高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第四章 專題二

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1、 精品資料 專題二　高考中的三角函數(shù)綜合問(wèn)題 1． (2013北京)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　當(dāng)φ＝π時(shí)，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x過(guò)原點(diǎn)．當(dāng)曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)原點(diǎn)”的充分不必要條件． 2． 已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)

2、＝ab的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 答案　B 解析　f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x ＝1＋sin，T＝＝π. 3． 若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，則f(x)的最大值為 (　　) A．1 B．2 C.＋1 D.＋2 答案　B 解析　依題意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)， 當(dāng)0≤x<時(shí)，≤x＋<， f(x)的最大值是2. 4． 已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，則向量與向

3、量的夾角的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意，得：＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以 點(diǎn)A的軌跡是圓(x－2)2＋(y－2)2＝2，如圖，當(dāng)A位于使向量與圓 相切時(shí)，向量與向量的夾角分別達(dá)到最大、最小值，故選D. 5．(2012四川改編)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE ＝1，連接EC、ED，則sin∠CED＝___________. 答案　 解析　方法一　應(yīng)用兩角差的正弦公式求解． 由題意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45， 在Rt△BCE中，BE＝2，B

4、C＝1， ∴CE＝，則sin∠CEB＝，cos∠CEB＝. 而∠CED＝45－∠CEB， ∴sin∠CED＝sin(45－∠CEB) ＝(cos∠CEB－sin∠CEB) ＝＝. 方法二　利用余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解． 由題意得ED＝，EC＝＝. 在△EDC中，由余弦定理得 cos∠CED＝＝， 又0<∠CED<π， ∴sin∠CED＝ ＝ ＝. 題型一　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例1　已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)． (1)求函數(shù)f(x)的值域； (2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－1的

5、兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，求函數(shù)y＝f(x)的單 調(diào)增區(qū)間． 思維啟迪　對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)的討論，首先要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角、一次、一 函數(shù))的形式；根據(jù)(2)中條件可確定ω. 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1) ＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1. 由－1≤sin(ωx－)≤1， 得－3≤2sin(ωx－)－1≤1， 所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－3,1]． (2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y＝f(x)的周期為π，所以＝π，即ω＝2. 所以f(x)＝2sin(2x－

6、)－1， 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 思維升華　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，通常先將三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后將t＝ωx＋φ視為一個(gè)整體，結(jié)合y＝sin t的圖象求解． 　已知函數(shù)f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)當(dāng)x∈[，π]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． 解　f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x ＝1－sin 2x＋2cos

7、2x＝2＋cos 2x－sin 2x ＝2＋cos(2x＋)． (1)函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. (2)因?yàn)椤躼≤π，所以π≤2x＋≤. 所以≤cos(2x＋)≤1. 所以3≤2＋cos(2x＋)≤2＋，即3≤f(x)≤2＋. 所以函數(shù)f(x)的最小值為3，最大值為2＋. 題型二　三角函數(shù)和解三角形 例2　(2013重慶)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2. (1)求C； (2)設(shè)cos Acos B＝，＝，求tan α的值． 思維啟迪　(1)利用余弦定理求C； (2)由(1)和cos Acos B＝可求得A＋B，代入求t

8、an α. 解　(1)因?yàn)閍2＋b2＋ab＝c2， 由余弦定理有cos C＝＝＝－. 又0

9、， 解得sin Asin B＝－＝. 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4. 思維升華　三角函數(shù)和三角形的結(jié)合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先確定三角形的邊角，再代入到三角函數(shù)中，三角函數(shù)和差公式的靈活運(yùn)用是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵． 　(2012安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且有 2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C. (1)求角A的大??； (2)若b＝2，c＝1，D為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)． 解　(1)方法一　由題設(shè)知，2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B. 因?yàn)?/p>

10、sin B≠0，所以cos A＝. 由于0

11、C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍． 思維啟迪　(1)由向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范圍，再求f(A)的取值范圍． 解　(1)mn＝sin cos ＋cos2 ＝sin ＋＝sin＋， ∵mn＝1，∴sin＝. ∵cos＝1－2sin2＝， ∴cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin

12、 Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝，∵0

13、f(x)的值域； (2)當(dāng)x∈[，]時(shí)，若f(x)＝8，求函數(shù)f(x－)的值； (3)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)向下平移5個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的表達(dá)式并判斷奇偶性． 解　(1)f(x)＝ab＋|b|2＋ ＝5sin xcos x＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋ ＝5sin xcos x＋5cos2x＋ ＝sin 2x＋5＋＝5sin(2x＋)＋5. 由≤x≤，得≤2x＋≤， ∴－≤sin(2x＋)≤1， ∴當(dāng)≤x≤時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇，10]． (2)f(x)＝5sin(2x＋)＋5＝

14、8， 則sin(2x＋)＝， 所以cos(2x＋)＝－， f(x－)＝5sin 2x＋5＝5sin(2x＋－)＋5＝＋7. (3)由題意知f(x)＝5sin(2x＋)＋5→ g(x)＝5sin[2(x－)＋]＋5－5＝5sin 2x， 即g(x)＝5sin 2x， g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin 2x＝－g(x)， 故g(x)為奇函數(shù)． (時(shí)間：70分鐘) 1． 函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值1，當(dāng)x＝時(shí)，y取最小值－1. (1)求函數(shù)的解析式y(tǒng)＝f(x)； (2)函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換

15、可得到y(tǒng)＝f(x)的圖象； (3)若函數(shù)f(x)滿足方程f(x)＝a(0

16、， ∴sin(3x－)＝a(00)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． 解　(1)f(x)＝4cos ωxsin ＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx ＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ ＝2sin＋. 因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0. 從而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin＋. 若0≤x≤，則≤2x＋

17、≤. 當(dāng)≤2x＋≤，即0≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)≤2x＋≤， 即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減． 3． (2013四川)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. (1)求cos A的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影． 解　(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 [cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－， 即cos(A－B)cos

18、B－sin(A－B)sin B＝－. 則cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－. (2)由cos A＝－，0b，則A>B，故B＝， 根據(jù)余弦定理，有(4)2＝52＋c2－25c， 解得c＝1或c＝－7(舍去)． 故向量在方向上的投影為||cos B＝. 4． 已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若＝－1，求的值． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，

19、 ∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α， 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由||＝||，可得2＝2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈，∴α＝. (2)由＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝.① 又＝＝2sin αcos α. 由①式兩邊分別平方，得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－.∴＝－. 5． 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所 示． (1)求f(x)的解析式； (2)設(shè)g(x)＝[f(x－)]2，求函數(shù)g(x)在x∈[－，]上的最大值，并確定此時(shí)x的值． 解　(1)由題圖知A＝2，＝，則＝4，∴ω＝. 又f(－)＝2sin[(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0， ∴sin(φ－)＝0， ∵0<φ<，∴－<φ－<， ∴φ－＝0，即φ＝， ∴f(x)＝2sin(x＋)． (2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)， ∴g(x)＝[f(x－)]2＝4＝2－2cos(3x＋)， ∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤， ∴當(dāng)3x＋＝π，即x＝時(shí)，[g(x)]max＝4.