高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題1 突破點1 三角函數(shù)問題 Word版含答案

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1、 專題一　三角函數(shù)與平面向量 建知識網(wǎng)絡(luò)　明內(nèi)在聯(lián)系 [高考點撥]　三角函數(shù)與平面向量是高考的高頻考點，常以“兩小一大”或“4小”的形式呈現(xiàn)，小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平面向量及解三角形的內(nèi)容，大題?？疾榻馊切蝺?nèi)容，有時平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識相交匯．本專題按照“三角函數(shù)問題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門別類進行備考． 突破點1　三角函數(shù)問題 [核心知識提煉] 提煉1 三角函數(shù)的圖象問題 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定：利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點坐標確定φ. (2)三

2、角函數(shù)圖象的兩種常見變換 提煉2 三角函數(shù)奇偶性與對稱性 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得． y＝Atan(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，無對稱軸． 提煉3 三角函數(shù)最

3、值問題 (1)y＝asin x＋bcos x＋c型函數(shù)的最值：可將y轉(zhuǎn)化為y＝sin(x＋φ)＋c的形式，這樣通過引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，將y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x轉(zhuǎn)化整理為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來求最值． [高考真題回訪] 回訪1　三角函數(shù)的圖象問題 1．(20xx全國卷Ⅱ)函數(shù)y

4、＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖11所示，則(　　) 圖11 A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin A　[由圖象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又圖象的一個最高點坐標為，所以A＝2，且2＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，結(jié)合選項可知y＝2sin.故選A.] 2．(20xx全國卷Ⅰ)將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為(　　) A．y＝2sin　　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin D　[函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個周

5、期即個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D.] 回訪2　三角函數(shù)的性質(zhì)問題 3．(20xx全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[∵f(x)＝cos 2x＋6cos ＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋， 又sin x∈[－1,1]，∴當(dāng)sin x＝1時，f(x)取得最大值5.故選B.] 4．(20xx全國卷Ⅰ)在函數(shù)①y＝cos |2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A．②④　　 B

6、．①③④ C.①②③　　 D．①③ C　[①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期為π；②由圖象知y＝|cos x|的最小正周期為π；③y＝cos 的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝.] 5．(20xx全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為________． 　[f(x)＝2cos x＋sin x＝， 設(shè)sin α＝，cos α＝， 則f(x)＝sin(x＋α)， ∴函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為.] 回訪3　三角恒等變換 6．(20xx全國卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，則cos＝________.

7、　[cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α)． 又由α∈，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝， ∴cos＝＝.] 7．(20xx全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. －　[由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. tan＝tan ＝－ ＝－＝－＝－.] 熱點題型1　三角函數(shù)的圖象問題 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是考查三角函數(shù)解析式的求法；二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低． 【例1】(1)將函數(shù)y

8、＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：04024024】 A.　　　 B．　　　 C.　　　 D． (2)(20xx深圳二模)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)，x∈的圖象如圖12所示，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，則f(x1＋x2)＝(　　) 圖12 A．1 B. C. D．2 (1)A　(2)A　[(1)設(shè)f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin.∵g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴g(x)為偶函數(shù)，

9、∴＋m＝＋kπ(k∈Z)， ∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為. (2)由題可得周期T＝＝π，則ω＝＝2，那么f(x)＝2sin(2x＋φ)．由f＝2sin＝0，可得φ的一個值為，故f(x)＝2sin.由題知x1＋x2＝2＝，故f(x1＋x2)＝2sin＝2sin＝1，故選A.] [方法指津] 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定． (1)A由最值確定，A＝； (2)ω由周期確定； (3)φ由圖象上的特殊點確定． 提醒：根據(jù)“五點法”中的零點求φ時，一般先依據(jù)圖象的升降分清零點的類型． 2．在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是

10、相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． [變式訓(xùn)練1](1)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 2x的圖象 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：04024025】 A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 (2)函數(shù)f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖13所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值為(　　) 圖13 A．0　　　 B．3 C．6 D．－ (1)B　(2)A　[(1)∵y＝cos 2x＝sin，

11、∴y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度， 得y＝sin＝sin的圖象． 故選B. (2)由題圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0， 而2 016＝8252， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.] 熱點題型2　三角函數(shù)的性質(zhì)問題 題型分析：三角函數(shù)的性質(zhì)涉及周期性、單調(diào)性以及最值、對稱性等，是高考的重要命題點之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等． 【例2】　已知函數(shù)f(x)＝4tan xsincos－. (1)求f(

12、x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [解] (1)f(x)的定義域為． 1分 f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin． 4分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π． 6分 (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 8分 設(shè)A＝，B＝，易知A∩B＝． 10分 所以當(dāng)x∈時，f

13、(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 12分 [方法指津] 研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)的“兩種”意識 1．轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式． 2．整體意識：類比于研究y＝sin x的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”代入求解便可． [變式訓(xùn)練2] (1)(名師押題)已知函數(shù)f(x)＝2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．關(guān)于函數(shù)g(x)，下列說法正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：04024026】 A．在上是增函數(shù) B．其圖象關(guān)于直線x＝

14、－對稱 C．函數(shù)g(x)是奇函數(shù) D．當(dāng)x∈時，函數(shù)g(x)的值域是[－2,1] (2)(20xx全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A. B．1 C. D. (1)D　(2)A　[(1)因為f(x)＝2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos 2x. 對于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是減函數(shù)，故A錯；又g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的對稱軸，故B錯；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C錯；又當(dāng)x∈時，2x∈，故g(x)的值域為[－2,1]，D正確． (2)法一：∵f(x

15、)＝sin＋cos ＝＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＝sin， ∴當(dāng)x＝＋2kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值. 故選A. 法二：∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故選A.] 熱點題型3　三角恒等變換 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數(shù)式化簡求值；二是以三角恒等變換為載體，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)． 【例3】(1)(20xx合肥一模)已知si

16、n 2α＝2－2cos 2α，則tan α＝________. (2)如圖14，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos －的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：04024027】 圖14 (1)0或　(2)　[(1)由sin 2α＝2－2cos 2α得 2sin αcos α＝4sin2α，所以sin α＝0或tan α＝， 當(dāng)sin α＝0時，tan α＝0，故tan α＝0或. (2)由題意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC為正三角形． 由三角函數(shù)的定義可知，sin∠A

17、OB＝sin＝， ∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝.] [方法指津] 1．解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向． 2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函數(shù)的性質(zhì)時，通常利用輔助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把函數(shù)f(x)化為Asin(ωx＋φ)的形式，通過對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx

18、的性質(zhì)． [變式訓(xùn)練3](1)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝　　　　　　 B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ (2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，則cos等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：04024028】 A．－　　 B．－ C.　　 D． (1)B　(2)C　[(1)由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. (2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0， ∴sin α＋cos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－， ∴cos＝cos αcos －sin αsin ＝－cos α－sin α＝.]