奧數(shù)精講(上)(共73頁(yè))

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第1講 比例和百分?jǐn)?shù) 成本、利潤(rùn)、價(jià)格等基本經(jīng)濟(jì)術(shù)語(yǔ)，以及它們之間的關(guān)系．各種已知數(shù)據(jù)或所求結(jié)果中包含比例與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，有時(shí)恰當(dāng)選取較小的量作為一個(gè)單位，司以實(shí)現(xiàn)整數(shù)化計(jì)算． 1．迎春農(nóng)機(jī)廠計(jì)劃生產(chǎn)一批插秧機(jī)，現(xiàn)已完成計(jì)劃的56％，如果再生產(chǎn)5040臺(tái)，總產(chǎn)量就超過(guò)計(jì)劃產(chǎn)量的16％．那么，原計(jì)劃生產(chǎn)插秧機(jī)多少臺(tái)? 【分析與解】 : 5040(1+16％-56％)=8400(臺(tái))． 2．圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用71．5元．問(wèn)圓珠筆的單價(jià)是每支多少元? 【分析與解

2、】:設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為204+213=143，則單位“1”的價(jià)格為71.5143：0.5元． 所以圓珠筆的單價(jià)是O.54=2(元)． 3．李大娘把養(yǎng)的雞分別關(guān)在東、西兩個(gè)院內(nèi)．已知東院養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的賣給商店，賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其和恰好等于原來(lái)東、西兩院養(yǎng)雞總數(shù)的50％.原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只? 【分析與解】：方法一：設(shè)原來(lái)東西兩院一共養(yǎng)雞只，那么西院養(yǎng)雞只． 依題意：．,解出. 即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞280只． 方法二：50％即，東、西兩院剩下的雞等于東

3、院的加上西院的，即20+西院原養(yǎng)雞數(shù)． 有東院剩下40只雞，西院剩下原的雞． 所以有西院原養(yǎng)雞(40—20)=240只，即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只． 4．用一批紙裝訂一種練習(xí)本．如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40％；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙．這批紙一共有多少?gòu)? 【分析與解】 方法一：裝訂120本，剩下40％的紙，即用了60％的紙． 那么裝訂185本，需用185(60％120)=92．5％的紙，即剩下1-92．5％=7．5％的紙，為1350張． 所以這批紙共有13507．5％=18000張．

4、 方法二：120本對(duì)應(yīng)(1-40％=)60％的總量，那么總量為12060％=200本． 當(dāng)裝訂了185本時(shí)，還剩下200-185：15本未裝訂，對(duì)應(yīng)為1350張，所以每本需紙張：135015=90張，那么200本需20090=18000張． 即這批紙共有18000張． 5．有男女同學(xué)325人，新學(xué)年男生增加25人，女生減少5％，總?cè)藬?shù)增加16人．那么現(xiàn)有男同學(xué)多少人? 【分析與解】男生增加25人，女生減少5％，而總?cè)藬?shù)增加了16人，說(shuō)明女生減少了25-16=9人，那么女生原來(lái)有95％=180人，則男生有325-180=145人． 增加25人后為

5、145+25=170人，所以現(xiàn)有男同學(xué)170人． 6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25％那么，這堆糖果中有奶糖多少塊? 【分析與解】方法一：原來(lái)奶糖占，后來(lái)占，因此后來(lái)的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比原來(lái)糖果多16粒，從而原來(lái)的糖果是16+( 1)=20塊. 其中奶糖有20=9塊． 方法二：原來(lái)奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11, 設(shè)奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份． 現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27, 奶糖的份數(shù)不變

6、，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，l份即1塊．奶糖占9份，就是9塊奶糖． 7．甲乙兩包糖的重量比是4：l，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?：5．那么兩包糖重量的總和是多少克? 【分析與解】?jī)砂菙?shù)量的總數(shù)是 克. 8．有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中自子都占28％．小明從某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32％．那么，共有棋子多少堆? 【分析與解】 方法一：設(shè)有堆棋子，每堆有棋子“1”．根據(jù)拿走黑子白子總數(shù)不變．

7、 列方程得32％，化簡(jiǎn)得28 =32(-)，兩邊同除以4， 得7=8(-)，解得=4． 即共有棋子4堆． 方法二：注意到所有棋子中的白子個(gè)數(shù)前后不變，所以設(shè)白子數(shù)為“1”． 那么有： ． 黑子變化了，對(duì)應(yīng)為堆；所以對(duì)應(yīng)l堆． 而開(kāi)始共有棋子l+，所以共有堆． 9．幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，中班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，那么大班有女生多少名? 【分析與解】設(shè)大班女生有名，則中班女生有(18-)名．根據(jù)男生數(shù)可列出 方程：+(18-)=32，解得=12． 所以大班有女生12

8、名． 10．某校四年級(jí)原有2個(gè)班，現(xiàn)在要重新編為3個(gè)班，將原一班的號(hào)與原二班的丟組成新一班，將原一班的{與原二班的吉組成新二班，余下的30人組成新三班．如果新一班的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10％，那么原一班有多少人? 【分析與解】 有新三班的為原一、二班總?cè)藬?shù)的1-，為30人． 所以原來(lái)兩班總?cè)藬?shù)是：30=72(人)． 則新一班與新二班人數(shù)總和是72-30=42(人)． 現(xiàn)在再把新二班人數(shù)算作1份． 新一班人數(shù)=42 =22(人)，新二班人數(shù)=42-22=20(人)． (原一班人數(shù))-(原二班人數(shù))=(22-20)=212=24

9、(人)． 原一班人數(shù)=(72+24)2=48(人)． 11．有兩包糖，每包糖內(nèi)裝有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知：①第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的；②在第一包糖中，奶糖占25％，在第二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍．當(dāng)兩包糖合在一起時(shí)，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百分比等于多少? 【分析與解】表述1：設(shè)第一包有2粒糖，則第二包有3粒糖，設(shè)第二包有3粒巧克力糖，則第一包有4粒巧克力糖． 28％，所以28％=20％． 于是第一包中，巧克力糖占=40％，水果糖占1-40％-25％=35％． 在兩包糖總粒

10、數(shù)中，水果糖占44％． 表述2：設(shè)第一包糖總數(shù)為“2”，那么第二包糖總數(shù)為“3”，并設(shè)第一包糖含有巧克力糖2c，第二包糖含有巧克力糖c． 那么有22c+3c=28％(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有如下所示的每種糖所占的百分?jǐn)?shù)． 所以水果糖占總數(shù)的(35％2+50％3)(2+3)=44％． 12．某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)．已知：①甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等：⑦甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為5:6；③甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的20％；④甲校獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的5

11、0％；⑤甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等獎(jiǎng)人數(shù)的4.5倍． 那么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少? 【分析與解】 表述1：不妨設(shè)甲校有60人獲獎(jiǎng)，由①、②，乙校有50人獲獎(jiǎng)． 由③知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有(60+50)20％=22人； 由⑤知甲校獲二等獎(jiǎng)的有22(4.5+1)4.5=18人； 由④知甲校獲一等獎(jiǎng)的有60-6050％-18=12人， 從而所求百分?jǐn)?shù)等于1250100％=24％． 表述2： (這有一個(gè)“5”) 1.25100％=24％，即乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的24％．

12、13．①某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等．②已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；③四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1．那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少? 【分析與解】表述1：由②知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1． ③知，四至九班的男生總數(shù)比七、八、九班總?cè)藬?shù)少1． 因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、七、八、九共五個(gè)班的人數(shù)，則女生總數(shù) 等于四個(gè)班的人數(shù)． 所以，男、女生之比是5：4． 表述2： ． 有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即為一至九班

13、全體男生數(shù)，恰為“二、三班總?cè)藬?shù)”加上“四、五、六班總?cè)藬?shù)”，即為五個(gè)班總?cè)藬?shù)，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)． 所以，男、女生之比是5：4． 14．某商品按原定價(jià)出售，每件利潤(rùn)為成本的25％；后來(lái)按原定價(jià)的90％出售，結(jié)果每天售出的件數(shù)比降價(jià)前增加了1．5倍．問(wèn)后來(lái)每天經(jīng)營(yíng)這種商品的總利潤(rùn)比降價(jià)前增加了百分之幾? 【分析與解】設(shè)這種商品的成本為“1”，共賣出商品“1”，則利潤(rùn)為25％，總利潤(rùn)為0．25，定價(jià)為1．25． 那么按原定價(jià)的90％出售，即以1.25 90％=1.125的價(jià)格出售，現(xiàn)在銷售的件數(shù)比原來(lái)增加了1.5倍，利潤(rùn)為0.125(1.5+1)=O.3125，而

14、原來(lái)的總利潤(rùn)為O.25，現(xiàn)在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.06250.25：25％． 所以，后來(lái)每天經(jīng)營(yíng)這種商品的總利潤(rùn)比降價(jià)前增加了25％． 15．贏利百分?jǐn)?shù)= 某電子產(chǎn)品去年按定價(jià)的80％出售，能獲得20％的贏利；由于今年買入價(jià)降低，按同樣定價(jià)的75％出售，卻能獲得25％的贏利．那么是多少? 【分析與解】 根據(jù)題中給出的公式知： 贏利百分?jǐn)?shù)買入價(jià)=賣出價(jià)一買入價(jià) 則買入價(jià)(贏利百分?jǐn)?shù)+1)=賣出價(jià)， 那么買入價(jià)= ＝＝＝

15、 第2講 比和比例 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比． 一、比和比例的性質(zhì) 性質(zhì)1：若a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性質(zhì)2：若a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性質(zhì)3：若a: b=c：d，則(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x為常數(shù)) 性質(zhì)4：若a: b=c：d，則ad = bc；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積) 正比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比； 反比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比． 二、比和比例在行程問(wèn)題中的體

16、現(xiàn) 在行程問(wèn)題中，因?yàn)橛兴俣?，所以： 當(dāng)一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比； 當(dāng)一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)時(shí)間的反比； 當(dāng)一組物體行走時(shí)間相等，那么行走的速度比等于對(duì)應(yīng)路程的正比． 1．A和B兩個(gè)數(shù)的比是8：5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個(gè)數(shù)． 【分析與解】 方法一：設(shè)A為8x，則B為5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A為136，B為85． 方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A 、B的差不變，開(kāi)始時(shí)差占3份，后來(lái)差占1份且與B一樣多，也就是說(shuō)減少的34，占開(kāi)始的3-1=2份，

17、所以開(kāi)始的1份為342=17，所以A為178=136，B為175=85． 2．近年來(lái)火車大提速，1427次火車自北京西站開(kāi)往安慶西站，行駛至全程的再向前56千米處所用時(shí)間比提速前減少了60分鐘，而到達(dá)安慶西站比提速前早了2小時(shí)．問(wèn)北京西站、安慶西站兩地相距多少千米? 【分析與解】設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？ (x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232． 即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米， 3．兩座房屋A和B各被分成兩個(gè)單元．若干只貓和狗住在其中．已知：A房第一單元內(nèi)貓的比率(即住

18、在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比)大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率．試問(wèn)是否整座房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率? 【分析與解】 如下表給出的反例指出：對(duì)所提出問(wèn)題的回答應(yīng)該是否定的．表中具體寫出了各個(gè)單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率． 4．家禽場(chǎng)里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3，已知雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5，公雞、母雞數(shù)量之比是1：3，公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4．試求公鵝、母鵝的數(shù)量比． 【分析與解】 公雞占家禽場(chǎng)家禽總數(shù)的 =，母雞占總數(shù)的；

19、 公鴨占總數(shù)的，母鴨占總數(shù)的； 公鵝占總數(shù)的，母鵝占總數(shù)的，公鵝、母鵝數(shù)量之比為：3：2． 5．在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1根走子，其影子的前端正好到達(dá)階梯的第3階(箭頭)．另外，此時(shí)樹立l根長(zhǎng)70cm自桿子，其影子的長(zhǎng)度為175cm，設(shè)階梯各階的高度與深度都是50cm，求柱子的高度為多少？ 【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長(zhǎng)度為175cm; 所以影子的長(zhǎng)度與桿子的長(zhǎng)度比為：175：70=2.5倍． 于是，影子的長(zhǎng)度為6+1.5+1.52.5=11.25，所以桿子的長(zhǎng)度為11.252.5=4.5m． 6．已知三種混合物由

20、三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B，重量比為3：5；第二種只含成分B和C，重量比為I：2；第三種只含成分A和C，重量之比為2：3．以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，這三種成分的重量比為3：5：2 ? 【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到 3：5，再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質(zhì). 第二種混合物不含A，第三種混合物不含B，所以1.5倍第三種混合物含A為3，5倍第二種混合物含B為5，即第二種、第三種混合物的重量比為5

21、：1.5． 于是此時(shí)含有C為52+1.53=14.5，在最終混合物中C的含量為3A／5B含量的2倍．有14.52-1=6.25，所以含有第一種混合物6.25． 即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6． 7．現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問(wèn)：男、女工各多少人? 【分析與解】 直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過(guò)方程求解，過(guò)程會(huì)比較繁瑣． 設(shè)開(kāi)始男工為“1”，此時(shí)女工為“k”，有1名男工相當(dāng)k名女工．男工

22、、女工人數(shù)對(duì)調(diào)以后，則男工為“k”，相當(dāng)于女工“k2”，女工為“I”． 有k2：1=36：25，所以k=． 于是，開(kāi)始有男工數(shù)為1100=500人，女工600人． 8．有甲乙兩個(gè)鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘，在3月15日的零點(diǎn)零分的時(shí)候兩鐘正好對(duì)準(zhǔn)．若已知在某一時(shí)刻，乙鐘和甲鐘時(shí)針與分針都分別重合，且在從3月15日開(kāi)始到這個(gè)時(shí)候，乙鐘時(shí)針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個(gè)時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少? 【分析與解】 標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘每隔分鐘重合一次． 假設(shè)經(jīng)歷了x分鐘． 于是，甲鐘每隔分鐘重合一次，甲鐘重合了x次； 同理，乙

23、鐘重合了x次； 于是，需要乙鐘比甲鐘多重合 x-x=x=10; 所以，x=2460； 所以要經(jīng)歷246065分鐘，則為天. 于是為65天小時(shí)分鐘． 9．一隊(duì)和二隊(duì)兩個(gè)施工隊(duì)的人數(shù)之比為3：4，每人工作效率之比為5：4，兩隊(duì)同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果二隊(duì)比一隊(duì)早完工9天．后來(lái)，由一隊(duì)工人與二隊(duì)工人組成新一隊(duì)，其余的工人組成新二隊(duì)．兩支新隊(duì)又同時(shí)分別接受兩項(xiàng)工作量與條件完全相同的工程，結(jié)果新二隊(duì)比新一隊(duì)早完工6天．試求前后兩次工程的工作量之比? 【分析與解】 一隊(duì)與二隊(duì)的工作效率之比為：(35)：(44)=15：16． 一隊(duì)干前一個(gè)工程需

24、9=144天． 新一隊(duì)與新二隊(duì)的工作效率之比為： 新一隊(duì)干后一個(gè)工程需6=282天． 一隊(duì)與新一隊(duì)的工作效率之比為 所以一隊(duì)干后一個(gè)工程需282天． 前后兩次工程的工作量之比是144：(282)=(14445)：(28246)=540：1081. 第3講 計(jì)算綜合（一） 繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問(wèn)題． 1．繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級(jí)分?jǐn)?shù)的處理，如下所示： 甚至可以簡(jiǎn)單地說(shuō)：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長(zhǎng)分?jǐn)?shù)線的”．找到最長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子

25、，其下視為分母． 2．一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù)．所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)． 3．某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號(hào)，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀． 4．對(duì)于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可． 5．本講要求大家對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算有很好的掌握，可參閱《思維導(dǎo)引詳解》五年級(jí) [第1講 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)]． 1．計(jì)算： 【分析與解】原式= 2．計(jì)算： 【分析與解】 注意，作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子、分母均含有．于是，我們想到改變運(yùn)算順序，如果分子與分母在后的兩個(gè)數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果一致，那么作為被除數(shù)的這

26、個(gè)繁分?jǐn)?shù)的值為1；如果不一致，也不會(huì)增加我們的計(jì)算量．所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序． 而作為除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)，我們注意兩個(gè)加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為19950.5． 具體過(guò)程如下： 原式= = === 3．計(jì)算： 【分析與解】原式=== 4．計(jì)算：已知=，則x等于多少? 【分析與解】方法一： 交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有，所以；所以，那么1.25． 5．求這10個(gè)數(shù)的和． 【分析與解】方法一： = == = =.

27、 方法二：先計(jì)算這10個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十位數(shù)字和為49=36，加上個(gè)位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百位數(shù)字和為48=32，加上十位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千位數(shù)字和為47=28，加上百位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的萬(wàn)位數(shù)字和為46=24，加上千位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十萬(wàn)位數(shù)字和為45=20，加上萬(wàn)位的進(jìn)位的2，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百萬(wàn)位數(shù)字和為44=16，加上十萬(wàn)位的進(jìn)位的2，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千萬(wàn)位數(shù)字和為43=12，加上百萬(wàn)位的進(jìn)

28、位的1，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的億位數(shù)字和為42=8，加上千萬(wàn)位的進(jìn)位的1，為； 最后計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十億位數(shù)字和為41=4，加上億位上沒(méi)有進(jìn)位，即為． 所以，這10個(gè)數(shù)的和為． 6.如圖1-1，每一線段的端點(diǎn)上兩數(shù)之和算作線段的長(zhǎng)度，那么圖中6條線段的長(zhǎng)度之和是多少? 【分析與解】 因?yàn)槊總€(gè)端點(diǎn)均有三條線段通過(guò)，所以這6條線段的長(zhǎng)度之和為： 7.我們規(guī)定，符號(hào)“○”表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符號(hào)“△”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．請(qǐng)計(jì)算

29、： 【分析與解】原式 8．規(guī)定（3）=234，（4）=345，(5)=456，(10)=91011，…．如果，那么方框內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是多少? 【分析與解】=. 9．從和式中必須去掉哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)，才能使得余下的分?jǐn)?shù)之和等于1? 【分析與解】 因?yàn)?，所?,,的和為l，因此應(yīng)去掉與. 10．如圖1-2排列在一個(gè)圓圈上10個(gè)數(shù)按順時(shí)針次序可以組成許多個(gè)整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù)，例如1.．那么在所有這種數(shù)中。最大的一個(gè)是多少? 【分析與解】 有整數(shù)部分盡可能大，十分位盡可能大，則有92918……較大，于是最大的為． 11．請(qǐng)

30、你舉一個(gè)例子，說(shuō)明“兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的和可以是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，而且這三個(gè) 分?jǐn)?shù)的分母誰(shuí)也不是誰(shuí)的約數(shù)”. 【分析與解】 有，， 評(píng)注：本題實(shí)質(zhì)可以說(shuō)是尋找孿生質(zhì)數(shù)，為什么這么說(shuō)呢? 注意到，當(dāng)時(shí)，有． 當(dāng)a、b、c兩兩互質(zhì)時(shí)，顯然滿足題意． 顯然當(dāng)a、b、c為質(zhì)數(shù)時(shí)一定滿足，那么兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于另一個(gè)質(zhì)數(shù)，必定有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2，不妨設(shè)a為2，那么有，顯然b、c為一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)． 即可得出一般公式：，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可. 12．計(jì)算： 【分析與解】 原式= = = ==. 13．已知.問(wèn)a的整

31、數(shù)部分是多少？ 【分析與解】 = = =. 因?yàn)椋? 所以＜. 同時(shí)＞ 所以a＞. 綜上有＜a＜．所以a的整數(shù)部分為101． 14．問(wèn)與相比，哪個(gè)更大，為什么? 【分析與解】方法一：令，， 有. 而B中分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的都比A中的分?jǐn)?shù)大，則它們的乘積也是B＞A， 有AA＜4B＜，所以有AA＜，那么A＜． 即與相比，更大． 方法二：設(shè)， 則 =， 顯然、、、…、、都是小于1的，所以有A2＜，于是A＜. 15．下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘：．問(wèn)：乘積的各位數(shù)字之和是多少? 【分析與解】在算式中乘以9，再除以9，則結(jié)果不變．因?yàn)槟鼙?整除，所以將

32、一個(gè)乘以9，另一個(gè)除以9，使原算式變成： = = = 得到的結(jié)果中有19809=220個(gè)“”和“”及一個(gè)“”和一個(gè)“”，所以各位數(shù)之和為： + 評(píng)注：9=； M的數(shù)字和為9k．(其中M≤)．可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果． 第4講 計(jì)算綜合（二） 本講主要是補(bǔ)充[計(jì)算綜合(I)]未涉及和涉及不深的問(wèn)題，但不包括多位數(shù)的運(yùn)算． 1．n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3；

33、 2．從1開(kāi)始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的平方和的計(jì)算公a式： 3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)． 1． 已知a=試比較a、b的大小. 【分析與解】 其中A=99,B=99+因?yàn)锳98+， 所以有a < b． 2.試求的和？ 【分析與解】 記則題目所要求的等式可寫為： 而 所以原式的和為1． 評(píng)注：上面補(bǔ)充的兩例中體現(xiàn)了遞推和整體思想． 2． 試求1+2+3+4+…4+100的值? 【分析與解】 方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2=(1+100)1002=5050． 方法

34、二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+… 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+ 1, 上下兩個(gè)數(shù)相加都是101，并且有100組，所以兩倍原式的和為101100，那么原式的和為 10l100 2=5050． 方法三：整數(shù)裂項(xiàng)(重點(diǎn))， 原式=(12+22+32+42+…+1002)2 = = = =5050. 3． 試求l2+23+34+45+56+…+99100． 【分析與解】方法一：整數(shù)裂項(xiàng) 原式=(123+233

35、+343+453+563+…+991003)3 =[123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+…+99100(101-98)]3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99 =12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99 = =+4950 =． 5．計(jì)算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+…+9.79.9+9.810.0 【分析與解】這個(gè)

36、題看上去是一個(gè)關(guān)于小數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算．即先計(jì)算13+24+35+46+…+9799+98100。再除以100． 方法一：再看每一個(gè)乘法算式中的兩個(gè)數(shù)，都是差2，于是我們?nèi)菀紫氲搅秧?xiàng)的方法． 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+…+9.79.9+9.810.0 =(13+24+35+46+…+9799+98100)100 =[(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+…+(9798+97)+(9899+98)]100 =[(12+23+34+45+…+9798+9899)+(1+2+3+4+…+97+98

37、)]100 =(9899100+9899)100 =3234+48.51 =3282.51 方法二：可以使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算． 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+…+9.79.9+9.810.0 =(13+24+35+46+…+9799+98l00)100 =(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)100 =(11+22+32+42+52+…+992-99)100 =(99100199-99)100 =16.5199-0.99 =16.5200-16.5-0.99 =3282.51 評(píng)注：首先，我

38、們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計(jì)算與整數(shù)的計(jì)算是有聯(lián)系的．下面簡(jiǎn)單介紹一下整數(shù)裂項(xiàng)． 12+23+34+…+(n-1)n =[123+233+343+…+(n-1)n3] ={123+23(4-1)+34(5-2)+…+(n-1)n[n+1-(n-2)]} = = 6.計(jì)算下列式子的值： 【分析與解】 雖然很容易看出可是再仔細(xì)一看，并沒(méi)有什么效果，因?yàn)檫@不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)．我們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我們又有 減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子

39、也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)”呢? = = = = = = = 7．計(jì)算下列式子的值： 【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們?cè)囍纯词欠翊嬖谶f推的規(guī)律. 顯然12+1=2; 所以原式=2=． 習(xí)題 計(jì)算1718+1819+1920+…+2930的值． 提示：可有兩種方法，整數(shù)裂項(xiàng)，利用1到n的平方和的公式. 答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358. 第5講 多位數(shù)的運(yùn)算 多位數(shù)的運(yùn)算，涉及利用＝10k-1，提出公因數(shù)，

40、遞推等方法求解問(wèn)題． 一、＝10k-1的運(yùn)用 在多位數(shù)運(yùn)算中，我們往往運(yùn)用＝10k-1來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題； 如：59049 我們把轉(zhuǎn)化為3， 于是原式為59049=（3）59049=59049=（-1）19683=19683-19683 而對(duì)于多位數(shù)的減法，我們可以列個(gè)豎式來(lái)求解； +1 如：，于是為． 簡(jiǎn)便計(jì)算多位數(shù)的減法，我們改寫這個(gè)多位數(shù)． 原式=233 =23 =（-1） =- =,于是為. 2．計(jì)算－=AA，求A． 【分析與解】 此題的顯著特征是式子都含

41、有，從而找出突破口. －=－ =（-1） =（） =（33）=A2 所以，A＝. 3．計(jì)算25的乘積數(shù)字和是多少? 【分析與解】我們還是利用=來(lái)簡(jiǎn)便計(jì)算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們就創(chuàng)造條件使用： 25=[（）][（）+1]25 =[（）][（）+1]25 =[2-2][2（）+1]25 =[4-2-2] =- =100-50 =(求差過(guò)程詳見(jiàn)評(píng)注) = 所以原式的乘積為 那么原式乘積的數(shù)字和為1

42、2004+52004=12024． 評(píng)注：對(duì)于的計(jì)算，我們?cè)僭敿?xì)的說(shuō)一說(shuō)． = = = = 4．計(jì)算的積? 【分析與解】 我們先還是同上例來(lái)湊成； ＝ ＝ ＝ ＝ ＝(求差過(guò)程詳見(jiàn)評(píng)注) 我們知道能被9整除，商為：． 又知1997個(gè)4，9個(gè)數(shù)一組，共221組，還剩下8個(gè)4，則這樣數(shù)字和為84=32,加上后面的3，則數(shù)字和為35，于是再加上2個(gè)5，數(shù)字和為45，可以被9整除． 能被9整除，商為； 我們知道能被9整除，商為：； 這樣9個(gè)數(shù)一組，共221組，剩下的1995個(gè)5還剩下6個(gè)5，而6個(gè)5和1個(gè)、6，

43、數(shù)字和36，可以被9整除． 能被9整除，商為． 于是，最終的商為： 評(píng)注：對(duì)于-計(jì)算，我們?cè)僭敿?xì)的說(shuō)一說(shuō)． - ＝+1- ＝+1 ＝. 二、提出公因式 有時(shí)涉及乘除的多位數(shù)運(yùn)算時(shí)，我們往往需提出公因式再進(jìn)行運(yùn)算，并且往往公因式也是和式或者差式等． 5.計(jì)算：（1998++8+…）（1999++9…）1999 【分析與解】＝1998 原式＝1998（1+10001++…）［1999（1+10001++…）］1999＝199819991999＝1998. 6．試求1993123乘積的數(shù)字和為多少?

44、 【分析與解】 我們可以先求出1993123的乘積，再計(jì)算與(—1)的乘積，但是1993123還是有點(diǎn)繁瑣． 設(shè)1993123=M，則(1000123＝)

45、9…乘積的數(shù)字和為多少? 【分析與解】 通過(guò)上題的計(jì)算，由上題評(píng)注： 設(shè)9999999…＝M， 于是M類似的情況，于是，確定好M的位數(shù)即可； 注意到9999999…＝M， 則M<10100…＝ 其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023； 即M<，即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數(shù)字和為10249=10240—1024=9216． 原式的乘積數(shù)字和為9216． 三、遞推法的運(yùn)用 有時(shí)候，對(duì)于多位數(shù)運(yùn)算，我們甚至可以使用遞推的方法來(lái)求解，也就是通常的找規(guī)律的方法． 8．我

46、們定義完全平方數(shù)A2=AA，即一個(gè)數(shù)乘以自身得到的數(shù)為完全平方數(shù)；已知：2149是一個(gè)完全平方數(shù)，求它是誰(shuí)的平方? 【分析與解】 我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來(lái)求解： 121＝112；12321＝1112；＝11112…… 于是，我們歸納為1234…n…4321=（）2 所以，21：；則，2149=72=．所以，題中原式乘積為的平方． 評(píng)注：以上歸納的公式1234…n…4321＝（）2，只有在n<10時(shí)成立． 9.①=A2，求A為多少? ②求是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？ 【分析

47、與解】 方法一：?jiǎn)栴}①直接求解有點(diǎn)難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來(lái)求解： ①注意到有可以看成，其中n＝2004； 尋找規(guī)律：當(dāng)n=1時(shí)，有49=72； 當(dāng)n=2時(shí)，有4489=672； 當(dāng)n=3時(shí)，有=6672； …… …… 于是，類推有= 方法二：下面給出嚴(yán)格計(jì)算： =++1； 則++1＝（4+8）+1 ＝［4（+1）+8］+1 ＝［4（）+12］+1 ＝（）236+12+1 ＝（）262+2（6）+1 ＝（）2 ②由①知＝，于是數(shù)字和為(4n+8n一8+9)

48、=12n+1=2005； 于是，n=167，所以=，所以存在，并且為. 10．計(jì)算9的乘積是多少? 【分析與解】采用遞推的方法693=162； 66933=19602； 6669333=； …… …… 于是，猜想9= 9= 評(píng)注：我們與題l對(duì)比，發(fā)現(xiàn)題1為93使用遞推的方法就有障礙,=10k—l這種方法適用面要廣泛一點(diǎn)． 練習(xí)1．設(shè)N=9，則N的各位數(shù)字之和為多少

49、? 練習(xí)2．乘積的積是多少?各位數(shù)字之和又是多少? 練習(xí)3．試求的各位數(shù)字之和是多少? 第6講 工程問(wèn)題 多人完成工作、水管的進(jìn)水與排水等類型的應(yīng)用題．解題時(shí)要經(jīng)常進(jìn)行工作時(shí)間與工作效率之間的轉(zhuǎn)化． 1．甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù)．如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成．現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)．問(wèn)乙一共加工零件多少個(gè)? 【分析與解】乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工－=. 甲調(diào)出后，剩下工

50、作乙需做(8—2)()=(小時(shí))，所以乙每小時(shí)加工零件420=25個(gè)，則2小時(shí)加工225=60(個(gè))，因此乙一共加工零件60+420＝480(個(gè))． 2．某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成．如果由甲、乙兩人合作，需48天完成．現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么還需做多少天? 【分析與解】 由右表知，甲單獨(dú)工作15天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20 天，也就是甲單獨(dú)工作3天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4天． 所以，甲單獨(dú)工作63天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作6334=84天， 即乙單獨(dú)工作84+28=112天即可完成這項(xiàng)工程． 現(xiàn)在甲先單獨(dú)做4

51、2天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4234=56天，即乙還需單獨(dú)工作112—56=56天即可完成這項(xiàng)工程． 3．有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天．現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完．當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成? 【分析與解】 甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為++=，那么它們6天完成的工程量為6=，而實(shí)際上因?yàn)橹型境烦黾钻?duì)6天完成了的工程量為1． 所以－1=是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊(duì)在6天內(nèi)撤出了5天． 所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后

52、，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5天才完成． 4．一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半．現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，則共用了多少天? 【分析與解】 甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3天相當(dāng)于乙隊(duì)做2天． 即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨(dú)做12=8(天)完成，所以兩段所用時(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是： 8(1+l+)＝3(天)，因此共用32＝6(天)． 5．抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)

53、甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？ 【分析與解】已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的； 由于丙抄寫5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的－－＝. 所以乙一人單獨(dú)抄寫需要1=24天才能完成． 6．游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管．如果單開(kāi)甲管需要20小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開(kāi)需要8小時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開(kāi)需要6小時(shí)注滿水池．那么，單開(kāi)丙管需要多少小時(shí)注

54、滿水池? 【分析與解】 乙管每小時(shí)注滿水池的-=, 丙管每小時(shí)注滿水池的-=. 因此，單開(kāi)丙管需要1==10(小時(shí))． 7．一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成? 【分析與解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、. 對(duì)于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)． 即+－=，所以甲、丁合作的工作效率為． 所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程． 8．一

55、項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天? 【分析與解】 方法一：對(duì)于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為． 而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率為－＝ 那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1=48天． 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為． 那么丙單獨(dú)工作的工作

56、效率為－＝，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天． 9．某工程如果由第1、2、3小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小隊(duì)合干需要42天才能完成．那么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程? 【分析與解】 由已知條件可得， 對(duì)于工作效率有： (1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)． 所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為： （＋＋2＋）3＝ 所以5個(gè)小隊(duì)合作需要6天完成

57、這項(xiàng)工程. 評(píng)注：這類需綜合和差倍等知識(shí)的問(wèn)題在工程問(wèn)題中還是很常見(jiàn)的. 10．一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水．若只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿；若只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．則該水箱最多可容納多少噸水? 【分析與解】 設(shè)甲管注入18噸水所需的時(shí)間為“1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，那么乙管注入18噸的水所需時(shí)間為“O.5”，所以乙管注入27噸水所需的時(shí)間為27180.5=0.75. 以下采用兩種方法： 方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的

58、水為“1”，那么有： 因此18+“1”=27+“O.75”，則“0.25”=9噸，所以“1” =36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水． 所以水箱最多可容納18+36=54噸的水． 方法二：也就是說(shuō)甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的． 再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+27=54噸水． 11.某水池的容積是100立方米，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管．甲、乙兩管

59、單獨(dú)灌滿水池分別需要10小時(shí)和15小時(shí)．水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6小時(shí)將水池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2小時(shí)將水池中的水放完．問(wèn)水池中原有水多少立方米? 【分析與解】 甲每小時(shí)注水10010=10(立方米)， 乙每小時(shí)注水10015=(立方米)， 設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排”， 則(“排”－10－)3=(“排”－10)，整理得3“排”－3=“排”－10,2“排”=40，則“排”=20． 所以水池中原有水(20—10)2=20(立方米)． 12．一

60、個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管．當(dāng)打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池．現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么最少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管? 【分析與解】 記水池的容積為“1”，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)”，排水管的工作效率為“排”，那么有： 4“進(jìn)”－“排”=， 2“進(jìn)”－“排”=. 所以有，2“進(jìn)”=(－)=，那么“進(jìn)”=，則“排”=. 題中需同時(shí)打開(kāi)x個(gè)進(jìn)水管2小時(shí)才能注滿，有： x“進(jìn)”－“排”=，即x－=，解得x=8.5 所以至少需打開(kāi)9個(gè)進(jìn)水

61、管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿． 13．蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管．要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需要3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí)．要排光一池水，單開(kāi)乙管需要4小時(shí)，單開(kāi)丁管需要6小時(shí)．現(xiàn)在池內(nèi)有池水．如果按甲、乙、丙、丁的順序循環(huán)開(kāi)各水管，每次每管開(kāi)1小時(shí)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池? 【分析與解】 方法一：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開(kāi)l小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－=. 最優(yōu)情況為：在完整周期后的1小時(shí)內(nèi)灌滿一池水．因?yàn)榇藭r(shí)為甲管進(jìn)水時(shí)間，且甲的效率是四條管子中最大的． 那么在最優(yōu)情況下：完整周期只需注入1

62、－－＝池水． 所需周期數(shù)為＝＝4 那么，至少需要5個(gè)完整周期，而5個(gè)完整周期后，水池內(nèi)有水＋5=＋＝ 剩下l－＝池水未灌滿，而完整周期后l小時(shí)內(nèi)為甲注水時(shí)間，有＝ (小時(shí)). 所以，需5個(gè)完整周期即20小時(shí)，再加上小時(shí)，即20小時(shí)后水開(kāi)始溢出． 方法二：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開(kāi)1小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－= . 加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：＋=. 再過(guò)四個(gè)4小時(shí)，也就是20小時(shí)后，池內(nèi)有水：＋4=，在20小時(shí)后，只需要再灌水1－＝,水就開(kāi)始溢出． = (小時(shí))，即再開(kāi)甲管小時(shí)，水開(kāi)始溢出，所以20+=

63、20(小時(shí))后，水開(kāi)始溢出水池． 方法三：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開(kāi)1小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－＝. 一個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋=,有待注入； 二個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋=,即有先待注入； 三個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，有待注入； 四個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，即有待注入； 五個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，即有待注入． 而此時(shí)，只需注入的水即可，小于甲管1小時(shí)注入的水量，所以有= (小時(shí))，即再開(kāi)甲管小時(shí)，水開(kāi)始溢出，所以20+＝20 (小時(shí))后,水開(kāi)始溢出水池． 評(píng)注：這道題中要求的是第一次溢出，因?yàn)樵谝粋€(gè)周期

64、內(nèi)不是均勻增加或減少，而是有時(shí)增加有時(shí)又減少，所以不能簡(jiǎn)單的運(yùn)用周期性來(lái)求解，這樣往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解答，至于為什么?我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，大家在解完這道題就會(huì)知曉． 有一口井，深20米，井底有一只蝸牛，蝸牛白天爬6米，晚上掉4米，問(wèn)蝸牛爬出井需多少時(shí)間? 14.一個(gè)水池，地下水從四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水是固定的．當(dāng)這個(gè)水池水滿時(shí)，打開(kāi)A管，8小時(shí)可將水池排空；打開(kāi)B管，10小時(shí)可將水池排空；打開(kāi)C管，12小時(shí)可將水池排空．如果打開(kāi)A，B兩管，4小時(shí)可將水池排空，那么打開(kāi)B，C兩管，將水池排空需要多少時(shí)間? 【分析與解】 設(shè)這個(gè)水池的容量是“1”

65、 A管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量； B管每小時(shí)排水量是： +每小時(shí)滲入水量； C管每小時(shí)排水量是： +每小時(shí)滲入水量； A、B兩管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量． 因?yàn)?每小時(shí)滲入水量++每小時(shí)滲入水量=+每小時(shí)滲入水量，因 此，每小時(shí)滲入水量是：－（＋）＝. 那么有A、B、C管每小時(shí)的排水量如下表所示： 于是打開(kāi)B、C兩管，將水池排空需要 1（＋-）=1=4.8（小時(shí)）. 第7講 牛吃草問(wèn)題 牛吃草問(wèn)題在普通工程問(wèn)題的基礎(chǔ)上，工作總量隨工作時(shí)間均勻的變化，這樣就增加了難度． 牛吃草問(wèn)題的關(guān)鍵是求出工作總量的變化率. 下面給出幾例牛吃草及其相關(guān)問(wèn)題．