0，故b>；由基本不等式知>，綜上所述，a<<
2、答案：B
3．(20xx山東名校調(diào)研)若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，當且僅當＝，即y＝2x時，“＝”成立，故4x＋3y的最小值為5.
答案：D
4．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是( )
A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋>
C.＋≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab
解析：因為ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，當且僅當a＝b時取等號．
答案：C
5．下列不等式一定成立的是(
3、 )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：對選項A，當x>0時，x2＋－x＝2≥0，∴l(xiāng)g≥lg x，故不成立；對選項B，當sin x<0時顯然不成立；對選項C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；對選項D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．
答案：C
6．若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，
∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
法二：由題設(shè)易知a>0，b>0，
∴＝＋≥
4、2，即ab≥2，選C.
答案：C
7．(20xx天津模擬)若log4(3a＋4 b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：因為log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，當且僅當＝時取等號，故選D.
答案：D
8．(20xx銀川一中檢測)對一切實數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．
5、 [－2,2] D．[0，＋∞)
解析：當x＝0時，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此時a∈R，當x≠0時，則有a≥＝－(|x|＋)，設(shè)f(x)＝－(|x|＋)，則a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋≥2(當且僅當|x|＝1時取等號)，則f(x)max＝－2，故a≥－2.故選B.
答案：B
9．當x>0時，函數(shù)f(x)＝有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：f(x)＝≤＝1.當且僅當x＝，x>0即x＝1時取等號．所以f(x)有最大值1.
答案：B
10．(20xx南昌調(diào)研)已知a，b∈R，且ab≠0，則下列結(jié)論恒成立的是(
6、)
A．a(chǎn)＋b≥2 B．a(chǎn)2＋b2>2ab
C.＋≥2 D．|＋|≥2
解析：對于A，當a，b為負數(shù)時，a＋b≥2不成立；
對于B，當a＝b時，a2＋b2>2ab不成立；
對于C，當a，b異號時，＋≥2不成立；
對于D，因為，同號，所以|＋|＝||＋||≥2 ＝2(當且僅當|a|＝|b|時取等號)，即|＋|≥2恒成立．
答案：D
11．設(shè)f(x)＝ln x,0p D．p＝r>q
解析：∵0，又f(x)＝ln x在
7、(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f()p，∴r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f()＝p，∴p＝r0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝__________.
解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，當且僅當4x＝，即a＝4x2時
8、取等號，則由題意知a＝432＝36.
答案：36
14．(20xx邯鄲質(zhì)檢)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，則＋的最小值為________．
解析：2x－3＝()y＝2－y，∴x－3＝－y，∴x＋y＝3.又x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(當且僅當＝，即y＝2x時取等號)．
答案：3
15．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________(單位：元)．
解析：設(shè)底面的相鄰兩邊長分別為x m，y m，總造價為T元，則V＝x
9、y1＝4?xy＝4.T＝420＋(2x＋2y)110＝80＋20(x＋y)≥80＋202＝80＋204＝160(當且僅當x＝y(tǒng)時取等號)．
故該容器的最低總造價是160元．
答案：160
B組——能力提升練
1．設(shè)正實數(shù)x，y滿足x>，y>1，不等式＋≥m恒成立，則m的最大值為( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：依題意得，2x－1>0，y－1>0，＋＝＋≥＋≥42 ＝8，即＋≥8，當且僅當，即時，取等號，因此＋的最小值是8，m≤8，m的最大值是8，選C.
答案：C
2．若a，b，c∈ (0，＋∞)，且ab＋ac＋bc＋2＝6－a2，則2a＋b＋c的最小值為(
10、 )
A.－1 B.＋1
C．2＋2 D．2－2
解析：由題意，得a2＋ab＋ac＋bc＝6－2，所以24－8＝4(a2＋ab＋ac＋bc)≤4a2＋4ab＋b2＋c2＋4ac＋2bc＝(2a＋b＋c)2，當且僅當b＝c時等號成立，所以2a＋b＋c≥2－2，所以2a＋b＋c的最小值為2－2，故選D.
答案：D
3．(20xx保定調(diào)研)設(shè)△ABC的內(nèi)角A， B，C所對的邊分別為a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面積的最大值為9，則λ的值為( )
A．8 B．12
C．16 D．21
解析：S△ABC＝absin C＝ab≤()2＝λ2＝9，當且僅當a＝b時取“
11、＝”，解得λ＝12.
答案：B
4．已知x，y都是正數(shù)，且x＋y＝1，則＋的最小值為( )
A. B．2
C. D．3
解析：由題意知，x＋2>0，y＋1>0，(x＋2)＋(y＋1)＝4，則＋＝≥＝，當且僅當x＝，
y＝時，＋取最小值.
答案：C
5.(－6≤a≤3)的最大值為( )
A．9 B.
C．3 D.
解析：因為－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，則由基本不等式可知，≤＝，當且僅當a＝－時等號成立．
答案：B
6．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acos(B－)＝b＋c，△ABC的外接圓半徑為，則△ABC周長的取
12、值范圍為( )
A．(3,9] B．(6,8]
C．(6,9] D．(3,8]
解析：由2acos(B－)＝b＋c，得acos B＋asin B＝b＋c，由正弦定理得sin Asin B＋sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)，即sin Asin B＝sin B＋cos Asin B，又sin B≠0，∴sin A－cos A＝1，∴sin(A－)＝，由0
13、os B)＝6sin(B＋)，由0
14、m2－3m有解，∴min0，y>0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當＝，即x＝2，y＝8時取等號，
∴min＝4，∴m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，故實數(shù)m的取值范圍是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：B
9．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當取得最大值時，＋－的最大值為( )
A．0 B．1
C. D．3
解析：＝＝≤＝1，當且僅當x＝2y時等號成立，此時z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，當且僅當y＝1時等號成立，故所求的最大值為1.
答案：B
10．設(shè)等差數(shù)列{an}
15、的公差是d，其前n項和是Sn，若a1＝d＝1，則的最小值是( )
A. B.
C．2＋ D．2－
解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝
＝
≥
＝，
當且僅當n＝4時取等號．
∴的最小值是，故選A.
答案：A
11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin A－sin B＝，b＝，則△ABC的面積的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析：根據(jù)正弦定理由sin A－sin B＝可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac
16、＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，當且僅當a＝c＝時取等號，故ac的最大值為3，這時△ABC的面積取得最大值，為3sin ＝.
答案：A
12．(20xx寶雞模擬)某工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元，當工廠和倉庫之間的距離為________千米時，運費與倉儲費之和最小，最小為________萬元．
解析：設(shè)工廠和倉庫之間的距離為x千米，運費為y1萬元，倉儲費為y2萬元，則y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工廠和倉庫
17、之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費用為5萬元，∴k1＝5，k2＝20，∴運費與倉儲費之和為萬元，
∵5x＋≥2＝20，當且僅當5x＝，
即x＝2時，運費與倉儲費之和最小，為20萬元．
答案：2 20
13．(20xx青島模擬)已知實數(shù)x，y均大于零，且x＋2y＝4，則log2x＋log2y的最大值為__________．
解析：因為log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，當且僅當x＝2y＝2，即x＝2，y＝1時等號成立，所以log2x＋log2y的最大值為1.
答案：1
14．在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積，若三角形的三邊長分別為a，b，c，其面積S＝，這里p＝(a＋b＋c)．已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，則其面積取最大值時，sin A＝________.
解析：已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，所以三角形的三邊長為a＝6，c＝2b，p＝(6＋b＋2b)＝3＋，其面積
S＝
＝
＝
＝
＝≤＝12，
當且僅當b2－4＝36－b2，即b＝2時取等號，此時a＝6，b＝2，c＝4，三角形存在，cos A＝＝，所以sin A＝.
答案：
文科數(shù)學(xué) 北師大版練習(xí)：第六章 第二節(jié) 基本不等式 Word版含解析
