高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.4

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1、 精品資料 2.4　二次函數(shù)與冪函數(shù) 1． 二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減； 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增； 在x

2、∈上單調(diào)遞減 對(duì)稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱 2． 冪函數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 增 x∈[0，＋∞)時(shí)，增； x∈(－∞，0]時(shí)，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時(shí)，減； x∈

3、(－∞，0)時(shí)，減 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是. (　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)． (　　) (3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)． (　　) (4)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的增函數(shù)． (　　) (5)若函數(shù)f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上單調(diào)遞增，則k＝. (　　) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，則f(x)max＝f(0)＝5，f(x

4、)min＝f(3)＝2. (　　) 2．(2013重慶)(－6≤a≤3)的最大值為 (　　) A．9 B． C．3 D． 答案　B 解析　因?yàn)椋? ＝ ， 所以當(dāng)a＝－時(shí)，的值最大，最大值為. 3．函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(－5，－3)上 (　　) A．先減后增 B．先增后減 C．單調(diào)遞減 D．單調(diào)遞增 答案　D 解析　由f(x)為偶函數(shù)可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3， ∴f(x)在區(qū)間(－5，－3)上單調(diào)遞增． 4．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上

5、有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________． 答案　[1,2] 解析　y＝x2－2x＋3的對(duì)稱軸為x＝1. 當(dāng)m<1時(shí)，y＝f(x)在[0，m]上為減函數(shù)． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，無解． 當(dāng)1≤m≤2時(shí)，ymin＝f(1)＝12－21＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 當(dāng)m>2時(shí)，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0或m＝2，無解．∴1≤m≤2. 5．若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案　1或2 解析　由，解得m＝1或2.

6、 經(jīng)檢驗(yàn)m＝1或2都適合. 題型一　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例1　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間． 思維啟迪　對(duì)于(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解，對(duì)于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)定義域的限制作用． 解　(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增， ∴f

7、(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時(shí)定義域?yàn)閤∈[－6,6]， 且f(x)＝， ∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]， 單調(diào)遞減區(qū)間是[－6,0]． 思維升華　(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)

8、系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解． 　(1)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式是________． 答案　y＝(x－2)2－1 (2)若函數(shù)f(x)＝2x2＋mx－1在區(qū)間[－1，＋∞)上遞增，則f(－1)的取值范圍是____________． 答案　(－∞，－3] 解析　∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x＝－， ∴－≤－1，∴m≥4. 又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]． 題型二　二次函數(shù)的應(yīng)用 例2　已知函數(shù)f(x)＝ax2

9、＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間； (2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的范圍． 思維啟迪　利用f(x)的最小值為f(－1)＝0可列兩個(gè)方程求出a、b；恒成立問題可以通過求函數(shù)最值解決． 解　(1)由題意有f(－1)＝a－b＋1＝0， 且－＝－1，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋1，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]， 單調(diào)增區(qū)間為[－1，＋∞)． (2)f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立， 轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]上恒成

10、立． 設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上遞減． ∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k<1，即k的取值范圍為(－∞，1)． 思維升華　有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn)． 　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)． 解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，

11、 所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值1； 當(dāng)x＝－5時(shí)，f(x)取得最大值37. (2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－a， 因?yàn)閥＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故a的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 題型三　冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例3　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0， ＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為 (　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 (2)若>，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.

12、 B. C．(－1,2) D. 思維啟迪　(1)由冪函數(shù)的定義可得n2＋2n－2＝1，再利用f(x)的單調(diào)性、對(duì)稱性求n；(2)構(gòu)造函數(shù)y＝，利用函數(shù)單調(diào)性求m范圍． 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1， 解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1適合題意，故選B. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝的定義域?yàn)閇0，＋∞)， 且在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以不等式等價(jià)于 解2m＋1≥0，得m≥－； 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥. 解2m＋1>m2＋m－1，得－1

13、定要設(shè)為y＝xα (α為常數(shù)的形式)；(2)可以借助冪函數(shù)的圖象理解函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性． 　已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*) (1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性； (2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而m與m＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)， ∴m(m＋1)為偶數(shù)． ∴函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)． (2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2，)， ∴＝，即＝. ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝

14、－2. 又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝. 由f(2－a)>f(a－1)得 解得1≤a<.∴a的取值范圍為[1，)．  分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用 典例：(15分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a為實(shí)常數(shù))． (1)若a＝1，作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)設(shè)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式． 思維啟迪　(1)因f(x)的表達(dá)式中含|x|，故應(yīng)分類討論，將原表達(dá)式化為分段函數(shù)的形式，然后作圖． (2)因a∈R，而a的取值決定f(x)的表現(xiàn)形式，或?yàn)橹本€或?yàn)閽佄锞€，若為拋物線又分為開口向上和向下兩種情況，故應(yīng)分類討論

15、解決． 規(guī)范解答 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－|x|＋1 ＝. [3分] 作圖(如右圖所示) [6分] (2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝ax2－x＋2a－1. [8分] 若a＝0，則f(x)＝－x－1在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)， g(a)＝f(2)＝－3. [10分] 若a≠0， 則f(x)＝a2＋2a－－1， f(x)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝. 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)， g(a)＝f(2)＝6a－3. 當(dāng)0<<1，即a>時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)， g(a)＝f(1

16、)＝3a－2. 當(dāng)1≤≤2，即≤a≤時(shí)， g(a)＝f＝2a－－1. 當(dāng)>2，即0

17、 (1)在研究一元二次方程根的分布問題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降，反之也成立． 失誤與防范 1．對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時(shí)，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 2．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)

18、在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1．若f(x)＝x2－ax＋1有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．a(chǎn)≤－2 B．－22或a<－2 D．10，則a>2或a<－2. 2．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是 (　　) 答案

19、　C 解析　若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的開口向上，故可排除A； 若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c開口向下，故可排除D； 對(duì)于選項(xiàng)B，看直線可知a>0，b>0，從而－<0，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B，因此選C. 3． 如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么 (　　) A．f(－2)

20、)＝f(－x)知f(x)的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱， 又拋物線開口向上，結(jié)合圖象(圖略)可知f(0)0，即函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸是直線x＝1. 所以f

21、(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2. 5． 已知f(x)＝，若0

22、次函數(shù)，對(duì)稱軸為x＝－≤－2， 由題意知m>0，∴0－2x的解集為(1,3)．若方程f(x)＋6a＝0有兩個(gè)相等的根，求

23、f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　∵f(x)＋2x>0的解集為(1,3)， 設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0， ∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. ① 由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0. ② ∵方程②有兩個(gè)相等的根， ∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a9a＝0， 解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1. 將a＝－代入①式得 f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－3]， 單調(diào)減區(qū)間是[－3，＋∞)． 10．已知函數(shù)f(x)＝

24、－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時(shí)有最大值2，求a的值． 解　函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a ＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 對(duì)稱軸方程為x＝a. (1)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1. (2)當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍)． (3)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．(－∞，－3

25、) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　當(dāng)a<0時(shí)，()a－7<1， 即2－a<23，∴a>－3，∴－3b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，則(　　) A．?m∈A，都有f(m＋3)>0 B．?m∈A，都有f(m＋3)<0 C．?m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D．?m0∈A，使得f(m0＋3)<0 答案　A 解析　由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，

26、且f(1)＝0，f(0)＝c<0， 即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根， 當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0. 由a>b，得1>， 設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的另一個(gè)根為x1， 則x1＋1＝－>－1，即x1>－2， 由f(m)<0可得－20，選A. 3．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1，＋∞)，則a的值域?yàn)開_______． 答案　－1或3 解析　由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)， 所以f(x)min＝1且Δ<0.∴－＋1

27、＋4， 當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1， 即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1. 4．已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)f(1)>0. (1)求證：－2<<－1； (2)若x1、x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根，求|x1－x2|的取值范圍． (1)證明　當(dāng)a＝0時(shí)，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0， 則f(0)f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0與已知矛盾， 因而a≠0， 則f(0)f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0 即(＋1)(＋2)<0，從而－2<<－1. (

28、2)解　x1、x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－， 那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(－)2＋4＝()2＋＋ ＝(＋)2＋. ∵－2<<－1，∴≤(x1－x2)2<， ∴≤|x1－x2|<， 即|x1－x2|的取值范圍是[，)． 5． 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍． 解　(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1， 解得a＝1，b＝2. ∴f(x)＝(x＋1)2. ∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f(x)＝x2＋bx，原命題等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立． 又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2. ∴－2≤b≤0. 故b的取值范圍是[－2,0]．