新編高中數(shù)學(xué)北師大版選修44同步配套教學(xué)案：第二章 167;1 參數(shù)方程的概念

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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 章末復(fù)習(xí)課 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P18] [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P19] 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求曲線(軌跡)方程 由于在平面直角坐標(biāo)系求曲線(軌跡)方程是解析幾何非常重要的一類(lèi)問(wèn)題，在高考中常以解答題中關(guān)鍵的一問(wèn)的形式出現(xiàn)，一般與平面解析幾何、向量、函數(shù)等知識(shí)交匯命題． 常用的方法有： (1)直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個(gè)等量關(guān)系，即可用求曲線方程的五個(gè)步驟直接求解． (2)定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，則可依定義寫(xiě)出軌跡方程． (3)代入法：如果動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)，而Q(x1，y

2、1)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x，y，y1，x1的方程組，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲線方程即為所求． (4)參數(shù)法：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的橫縱坐標(biāo)用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示，消去參數(shù)即得其軌跡方程． [例1]　如圖，圓O1和圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))使得|PM|＝|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． [解]如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓心的坐標(biāo)分別為O1(－2,0)，O2(2,0)． 設(shè)P(x，y)， 則|PM|2＝|

3、PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1. 同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1. ∵|PM|＝|PN|，即|PM|2＝2|PN|2. 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]． 即x2－12x＋y2＋3＝0. 即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. 求曲線的極坐標(biāo)方程 在極坐標(biāo)系中求曲線的極坐標(biāo)方程是高考考查極坐標(biāo)系的一個(gè)重要考向，重點(diǎn)考查軌跡極坐標(biāo)方程的探求及直線和圓的極坐標(biāo)方程的確定與應(yīng)用問(wèn)題．求曲線的極坐標(biāo)的方法和步驟，和求直角坐標(biāo)方程類(lèi)似，就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標(biāo)ρ，θ的關(guān)系式f(ρ，θ

4、)表示出來(lái)，就得到曲線的極坐標(biāo)方程． [例2]　已知Rt△ABO的直角頂點(diǎn)A在直線ρcos θ＝9上移動(dòng)(O為原點(diǎn))，又∠AOB＝30，求頂點(diǎn)B的軌跡的極坐標(biāo)方程． [解]　如圖①，設(shè)B(ρ，θ)，A(ρ1，θ1)． 則ρcos 30＝ρ1，即ρ1＝ρ. 又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30， ∴ρcos 30cos＝9，即ρcos＝6. ①　　　　　　　?、? 若點(diǎn)B的位置如圖②所示，同理得點(diǎn)B的軌跡方程為 ρcos＝6. 綜上所述，點(diǎn)B的軌跡方程為ρcos＝6. [例3]　已知定點(diǎn)A(a,0)，動(dòng)點(diǎn)P對(duì)極點(diǎn)O和點(diǎn)A的張角∠OPA＝.在OP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使|P

5、Q|＝|PA|.當(dāng)P在極軸上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程． [解]　設(shè)Q，P的坐標(biāo)分別是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，則θ＝θ1. 在△POA中，ρ1＝sin， |PA|＝，又|OQ|＝|OP|＋|PA|， ∴ρ＝2acos. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，將不熟悉的極坐標(biāo)(方程)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的問(wèn)題求解．解決此類(lèi)問(wèn)題，要熟知：互化的前提依舊是把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標(biāo)系下取相同的單位長(zhǎng)度． 互化公式為 直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程可直接將x＝ρ

6、cos θ，y＝ρsin θ代入即可，而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程通常將極坐標(biāo)方程化為ρcos θ，ρsin θ的整體形式，然后用x，y代替較為方便，常常兩端同乘以ρ即可達(dá)到目的，但要注意變形的等價(jià)性． [例4]　把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程． (1)ρ＝2acos θ(a＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4； (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5. [解]　(1)ρ＝2acos θ，兩邊同時(shí)乘以ρ， 得ρ2＝2aρcos θ， 即x2＋y2＝2ax. 整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2， 是以(a,0)為圓心，以a

7、為半徑的圓． (2)兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x2＋y2＝9x＋9y， 又可化為2＋2＝， 是以為圓心，以為半徑的圓． (3)將ρ＝4兩邊平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16， 是以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一條直線． [例5]　將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程． (1)θ＝；(2)ρ2＝ρ；(3)2cos θ＝7sin θ. [解]　(1)∵tan θ＝，∴＝tan＝－. ∴y＋x＝0. (2)∵ρ2＝ρ，∴ρ＝0或ρ＝1. ∴x2＋y2＝0或x2＋y2＝1. (3)

8、兩邊同乘以ρ得：2ρcos θ＝7ρsin θ. ∴2x－7y＝0. [例6]　若兩圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ和ρ＝2sin θ，求兩圓的公共弦長(zhǎng)． [解]　法一：將兩圓方程化為直角坐標(biāo)方程為： x2＋y2－2x＝0和x2＋y2－2y＝0. 由得y＝x， 即為公共弦所在直線方程． 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(1,1)． ∴弦長(zhǎng)為＝. 法二：設(shè)除極點(diǎn)外的公共點(diǎn)坐標(biāo)為P(ρ，cos θ)(ρ＞0)． 則2cos θ＝2sin θ， ∴tan θ＝1. 由于0≤θ≤，∴θ＝. ∴ρ＝2cos＝. ∴公共弦長(zhǎng)為. 　　 一、選擇題 1．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)

9、A，B，則A，B兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選D　設(shè)極點(diǎn)為O，∵∠AOB＝－＝π， ∴A，O，B三點(diǎn)共線． ∴A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|OA|＋|OB|＝3＋1＝4. 2．在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　點(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(ρ，π＋θ)， 故關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為，即. 3．在極坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓的方程為ρ＝12sin，則過(guò)圓心與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程是(　　) A．ρsin θ＝3 B．ρsin θ＝－3 C

10、．ρcos θ＝－3 D．ρcos θ＝3 解析：選C　圓ρ＝12sin(θ－)化為x2＋y2＋6x－6y＝0，其圓心為(－3,3)，∴所求直線方程為x＝－3化為極坐標(biāo)方程：ρcos θ＝－3. 4．直線θ＝α和直線ρsin(θ－α)＝1的位置關(guān)系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 解析：選B　直線θ＝α化為直角坐標(biāo)方程為y＝xtanα，ρsin(θ－α)＝1化為ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtanα＋. 所以?xún)芍本€平行． 二、填空題 5．已知一條直線的極坐標(biāo)方程為ρsin＝，則極點(diǎn)到該直線的距離是_______

11、_． 解析：∵ρsin＝ρsin θcos ＋ρcos θsin ＝ρsin θ＋ρcos θ＝， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x＋y＝1. 則極點(diǎn)到該直線的距離d＝＝. 答案： 6．(上海高考)在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝cos θ＋1與ρcos θ＝1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_(kāi)_______． 解析：聯(lián)立得ρ(ρ－1)＝1?ρ＝，又ρ≥0，故兩曲線的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為. 答案： 7．極坐標(biāo)方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0表示的曲線焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)___________________． 解析：極坐標(biāo)方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0化為 5ρ2(cos2θ－

12、sin2θ)＋ρ2－24＝0， 即3x2－2y2＝12. 得標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 所以a2＝4，b2＝6，c＝. 所以?xún)山裹c(diǎn)的極坐標(biāo)為(，0)，(，π)． 答案：(，0)，(，π) 8．如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與極軸的夾角α＝.若將l的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成ρ＝f(θ)的形式，則f(θ)＝________. 解析：在直線l上任取點(diǎn)P(ρ，θ)，在△OPM中，由正弦定理得＝，即＝，化簡(jiǎn)得ρ＝，故f(θ)＝. 答案： 三、解答題 9．在極坐標(biāo)系中P是曲線ρ＝12sin θ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線ρ＝12cos上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值． 解：以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸

13、建立直角坐標(biāo)系xOy，將方程ρ＝12sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝12y，它表示圓心為(0,6)，半徑為6的圓． 將ρ＝12cos化為直角坐標(biāo)方程為 (x－3)2＋(y－3)2＝36，它表示以(3，3)為圓心，6為半徑的圓． 由圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)P，Q所在直線為連心線所在直線時(shí)，PQ長(zhǎng)度可取最大值，且最大值為 ＋6＋6＝18. 10．已知A(－1,0)，B(1,4)，在平面上動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足＝4，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線l：y＝2(x－4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程． 解：法一：設(shè)P(x，y)， 則＝(－1－x，－y)，＝(1－x,4－y)， 故由＝4? (－x－1)(1－

14、x)＋(－y)(4－y)＝4， 即x2＋(y－2)2＝32. ∴P的軌跡是以C(0,2)為圓心，以3為半徑的圓． ∵點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y＝2(x－4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以C0(x0，y0)為圓心，半徑為3的圓，其中C0(x0，y0)是點(diǎn)C(0,2)關(guān)于直線y＝2(x－4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即直線y＝2(x－4)與CC0垂直，且過(guò)CC0的中點(diǎn)，于是有 即? 故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為(x－8)2＋(y＋2)2＝9. 法二：設(shè)P(x，y)， 則＝(－1－x，－y)，＝(1－x,4－y)， 故由＝4?(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4，即x2＋(y－2)2＝32(*)．

15、 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(u，v)， ∵Q，P關(guān)于直線l：y＝2(x－4)對(duì)稱(chēng)， ∴PQ與直線l垂直，于是有＝－　?、? ∵PQ的中點(diǎn)在l上，∴有＝2(－4)　?、? 由①②可解得 代入方程(*)得 (－3u＋4v＋32)2＋(4u＋3v－26)2＝(35)2， 化簡(jiǎn)得u2＋v2－16u＋4v＋59＝0 ?(u－8)2＋(v＋2)2＝9. 故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為(x－8)2＋(y＋2)2＝9. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P41] (時(shí)間：90分鐘，滿(mǎn)分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的) 1．在極坐標(biāo)中有如下三個(gè)結(jié)

16、論：①點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線C的極坐標(biāo)方程；②tan θ＝1與θ＝(ρ≥0)表示同一條曲線；③ρ＝3與ρ＝－3表示同一條曲線．在這三個(gè)結(jié)論中正確的是(　　) A．①③　　　　　　　　　 B．① C．②③ D．③ 解析：選D　在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，但在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)的所有坐標(biāo)不一定適合方程，故①是錯(cuò)誤的；tan θ＝1不僅表示θ＝這條射線，還表示θ＝這條射線，故②亦不對(duì)；ρ＝3與ρ＝－3差別僅在于方向不同，但都表示一個(gè)半徑為3的圓，故③正確． 2．原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，則點(diǎn)(－5，－5)的極坐標(biāo)是(　　) A.

17、 B. C. D. 解析：選B　設(shè)點(diǎn)(－5，－5)的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則tan θ＝＝，x<0，∴最小正角θ＝，ρ＝＝10. 3．已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)為(　　) A．(，1,1) B．(1,1,1) C．(，，1) D．(1,0,1) 解析：選B　設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y，z)． 則有x＝rcos θ＝cos ＝1， y＝rsin θ＝sin ＝1，z＝1. ∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1,1)． 4．ρ＝2cos θ－2sin θ表示的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．射線 D．半圓 解析：選B　兩邊同乘以ρ得：ρ2＝2ρco

18、s θ－2ρsin θ. 把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得： x2＋y2－2x＋2y＝0，表示圓． 5．曲線ρ2＋2ρ(3cos θ－2sin θ)＝0的對(duì)稱(chēng)中心的直角坐標(biāo)是(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－3,2) D．(－3，－2) 解析：選C　原方程可化為：x2＋y2＋6x－4y＝0. 即：(x＋3)2＋(y－2)2＝13. ∴它的對(duì)稱(chēng)中心為(－3,2)． 6．設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(4,4,4)，則它的球坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)， 則r＝＝8，ta

19、n θ＝＝＝1. 又∵x>0，∴θ＝. ∵4＝8cos φ，∴cos φ＝. ∵0≤φ≤π，∴φ＝. ∴點(diǎn)P的球坐標(biāo)為. 7．在極坐標(biāo)系中，與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線方程為(　　) A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2 C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4 解析：選B　如圖，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4，ρsin θ＝2表示直線y＝2，ρcos θ＝4表示直線x＝4，ρcos θ＝－4表示直線x＝－4，均不與圓相切，只有B符合． 8．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4cos θ＋4sin θ的圓心坐標(biāo)是(　　)

20、 A. B. C. D. 解析：選A　將原方程化成直角坐標(biāo)方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心坐標(biāo)為(2,2)，化成極坐標(biāo)為. 9．在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ＝3上的點(diǎn)到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距離為d，則d的最大值為(　　) A．5 B．6 C．4 D．3 解析：選C　極坐標(biāo)方程ρ＝3轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝9，所以圓心為(0,0)，半徑為3，ρ(cos θ＋sin θ)＝2轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x＋y＝2.則圓心到直線x＋y＝2的距離d′＝＝＝1. ∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d′＋3＝1＋3＝4. 10．在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A(6，π

21、)作圓ρ＝－4cos θ的切線，則切線長(zhǎng)為(　　) A．2 B．6 C．2 D．2 解析：選C　圓ρ＝－4cos θ化為(x＋2)2＋y2＝4，點(diǎn)(6，π)化為(－6,0)，所以切線長(zhǎng)＝＝＝2. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：由 得4cos2θ＝3. ∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝. 又0≤2θ<π，∴θ＝.故ρ＝2， ∴曲線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 答案： 12．若曲

22、線的極坐標(biāo)方程為ρ＝tan θ，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 解析：由ρ＝tan θ＝，得ρcos2θ＝sin θ， ∴ρ2cos2θ＝ρsin θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＝y(tǒng). 答案：x2＝y(tǒng) 13．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線ρsin＝1的距離是________． 解析：點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)，直線方程可化為ρsin θ－ρcos θ＝1，即x－y＋2＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝＝1. 答案：1 14．在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a＝________. 解析：曲線C1的直角坐標(biāo)方程為

23、x＋y＝1，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝a2，C1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)也在曲線C2上，代入解得a＝. 答案： 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿(mǎn)分12分)(廣東高考改編)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 解析：由ρsin2θ＝cos θ?ρ2sin2θ＝ρcos θ?y2＝x， 又由ρsin θ＝1?y＝1，聯(lián)立? 故曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1

24、)． 16．(本小題滿(mǎn)分12分)極坐標(biāo)方程ρ＝－cos θ與ρcos＝1表示的兩個(gè)圖形的位置關(guān)系是什么？ 解：ρ＝－cos θ可變?yōu)棣?＝－ρcos θ， 化為普通方程為x2＋y2＝－2x， 即(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓，圓心為(－1,0)，半徑為1. 將ρcos＝1化為普通方程為x－y－2＝0. ∵圓心(－1,0)到直線的距離為＝＞1， ∴直線與圓相離． 17．(本小題滿(mǎn)分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，中心為(3,0)，一個(gè)焦點(diǎn)在直角坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓的直角坐標(biāo)方程，并化為極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)橢

25、圓過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)為時(shí)，求弦所在直線的直角坐標(biāo)方程． 解：(1)由已知，得a＝5，c＝3，故b＝＝4， 所以橢圓的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 由于x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入上式，得 ＋＝1， 即25ρ2＝(16＋3ρcos θ)2，即5ρ＝16＋3ρcos θ. 所以橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (2)設(shè)過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的傾斜角為θ，弦的兩端點(diǎn)分別為P1(ρ1，θ)，P2(ρ2，θ＋π)，則有ρ1＝， ρ2＝. 由于ρ1＋ρ2＝，所以＋＝，則 ＝?cos2θ＝?cos θ＝ ?θ＝或θ＝. 所以所求直線的直角坐標(biāo)方程為y＝x或y＝－x. 18.(本小題滿(mǎn)分

26、14分)如圖所示，點(diǎn)P為直線x＋y＝1上的動(dòng)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求正方形OPQR的頂點(diǎn)R，Q軌跡的極坐標(biāo)方程，并化成直角坐標(biāo)方程． 解：以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線x＋y＝1的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝1. 設(shè)點(diǎn)P(ρ0，θ0)，Q(ρ1，θ1)，R(ρ2，θ2)， 由題意① ② 由①得 ∵ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1， ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為 ρ1＝1， 化簡(jiǎn)得ρ1sin θ1＝1或ρ1cos θ1＝1. 化為直角坐標(biāo)方程為y＝1或x＝1. 由②得 代入ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1得 ρ2＝1， 化簡(jiǎn)得點(diǎn)R的軌跡方程為 ρ2(sin θ2－cos θ2)＝1或ρ2(cos θ2－sin θ2)＝1. 化為直角坐標(biāo)方程為：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.