高中數(shù)學蘇教版選修12習題：第2章 推理與證明 章末檢測A

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1、 精品資料 第2章　推理與證明(A) (時間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．下列推理過程是類比推理的是__________． ①人們通過大量試驗得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為 ②科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼 ③通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性 ④由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù) 2．觀察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可歸納出一般式子為______________________． 3．若a，b，c均為實數(shù)，則下面四個結(jié)論均是正

2、確的： ①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，則a－c＝0；④若ab＝0，則a＝0或b＝0. 對向量a，b，c，用類比的思想可得到以下四個結(jié)論： ①ab＝ba； ②(ab)c＝a(bc)； ③若ab＝bc，b≠0，則a＝c； ④若ab＝0，則a＝0或b＝0. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為________． 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝ (n∈N*)，則a2 010＝________. 5．設凸n邊形的內(nèi)角和為f(n)，則f(n＋1)－f(n)＝______. 6．觀察下列數(shù)表規(guī)律 則從數(shù)2 010到2 011的箭頭方向是_______

3、___． 7．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加了一條直線后，它們的交點個數(shù)最多為____________． 8．勾股定理：在直角邊長為a、b，斜邊長為c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.類比勾股定理可得，在長、寬、高分別為p、q、r，體對角線長為d的長方體中，有______________． 9．下列三句話按三段論的模式排列順序是________． ①2 010能被2整除； ②一切偶數(shù)都能被2整除； ③2 010是偶數(shù)． 10．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個側(cè)面______________________． 1

4、1．在△ABC中，D為邊BC的中點，則＝(＋)．將上述命題類比到四面體中去，得到一個類比命題：________________________________. 12．對于“求證函數(shù)f(x)＝－x3在R上是減函數(shù)”，用“三段論”可表示為：大前提是“對于定義域為D的函數(shù)f(x)，若對任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)<0，則函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù)”，小前提是“__________________________”，結(jié)論是“f(x)＝－x3在R上是減函數(shù)”． 13．在古希臘，畢達哥拉斯學派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)

5、，這是因為這些數(shù)目的點可以排成正三角形(如圖所示)，則三角形數(shù)的一般表達式f(n)＝__________. 14．下面的四個不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； ②a(1－a)≤；③＋≥2； ④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 其中不成立的有________個． 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)設f(x)＝x2＋ax＋b， 求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 16．(14分)已知函數(shù)f(x)＝lg，x∈.若x1，x2∈且x1≠x2，求證：[f(x1)

6、＋f(x2)]>f. 17．(14分)已知a>0，b>0，a＋b＝1， 求證：＋≤2. 18．(16分) 如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)是BE的中點． (1)求證：DF∥平面ABC； (2)求證：AF⊥BD. 19．(16分)設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)中的a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)＝0無整數(shù)根．

7、 20．(16分)觀察下表： 1， 2,3， 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， … 問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？ (3)2 008是第幾行的第幾個數(shù)？ 第2章　推理與證明(A) 答案 1．② 2．1＋＋＋…＋< (n≥2) 解析　由合情推理可歸納出1＋＋＋…＋< (n≥2)． 3．1 解析　利用類比思想結(jié)合向量的定義及性質(zhì)，特別是向量的數(shù)量積的定義可知①正確，②③④不正確． 4． 解析　a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此數(shù)列具有周期性，0，－

8、，依次重復出現(xiàn)．因為2 010＝3670，所以a2 010＝. 5．180 解析　作凸(n＋1)邊形的一條對角線，使之成為一個凸n邊形和一個三角形． 6．→ 7．f(k)＋k 解析　增加一條直線后，最多和原來的k條直線都相交，有k個交點，所以交點個數(shù)最多為f(k)＋k. 8．p2＋q2＋r2＝d2 9．②③① 10．各正三角形的中心 解析　正三角形的邊對應正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點對應的就是正四面體各正三角形的中心． 11．在四面體A—BCD中，G為△BCD的重心， 則＝(＋＋) 12．對于任意x1，x2∈R且x2－x1>0，有f(x2)

9、－f(x1)＝－x＋x＝－(x2－x1)(x＋x1x2＋x) ＝－(x2－x1)<0 13． 解析　當n＝1時，1＝；當n＝2時，3＝；當n＝3時，6＝；當n＝4時，10＝；…，猜想：f(n)＝. 14．1 解析　由a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca) ＝[2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca] ＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 故①正確． 由－a(1－a)＝－a＋a2＝2≥0， 故②正確． (a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2 ＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2acbd－b2d2 ＝a2d2＋b2c2－2

10、abcd＝(ad－bc)2≥0，故④正確． ∵＋≥2或＋≤－2，∴③不正確． 15．證明　假設|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<， 于是有－<1＋a＋b< ① －<4＋2a＋b< ② －<9＋3a＋b< ③ ①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1， 所以－3<8＋4a＋2b<－1， 所以－<4＋2a＋b<－. 由②知－<4＋2a＋b<，矛盾， 所以假設不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 16．證明　要證原不等式成立，只需證明 >2， 事實上，∵00

11、. ∴>2， 即有l(wèi)g>lg2， 故[f(x1)＋f(x2)]>f. 17．證明　∵1＝a＋b≥2，∴ab≤. ∴(a＋b)＋ab＋≤1. ∴≤1. 從而有2＋2≤4. 即＋＋2≤4. ∴2≤4. ∴＋≤2. 18．證明　(1)取AB的中點G，連結(jié)FG，CG， 可得FG∥AE，F(xiàn)G＝AE， 又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC， ∴CD∥AE，CD＝AE， ∴FG∥CD，F(xiàn)G＝CD. 又∵FG⊥平面ABC， ∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，CG?平面ABC， DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC. (2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F(xiàn)為

12、BE的中點，∴AF⊥BE，∵△ABC是正三角形， ∴CG⊥AB，∴DF⊥AB， 又DF⊥FG，F(xiàn)G∩AB＝G， ∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF， 又∵DF∩BE＝F，∴AF⊥平面BDF， 又BD?平面BDF，∴AF⊥BD. 19．證明　假設方程f(x)＝0有一個整數(shù)根k， 則ak2＋bk＋c＝0.① 因為f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)， 所以a＋b必為偶數(shù)， 當k為偶數(shù)時，令k＝2n (n∈Z)， 則ak2＋bk＋c＝4n2a＋2nb＋c＝2n(2na＋b)＋c必為奇數(shù)，與①式矛盾； 當k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1 (n∈Z)， 則ak2＋bk＋c＝(2n＋

13、1)(2na＋a＋b)＋c為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積加上一個奇數(shù)，必為奇數(shù)，也與①式矛盾，故假設不成立． 綜上可知方程f(x)＝0無整數(shù)根． 20．解　(1)由表知，從第二行起，每行的第一個數(shù)為偶數(shù)，所以第n＋1行的第一個數(shù)為2n，所以第n行的最后一個數(shù)為2n－1. (2)由(1)知第n－1行的最后一個數(shù)為2n－1－1，第n行的第一個數(shù)為2n－1，第n行的最后一個數(shù)為2n－1.又由觀察知，每行數(shù)字的個數(shù)與這一行的第一個數(shù)相同，所以由等差數(shù)列求和公式得， Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2. (3)因為210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一個數(shù)為211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差數(shù)列的通項公式得，2 008＝1 024＋(n－1)1，所以n＝985，所以2 008是第11行的第985個數(shù)．