7356 c) 當兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 σ12≠σ22 均未知時，兩總體均值差異 μ1 - μ

26、2 的1-α 置信水平下的置信區(qū)間為： 式中，自由度υ的計算公式為： ² 假定A，B兩名工人生產(chǎn)相同規(guī)格的軸棒，關(guān)鍵尺寸是軸棒的直徑。由于A使用的是老式車床，B使用的是新式車床，二者精度可能有差異。經(jīng)檢驗，他們的直徑數(shù)據(jù)確實來自兩個方差不等的正態(tài)分布?，F(xiàn)他們各測定13根軸棒直徑，數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14.76 14.21 14.02 15.08 10.65 12.18 16.67 18.20 12.24 11.21 16.67 13.45 16.85 B

27、12.37 10.28 13.18 13.26 13.80 10.96 10.57 12.83 11.67 13.54 12.42 13.24 12.52 試確定A，B生產(chǎn)的軸棒直徑差異的95%置信區(qū)間。 求兩總體μ1 - μ2的置信區(qū)間：統(tǒng)計----->基本統(tǒng)計量----->雙樣本t----->樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣----->選項：置信水平=95，備擇=不等于----->確定。 雙樣本 T 檢驗和置信區(qū)間: A工人, B工人 A工人 與 B工人 的雙樣本 T

28、 均值標 N 均值 標準差 準誤 A工人 13 14.32 2.35 0.65 B工人 13 12.36 1.15 0.32 差值 = mu (A工人) - mu (B工人) 差值估計值: 1.965 差值的 95% 置信區(qū)間: (0.435, 3.496) 差值 = 0 (與 ≠) 的 T 檢驗: T 值 = 2.71 P 值 = 0.015 自由度 = 17 ² 獨立隨機樣本取自均值μ1， μ2 未知，標準差未知的兩個正態(tài)分布總體，若第一個總體樣本標準差S1=0.73,樣本量n=25，

29、X=6.9，第二個總體樣本標準差S2=0.89,樣本量n=20，Y=6.7。求μ1- μ2的95%置信區(qū)間。 統(tǒng)計----->基本統(tǒng)計量----->雙樣本t----->匯總數(shù)據(jù)：第一（樣本數(shù)量=25，均差=6.9，標準差=0.73），第二（樣本數(shù)量=20，均差=6.7，標準差=0.89）----->選項：置信水平=95 ----->確定。 雙樣本 T 檢驗和置信區(qū)間 均值標 樣本 N 均值 標準差 準誤 1 25 6.900 0.730 0.15 2

30、 20 6.700 0.890 0.20 差值 = mu (1) - mu (2) 差值估計值: 0.200 差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.301, 0.701) 差值 = 0 (與 ≠) 的 T 檢驗: T 值 = 0.81 P 值 = 0.423 自由度 = 36 5) 雙總體比率差的置信區(qū)間 設(shè)兩個總體的比率分別為p1和p2，為了估計p1 - p2 ，分別從兩個總體中各隨機抽取樣本量為n1和n2的兩個隨機樣本，并計算兩個樣本的比率 p1 和 p2 ，可以證明p1 - p2的置信水平為1 –α的置信區(qū)間為： ² 為了解員工對工資的滿

31、意度，對250名男員工、200名女員工進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下： 區(qū)分 樣本數(shù) 滿意 男 250 110 女 200 104 合計 450 214 求男女員工對工資滿意度差異的95%置信區(qū)間。 統(tǒng)計----->基本統(tǒng)計量----->雙比率----->匯總數(shù)據(jù)：第一（事件=110，實驗=250），第二（事件=104，實驗=200）----->選項：置信水平=95 ----->勾選使用P的合并估計值進行檢驗 ----->確定。 雙比率檢驗和置信區(qū)間 樣本 X N 樣本 p 1 110 250 0.440000 2 104 200 0.520000 差值 = p (1) - p (2) 差值估計值: -0.08 差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.172630, 0.0126298) 差值 = 0(與 ≠ 0) 的檢驗: Z = -1.69 P 值 = 0.091 Fisher 精確檢驗: P 值 = 0.106