人教版高中數(shù)學選修11：2.2 雙 曲 線 課時提升作業(yè)十四 2.2.2.2 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 課時提升作業(yè)(十四) 雙曲線方程及性質(zhì)的應用 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.直線l過點(2,0)且與雙曲線x2-y2=2僅有一個公共點,則這樣的直線 有　(　　) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 【解題指南】先判斷點與曲線的位置關系,再結(jié)合題意求解. 【解析】選C.點(2,0)即為雙曲線的右頂點,過該點有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個公共點,另過該點且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個公共點,故這樣的直線只有3條. 2.(2015溫州高二檢測)已知雙曲線E的中心為原點,F(3,0)

2、是E的焦點,過F的直線l與E相交于A,B兩點,且AB的中點為N(-12,-15),則E的方程為　(　　) A.x23-y26=1 B.x24-y25=1 C.x26-y23=1 D.x25-y24=1 【解題指南】中點弦問題,借助點差法求解. 【解析】選B.由c=3,設雙曲線方程為x2a2-y29-a2=1, kAB=0+153+12=1,設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x12a2-y129-a2=1,① x22a2-y229-a2=1,② ①-②,得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)9-a2=0, 又N(-12,-1

3、5)為AB中點, 所以x1+x2=-24,y1+y2=-30. 所以-24(x1-x2)a2=-30(y1-y2)9-a2. 所以y1-y2x1-x2=4(9-a2)5a2=1. 所以a2=4. 所以雙曲線方程為x24-y25=1. 3.設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為　(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 【解題指南】用a,b表示|AB|,由|AB|=4a求a,b的等量關系,進而求離心率. 【解析】選B.由題意不妨設l:x=-c,則|AB|=2b2a, 又|AB|=

4、22a,故b2=2a2, 所以e=1+b2a2=1+2=3. 4.(2015西安高二檢測)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B,C.若AB→=12BC→,則雙曲線的離心率是　(　　) A.2 B.3 C.5 D.10 【解析】選C.右頂點為A(a,0),則直線方程為x+y-a=0,可求得直線與兩漸近線的交點坐標Ba2a+b,aba+b,Ca2a-b,-aba-b,則 BC→=2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2,AB→=-aba+b,aba+b. 又2AB→=BC→,所以2a=b,所以

5、e=5. 5.已知F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線右支上的任意一點,若|PF1|2|PF2|的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是　(　　) A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1,3] D.(1,3] 【解析】選D.依題意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|2|PF2|=4a2+|PF2|2+4a|PF2||PF2|=4a+4a2|PF2|+|PF2|≥8a,當且僅當4a2|PF2|=|PF2|時等號成立. 此時|PF2|=2a,|PF1|=4a, 因為|PF1|+|PF2|≥2c. 所以6a≥2c,即1

6、常常忘記檢驗雙曲線定義滿足的條件導致范圍擴大. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.直線y=x+4與雙曲線x2-y2=1的交點坐標為　　　　. 【解析】聯(lián)立方程組得y=x+4,x2-y2=1,消去y得x2-(x+4)2=1,則x=-178,代入y=x+4得y=158. 故直線y=x+4與雙曲線x2-y2=1的交點坐標為-178,158. 答案:-178,158 【補償訓練】過點(0,1)且斜率為1的直線交雙曲線x2-y24=1于A,B兩點,則|AB|=　　　　. 【解析】直線為y=x+1,與雙曲線聯(lián)立得y=x+1,x2-y24=1,得3x2-2x-5=0. 所以x1+x2=

7、23,x1x2=-53, 所以|AB|=249+203=823. 答案:823 7.若直線y=kx與雙曲線x29-y24=1相交,則k的取值范圍為　　　　. 【解題指南】借助雙曲線與漸進線的關系,數(shù)形結(jié)合求解. 【解析】雙曲線x29-y24=1的漸近線方程為y=23x,若直線與雙曲線相交,數(shù)形結(jié)合,得k∈-23,23. 答案:-23,23 8.(2015全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點,P是C左支上一點,A0,66,當△APF周長最小時,該三角形的面積為　　　　　　　　. 【解題指南】△APF周長最小時,P點是點A與雙曲線C:x2-y28=1的左焦點的連線與

8、雙曲線的交點. 【解析】由已知a=1,b=22,c=3,所以F(3,0),F′(-3,0),又A0,66, 所以|AF|=32+(66)2=15,△APF周長l=|PA|+|PF|+|AF|, 又|PF|-|PF′|=2,所以|PF|=|PF′|+2, 所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,當且僅當A,P,F′三點共線時,△APF周長最小,如圖所示. 設P(x,y),直線AF′的方程為x-3+y66=1, 聯(lián)立得x-3+y66=1,x2-y28=1, 消去x得6y2+36y-966=0, 解得y=-86(舍)或y=26,則P(x,26). 因為S

9、△APF=S△AF′F-S△PF′F=12666-12626=126. 答案:126 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.經(jīng)過點M(2,2)作直線l交雙曲線x2-y24=1于A,B兩點,且M為AB中點. (1)求直線l的方程. (2)求線段AB的長. 【解析】(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),代入雙曲線方程得x12-y124=1,x22-y224=1,兩式相減得x12-x22-y124-y224=0, (x1+x2)(x1-x2)-14(y1+y2)(y1-y2)=0. 因為M為AB的中點,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)

10、=0,kl=y1-y2x1-x2=4,所以l的方程為y-2=4(x-2),即y=4x-6. (2)將y=4x-6代入到x2-y24=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=103,所以 |AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =23102. 【補償訓練】過點P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于A,B兩點,且P是線段AB的中點,求直線AB的方程. 【解析】設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x12-4y12=4,① x22-4y22=4.② ①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)

11、=0. 因為P是線段AB的中點, 所以x1+x2=16,y1+y2=2. 所以y1-y2x1-x2=x1+x24(y1+y2)=2. 所以直線AB的斜率為2. 所以直線AB的方程為y-1=2(x-8), 即2x-y-15=0. 10.(2015大連高二檢測)雙曲線的兩條漸近線的方程為y=2x,且經(jīng)過點(3,-23). (1)求雙曲線的方程. (2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為60的直線交雙曲線于A,B兩點,求|AB|. 【解析】(1)因為雙曲線的兩條漸近線方程為y=2x, 所以可設雙曲線的方程為2x2-y2=λ(λ≠0). 又因為雙曲線經(jīng)過點(3,-23),代入方程可得

12、λ=6, 所以所求雙曲線的方程為x23-y26=1. (2)設A(x1,y1)、B(x2,y2), 過F且傾斜角為60的直線方程為y=3(x-3), 聯(lián)立y=3(x-3),2x2-y2=6, 得x2-18x+33=0, 由根與系數(shù)的關系得x1+x2=18,x1x2=33, 所以|AB|=1+k2|x1-x2| =1+3(x1+x2)2-4x1x2 =2324-132=163,即弦長|AB|=163. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.已知F是雙曲線x23a2-y2a2=1(a>0)的右焦點,O為坐標原點,設P是雙曲線C上一點,則∠POF的大小

13、不可能是　(　　) A.15 B.25 C.60 D.165 【解題指南】先求漸近線的夾角,再借助雙曲線與漸近線的關系,數(shù)形結(jié)合求解. 【解析】選C.雙曲線的漸近線方程為y=33x,所以漸近線的傾斜角為30或 150,所以∠POF不可能等于60. 2.(2015冀州高二檢測)過雙曲線x2a2-y25-a2=1(a>0)右焦點F作一條直線,當直線斜率為2時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線與雙曲線右支有兩個不同交點,則雙曲線離心率的取值范圍為　(　　) A.(2,5) B.(5,10) C.(1,2) D.(5,52) 【解析

14、】選B.由題意可知,5-a2>0,2<5-a2a2<3,從而4<5-a2a2<9, 所以e=1+5-a2a2∈(5,10). 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.已知A(1,2),B(-1,2),動點P滿足AP→⊥BP→.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是　　　　. 【解題指南】先由直接法確定點P的軌跡(為一個圓),再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系,進一步列出關于離心率e的不等式進行求解. 【解析】設P(x,y),由題設條件,得動點P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0(x≠1),即

15、x2+(y-2)2=1(x≠1),它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓(A,B兩點除外).又雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=bax,即bxay=0,由題意,可得2aa2+b2>1,即2ac>1,所以e=ca<2,又e>1,故1b>0)兩條漸近線分別交于點A,B,若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是　　　　　. 【解題指南】求出A,B的坐標,寫出AB中點Q的坐標,因為|PA|=|PB|,所以PQ與已知直線垂直,尋找

16、a與c的關系. 【解析】由雙曲線的方程可知,它的漸近線方程為y=bax與y=-bax,分別與x-3y+m=0(m≠0)聯(lián)立方程組,解得 A-ama-3b,-bma-3b,B-ama+3b,bma+3b,設AB的中點為Q, 則Q-ama-3b+-ama+3b2,-bma-3b+bma+3b2,因為|PA|=|PB|,所以PQ與已知直線垂直,所以kPQ=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即c2a2=54,ca=52. 答案:52 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過其右焦點F2,且傾斜角為45,與雙曲線交于A,B兩點,試問A,B兩點是

17、否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長. 【解析】因為直線l過點F2且傾斜角為45, 所以直線l的方程為y=x-2. 代入雙曲線方程,得2x2+4x-7=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2). 因為x1x2=-72<0, 所以A,B兩點分別位于雙曲線的左、右兩支上. 因為x1+x2=-2,x1x2=-72, 所以|AB|=1+12|x1-x2| =2(x1+x2)2-4x1x2 =2(-2)2-4-72=6. 6.(2015北京高二檢測)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A,B. (1)求實數(shù)k的取值范圍. (2)是否存在實數(shù)k

18、,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由. 【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后,整理得, (k2-2)x2+2kx+2=0.① 依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故 k2-2≠0,Δ=(2k)2-8(k2-2)>0,-2kk2-2>0,2k2-2>0. 解得k的取值范圍是-2