文科 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)——奇偶性、單調(diào)性、周期性

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1、第二章 函數(shù) 第2節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)——奇偶性、單調(diào)性、周期性 題型15 函數(shù)的奇偶性 1. （2013山東文3）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解. 解析 當(dāng)時(shí)，，所以. 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.故選A. 2. (2013浙江文11） 已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)____________. 2.分析 直接代入求解. 解析 因?yàn)椋?，? 3. （2014廣東文5）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）. A. B. C

2、. D. 4.（2014重慶文4）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）. 5.（2014新課標(biāo)Ⅰ文5）設(shè)函數(shù),的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A.是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù) C.是奇函數(shù) D. 是奇函數(shù) 6.（2014湖南文15）若是偶函數(shù)，則 . 7.（2015安徽文4）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（ ）. A． B． C． D． 7. 解析 選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，故不具備奇偶?故A錯(cuò)誤； 選項(xiàng)B：是偶函數(shù)

3、，但無(wú)解，即不存在零點(diǎn).故B錯(cuò)誤； 選項(xiàng)C：是奇函數(shù).故C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D：是偶函數(shù)，且由，可得.故D正確. 故選D. 評(píng)注 1. 考查函數(shù)的奇偶性；2. 考查零點(diǎn). 8.（2015北京文3）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 8. 解析 函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，與為非奇 非偶函數(shù).故選B. 9.（2015福建文3）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）. A． B． C． D． 9.解析 函數(shù)和是非奇非偶函數(shù)； 是偶函數(shù)；是奇函數(shù).故選D. 評(píng)注 考查函數(shù)的奇偶性． 10.（2015

4、廣東文3）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ）. A． B． C． D． 10. 解析 函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因?yàn)椋?，所以函?shù)既不是奇函數(shù)， 也不是偶函數(shù).故選D. 評(píng)注 1.考查函數(shù)的奇偶性；2. 特殊值法的應(yīng)用． 11.（2015湖南文8）設(shè)函數(shù)，則是（ ）. A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) C.偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) 11. 解析 由已知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又因?yàn)?，所以為奇函?shù).

5、 ，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù). 故選A. 12.（2015陜西文9）設(shè)，則（ ）. A. 既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B. 既是奇函數(shù)又是增函數(shù) C. 是有零點(diǎn)的減函數(shù) D. 是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù) 12. 解析 因?yàn)?，，所以? 又的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)； 因?yàn)槭窃龊瘮?shù).因?yàn)?，所以有零點(diǎn).故選B. 13.（2015湖北文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是 偶函數(shù)， ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，，； (2)設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，. 13. 解析 (1)由，的奇偶性及條件

6、 ① 得 ② 聯(lián)立式①式②解得，. 當(dāng)時(shí)，，，故. ③ 又由基本不等式，有，即. ④ (2)由(1)得 ， ⑤ ， ⑥ 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于， ⑦ 等價(jià)于 ⑧ 設(shè)函數(shù) ，由式⑤式⑥， 有 當(dāng)時(shí)， （1）若，由式③式④，得，故在上為增函數(shù)， 從而，即，故式⑦成立

7、. （2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)， 從而，即，故式⑧成立. 綜合式⑦式⑧，得. 14.（2016山東文9）已知函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 時(shí)， ，則（ ）. A. B. C. D. 14. D 解析 由知，當(dāng)時(shí)， 的周期為，所以.又當(dāng)時(shí)，，所以. 于是.故選D. 15.（2016全國(guó)丙文16）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是____________. 15. 解析 當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程. 1

8、6.（2017全國(guó)2文14）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則 . 16.解析 因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以. 題型16 函數(shù)的單調(diào)性 1.（2014北京文2）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 1. 解析 在上為減函數(shù)；是定義域?yàn)榈脑龊瘮?shù)；的定義域?yàn)?；在上不單調(diào)，故選B. 2.（2014陜西文7）下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ）. A. B. C. D. 3.（2014湖南文4）下列函數(shù)

9、中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）. A. B. C. D. 4（2014新課標(biāo)Ⅱ文11）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 5.（2014天津文12）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 6.（2015福建文15）若函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于_______． 6.解析 由，得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故，則. 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在上單調(diào)遞增，故，所以實(shí)數(shù)的最小值等于1． 評(píng)注 考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 7.（2016北京文4）下列函數(shù)中

10、，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 7. D 解析 選項(xiàng)A錯(cuò)誤：因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)； 選項(xiàng)B錯(cuò)誤：在上不單調(diào)，如； 選項(xiàng)C錯(cuò)誤：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)； 選項(xiàng)D正確：指數(shù)函數(shù)在R上為減函數(shù). 故選D. 8.（2016浙江文7）已知函數(shù)滿足：且，下列選項(xiàng)正確的是（ ）. A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則 8. B 解析 若，由條件知，則，所以.故選項(xiàng)B正確，其他3個(gè)選項(xiàng)可選特殊的函數(shù)逐一進(jìn)行排除.故選B. 9.（2016北京文1

11、6）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間. 9. 解析 （1）因?yàn)椋? 所以的最小正周期.依題意，解得. （2）由（1）知，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 由，得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. 10.（2016全國(guó)丙文21）設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）證明當(dāng)時(shí)，； （3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，. 10.解析 (1)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （2）由（1）知，在處取得最大值，最大值為. 所以時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，，即. (3)由題設(shè)，設(shè)，則，令，， 解得.當(dāng)時(shí)，， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.由（2）知，，故， 又

12、，故當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)， . 11.（2017全國(guó)2文8）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）. A. B. C. D. 11.解析 若使函數(shù)有意義，則，解得或，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 故選D. 題型17 函數(shù)的周期性 1.（2016江蘇11）設(shè)是定義在上且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上，其中，若，則的值是 . 1. 11， 解析 由題意得，. 由，可得，則. 2.（2016北京文16）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值；

13、 （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間. 2. 解析 （1）因?yàn)椋? 所以的最小正周期.依題意，解得. （2）由（1）知，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 由，得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. 題型18 函數(shù)性質(zhì)的綜合 1.(2013重慶文9) 已知函數(shù)，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)，整體換元求解. 解析 因?yàn)榕c（即）互為倒數(shù)，所以與互為相反數(shù). 不妨令，則， 而， 故，故選C. 2. (2013天津文7）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)， 且在區(qū)間上單調(diào)遞增. 若實(shí)數(shù)滿足，

14、則的取值范圍是( ). A. B. C. D. 2.分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得出關(guān)于的不等式求解. 解析 因?yàn)樗栽坏仁娇苫癁? 又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以即因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以 又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以所以 綜上可知故選C. 3. (2013天津文8)設(shè)函數(shù). 若實(shí)數(shù)滿足 ， 則( ). A. B. C. D. 3.分析 首先確定的范圍，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 解析 因?yàn)樗允窃龊瘮?shù).因?yàn)榈亩x域是所以所以是上的增函數(shù). 因?yàn)樗? 因?yàn)樗运怨蔬xA. 4. (2013湖南文4） 已

15、知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且， ，則等于（ ）. A. B. C. D. 4.分析 根據(jù)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，將和轉(zhuǎn)化為列方程組求解. 解析 是奇函數(shù)，所以.又是偶函數(shù)，所以. 因?yàn)?，所? ? 又，所以. ? 由??，得.故選B. 5. (2013福建文13）已知函數(shù) . 5.分析 分步求函數(shù)值，先內(nèi)后外. 解析 因?yàn)?，所以，所? 6．(2013福建

16、文16）設(shè)，是的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從到的函數(shù)滿足：（i）（ii）對(duì)任意當(dāng)時(shí)，恒有 那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，現(xiàn)給出以下對(duì)集合： ① ② ③ 其中，“保序同構(gòu)”的集合對(duì)的序號(hào)是_______.（寫出“保序同構(gòu)”的集合對(duì)的序號(hào)）. 6.分析 舉例說(shuō)明有符合條件的函數(shù)即可. 解析 ①取，符合題意. ②取，符合題意. ③取，符合題意.答案：①②③. 7. （2014浙江文7）已知函數(shù)，且，則（ ）. A. B. C. D. 8.（2014大綱文12）奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，且，則（

17、 ）. A． B． C．0 D．1 9.（2014山東文9）對(duì)于函數(shù)，若存在常數(shù)，使得取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有，則稱為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 10. （2014安徽文14）若函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則 . 10. 解析 依題意得， ， 因此，. 11（2014新課標(biāo)Ⅱ文15）已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱則 . 12.（2014四川文13）設(shè)是定義在上的周期為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

18、，則____________. 13.（2014浙江文15）設(shè)函數(shù)，若，則_________. 14. （2014安徽文15）若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件： （1）直線在點(diǎn)處與曲線相切； （2）曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線. 下列命題正確的是 . （寫出所有正確命題的編號(hào)） ① 直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：； ② 直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：； ③ 直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：； ④ 直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：； ⑤ 直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：. 14. 解析 ①直線在處與曲線相切，且曲線位于直線的兩側(cè)，①對(duì)；②直

19、線不是曲線在處的切線，②錯(cuò)；③中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，即是增函數(shù)，又，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即曲線在附近位于直線的兩側(cè)，③正確；④中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，且，同③得④正確；⑤中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，因此曲線在附近位于直線的一側(cè)，故⑤錯(cuò)誤.因此答案為①③④. 評(píng)注 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合圖像可簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的過(guò)程 15.（2014四川文15）以表示值域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當(dāng)，時(shí)，，.現(xiàn)有如下命

20、題： ①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，，”； ②若函數(shù)，則有最大值和最小值； ③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則； ④若函數(shù)有最大值，則. 其中的真命題有____________（寫出所有真命題的序號(hào)）. 16.（2016天津文6）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 16. C 解析 由題意得.故選C. 17.（2016上海文18）設(shè)是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于下列命題：①若，，均為增函數(shù)，則中均為增函數(shù)；②若，，均是以為周期的函數(shù)，則均是以為周期的函數(shù)，下列

21、判斷正確的是（ ）. A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題 C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題 17.解析 ①不成立，可舉反例. 增函數(shù)加增函數(shù)必為增函數(shù)，增函數(shù)加減函數(shù)未必單調(diào)遞減，這跟速度有關(guān)，因此可以舉分段一次函數(shù)的形式，從速度快慢上控制. 如：，， .故①錯(cuò)誤. ②由題意，， ，前兩式求和后與第三式作差得， 同理可得，，故②正確.故選D. 評(píng)注 按照②的邏輯，得到有一步是將增函數(shù)減去增函數(shù)，初想其未必就一定是增函數(shù). 18.（2016四川文14）若函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

22、，則 . 18. 解析 因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)，所以，，所以. 19.（2016浙江文12）設(shè)函數(shù).已知，且，，則實(shí)數(shù)_____，______. 19. ； 解析 解法一：， ， 所以 ，解得 . 解法二： ，所以， 由， 所以，將帶入，解得或（舍去）.即，所以. 20.（2016上海文23）已知，函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的值； （3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的差不超過(guò)，求的取值范圍. 20.解析 （1）由，得，解得. （2）有且僅有一解，等價(jià)于有且僅有一解，等價(jià)于有且

23、僅有一解. 當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，. 綜上所述，或. （3）當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減.因此在上單調(diào)遞減，故只需滿足， 即，所以， 即，設(shè)，則，. 當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在單調(diào)遞減， 所以.故.故的取值范圍為. 評(píng)注 第（3）問(wèn)還可從二次函數(shù)的角度考查，由整理得對(duì)任意成立.因?yàn)?，函?shù)的對(duì)稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有最小值，由，得.故的取值范圍為. 21.（2017全國(guó)1文9）已知函數(shù)，則（ ）. A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減 C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 21.解析 由題意知，，所

24、以的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤.故選C. 22.（2017北京文5）已知函數(shù)，則（ ）. A.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) C.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) D.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) 22.解析 解法一：的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，可得為奇函數(shù)．由在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)，易知在上是增函數(shù)．故選B． 解法二：作為選擇題，也可以代特殊值進(jìn)去，由，可猜是奇函數(shù)，的定義域?yàn)椋?，，可猜是增函?shù).故選B． 解法三：由，可得為奇函數(shù)．由，所以在上為增函數(shù).故選B． 解法四：令，且，

25、則 . 因?yàn)椋?，所? 又因?yàn)?，所以，所?所以在上為增函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，且，所以在上為增函數(shù).故選B． 23.（2017天津文6）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，，，則的大小關(guān)系為（ ）. A. B. C. D. 23.解析 因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以，即.故選C． 24.（2017山東文14）已知是定義在上的偶函數(shù)，且.若當(dāng)時(shí)，，則 . 24.解析 因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以. 25.（2017江蘇11）已知函數(shù)， 其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 25.解析 易知的定義域?yàn)椋? 因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)． 又，且不恒成立，所以在上單調(diào)遞增． 因?yàn)?，所以，于是，即，解得．故填? 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org