人教版高中數(shù)學選修11：2.1 橢 圓 課后提升作業(yè) 十 2.1.2.1 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 課后提升作業(yè) 十 橢圓的簡單幾何性質(zhì) (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是　(　　) A.2m-1m-1 B.-2-mm C.2mm D.-21-mm-1 【解析】選C.橢圓方程可簡化為x211+m+y21m=1,由題意知m>0,所以11+m<1m,所以a=mm,所以橢圓的長軸長2a=2mm. 2.已知橢圓C的左、右焦點的坐標分別是(-2,0),(2,0),離心率是63,則橢圓C的方程為　(　　) A.x23+y2=1 B.x2+y23=1 C.x23+y22

2、=1 D.x22+y23=1 【解析】選A.因為ca=63,且c=2, 所以a=3,b=a2-c2=1, 所以橢圓C的方程為x23+y2=1. 3.已知橢圓2x2+y2=2的兩個焦點為F1,F2,且B為短軸的一個端點,則△F1BF2的外接圓方程為　(　　) A.x2+y2=1 B.(x-1)2+y2=4 C.x2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4 【解析】選A.由2x2+y2=2得x2+y22=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圓方程為x2+y2=1. 4.F,A分別為橢圓的一個焦點和頂點,若橢

3、圓的長軸長是6,且cos∠OFA=23,則橢圓的標準方程為　(　　) A.x236+y220=1 B.x29+y25=1 C.x220+y236=1或x236+y220=1 D.x29+y25=1或x25+y29=1 【解析】選D.當焦點在x軸上時,cos∠OFA=|OF||AF|=cc2+b2=ca=23. 因為2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5. 所以橢圓方程為x29+y25=1, 同理,當焦點在y軸上時,橢圓方程為x25+y29=1. 5.橢圓x29+y24+k=1的離心率為45,則k的值為　(　　) A.-21 B.21 C

4、.-1925或21 D.1925或21 【解析】選C.當橢圓的焦點在x軸上時,a2=9,b2=4+k, 得c2=5-k.由ca=5-k3=45,得k=-1925; 當焦點在y軸上時,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由ca=k-54+k=45,得k=21. 【誤區(qū)警示】認真審題,防止丟解 在求橢圓方程或利用方程研究橢圓性質(zhì)時,一定要注意橢圓的位置是否確定,若沒有確定,則應該有兩解. 6.(2016全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為( ) 【解析】選B.設橢圓的標準方程為=1(a>b>0)，右焦點

5、F(c,0)，則直線l的方程為=1，即bx+cy-bc=0，由題意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e= 7.(2016衡水高二檢測)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿足MF1→MF2→=0的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是　(　　) A.(0,1) B.0,12 C.0,22 D.22,1 【解析】選C.設橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,因為MF1→MF2→=0, 所以M點的軌跡是以原點O為圓心,半焦距c為半徑的圓. 又M點總在橢圓內(nèi)部,所以該圓內(nèi)含于橢圓,即c

6、所以0b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓M上任一點,且PF1→PF2→的最大值的取值范圍是[c2,3c2],其中c=a2-b2,則橢圓M的離心率e的取值范圍是　(　　) A.14,12 B.12,22 C.22,1 D.12,1 【解析】選B.設P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則PF1→=(-c-x,-y),PF2→=(c-x,-y), PF1→PF2→=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原點的距離的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1→PF2→)max=b2

7、,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即14≤e2≤12,所以12≤e≤22. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016臺州高二檢測)若橢圓的兩焦點為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,且△PF1F2的最大面積是12,則橢圓的短半軸長為________. 【解析】設P點到x軸的距離為h,則S△PF1F2=12|F1F2|h, 當P點在y軸上時,h最大,此時S△PF1F2最大. 因為|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3. 答案:3 10.(2016嘉興高二檢測)已知橢圓x24+y23=1的左頂點為A1,右焦點為F2,點P為該橢圓上一動點,則當PF2→P

8、A1→取最小值時|PA1→+PF2→|的取值為__________. 【解析】由已知得a=2,b=3,c=1, 所以F2(1,0),A1(-2,0),設P(x,y), 則PF2→PA1→=(1-x,-y)(-2-x,-y) =(1-x)(-2-x)+y2. 又點P(x,y)在橢圓上,所以y2=3-34x2,代入上式, 得PF2→PA1→=14x2+x+1=14(x+2)2. 又x∈[-2,2], 所以當x=-2時,PF2→PA1→取得最小值. 所以P(-2,0),求得|PA1→+PF2→|=3. 答案:3 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.已知F1,F2是橢圓

9、的兩個焦點,P為橢圓上一點,∠F1PF2=60. (1)求橢圓離心率的范圍. (2)求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān). 【解析】(1)不妨設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), |PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=2a. 在△PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn =4a2-3mn≥4a2-3m+n22 =4a2-3a2=a2(當且僅當m=n時取等號). 所以c2a2≥14,即e≥12. 又0

10、sin60=33b2, 即△PF1F2的面積只與短軸長有關(guān). 12.已知橢圓x2+y2b2=1(0

11、12,b2,kBC=-b, 所以BC的垂直平分線方程為y-b2=1bx-12.② 由①,②聯(lián)立,得x=1-c2,y=b2-c2b,即m=1-c2,n=b2-c2b. 因為P(m,n)在直線x+y=0上,所以1-c2+b2-c2b=0, 可得(1+b)(b-c)=0, 因為1+b>0,所以b=c,結(jié)合b2=1-c2得b2=12, 所以橢圓的方程為x2+y212=1,即x2+2y2=1. 【能力挑戰(zhàn)題】 設橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率e=32,已知點P0,32到這個橢圓上的點的最遠距離為7,求這個橢圓方程. 【解題指南】先設出橢圓的標準方程,根據(jù)離心率得到a,b的關(guān)系,

12、再設M(x,y)為橢圓上的點,用兩點間距離表示出|PM|,最后利用二次函數(shù)知識求解橢圓的標準方程. 【解析】設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x,y)為橢圓上的點,由ca=32得a=2b,|PM|2=x2+y-322=-3y+122+4b2+3(-b≤y≤b), 若012,故矛盾. 若b≥12,則當y=-12時,4b2+3=7,b2=1, 從而a2=4.所求方程為x24+y2=1. 【補償訓練】已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2∶3. (1)求

13、橢圓C的方程. (2)設點M(m,0)在橢圓C的長軸上,點P是橢圓上任意一點.當|MP→|最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點,求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)由題意知c=2,ab=23,a2=b2+4, 解得a2=16,b2=12. 所以橢圓C的方程為x216+y212=1. (2)設P(x0,y0),且x0216+y0212=1, 所以|MP→|2=(x0-m)2+y02 =x02-2mx0+m2+121-x0216=14x02-2mx0+m2+12=14(x0-4m)2-3m2+12. 所以|MP→|2為關(guān)于x0的二次函數(shù),開口向上,對稱軸為x0=4m. 由題意知,當x0=4時,|MP→|2最小, 所以4m≥4,所以m≥1. 又點M(m,0)在橢圓長軸上,所以1≤m≤4. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊