5.5 數列的綜合問題

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1、 限時集訓(三十一) 數列的綜合問題 (限時：50分鐘 滿分：106分) 一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分) 1. 等差數列{an}中，a3＋a11＝8，數列{bn}是等比數列，且b7＝a7，則b6b8的值( ) A．2 B．4 C．8 D．16 2．設項數為8的等比數列的中間兩項與2x2＋7x＋4＝0的兩根相等，則數列的各項相乘的積為( ) A．64 B．3 C．32 D．16 3．數列{an}是公差不為0的等差數列，且a1，a3，a7為等比數列{bn}中連續(xù)的三項，則數列{bn}的公比為( ) A.

2、 B．4 C．2 D. 4．(2013泉州模擬)滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是( ) A．9 B．10 C．11 D．12 5．(2013杭州模擬)正項等比數列{an}中，存有兩項am，an(m，n∈N*)使得 ＝4a1，且a7＝a6＋2a5，則＋的最小值是( ) A. B．1＋ C. D. 6．根據市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此預測，在本年度內，需求量

3、超過1.5萬件的月份是( ) A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月 7．數列{an}的通項an＝n2，其前n項和為Sn，則S30為( ) A．470 B．490 C．495 D．510 8．(2013株州模擬)在數列{an}中，對任意n∈N*，都有＝k(k為常數)，則稱{an}為“等差比數列”．下面對“等差比數列”的判斷： ①k不可能為0； ②等差數列一定是等差比數列； ③等比數列一定是等差比數列； ④通項公式為an＝abn＋c(a≠0，b≠0,1)的數列一定是等差比數列． 其中準確的判斷為( ) A．①② B．

4、②③ C．③④ D．①④ 二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分) 9．已知等比數列{an}中，各項都是正數，且a1，a3,2a2成等差數列，則＝________ 10．(2013安慶模擬)設關于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整數的個數為an，數列{an}的前n項和為Sn，則S100的值為________． 11．函數y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak＋1，k為正整數，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________. 12．(2013麗水模擬)設Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，且

5、a2＋a5＝2am，則m＝______. 13．已知{an}是公差不為0的等差數列，{bn}是等比數列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存有常數α，β，使得an＝logαbn＋β對每一個正整數n都成立，則αβ＝____. 14．氣象學院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為(n∈N*)元，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的平均耗資最少)，一共使用了________天． 三、解答題(本大題共3個小題，每小題14分，共42分) 15．設同時滿足條件：①≥bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常數)

6、的無窮數列{bn}叫“嘉文”數列．已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝(an－1)(a為常數，且a≠0，a≠1)． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝＋1，若數列{bn}為等比數列，求a的值，并證明數列為“嘉文”數列． 16．已知正項數列{an}，{bn}滿足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差數列，且對任意正整數n，都有bn，，bn＋1成等比數列． (1)求數列{bn}的通項公式； (2)設Sn＝＋＋…＋，試比較2Sn與2－的大?。?

7、 17．已知數列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數n，點Pn(n，Sn)都在函數f(x)＝x2＋2x的圖象上，且過點Pn(n，Sn)的切線的斜率為kn. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若bn＝2knan，求數列{bn}的前n項和Tn； (3)設Q＝{x|x＝kn，n∈N*}，R＝{x|x＝2an，n∈N*}，等差數列{cn}的任一項cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小數，110

8、析：∵a1，a3,2a2成等差數列， ∴a3＝a1＋2a2. 令等比數列{an}的公比為q，則有 a1q2＝a1＋2a1q. 又數列{an}中的各項都是正數， ∴q2＝1＋2q， 解之得q＝1＋(q＝1－舍去)， ∴＝＝＝3＋2. 答案：3＋2 10．解析：由x2－x<2nx(n∈N*)， 得00)的圖像在點( ak，a)處的切線方程是y－a＝2ak(x－ak)． 令y＝0得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此數列{ak}是以16為首項，為公

9、比的等比數列， 所以ak＝16k－1＝25－k， a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 答案：21 12．解析：設等比數列{an}的公比為q，因為Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，所以q≠1，此時2S9＝S3＋S6即為2＝＋，解得q3＝－(q3＝1舍去)，所以a2＋a5＝a2＋a2q3＝a2＝2am，即am＝a2＝a2q6，故m＝8. 答案：8 13．解析：設數列{an}的公差為d(d≠0)，數列{bn}的公比為q，則由題意可得 ，解得 ∴an＝2n，bn＝4n－1， ∴等式an＝logαbn＋β即為(log 4－2)n＋ β－logα4＝0對

10、每一個正整數n都成立， ∴解得 ∴αβ＝22＝4. 答案：4 14．解析：由第n天的維修保養(yǎng)費為(n∈N*)元，可以得出觀測儀的整個耗資費用，由平均費用最少而求得最小值成立時的相應n的值． 由題意知使用n天的平均耗資為＝＋ ＋，當且僅當＝時取得最小值，此時n＝800. 答案：800 15．解：(1)因為S1＝(a1－1)＝a1，所以a1＝a. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，整理得＝a，即數列{an}是以a為首項，a為公比的等比數列． 所以an＝a an－1＝an. (2)由(1)知， bn＝＋1 ＝，(*) 由數列{bn}是等比數列，則b＝b

11、1b3，故2＝3， 解得a＝， 再將a＝代入(*)式得bn＝3n， 故數列{bn}為等比數列， 所以a＝. 由于＝> ＝＝，滿足條件①；由于＝≤，故存在M≥滿足條件②.故數列為“嘉文”數列． 16．解：(1)∵對任意正整數n，都有bn，，bn＋1成等比數列，且數列{an}，{bn}均為正項數列， ∴an＝bnbn＋1(n∈N*)． 由a1＝3，a2＝6得又{bn}為等差數列，即有b1＋b3＝2b2， 解得b1＝，b2＝， ∴數列{bn}是首項為，公差為的等差數列． ∴數列{bn}的通項公式為 bn＝(n∈N*)． (2)由(1)得，對任意n∈N*， an＝bnbn

12、＋1＝， 從而有＝ ＝2， ∴Sn＝2 ＝1－. ∴2Sn＝2－. 又2－＝2－， ∴2Sn－＝－＝. ∴當n＝1，n＝2時，2Sn<2－； 當n≥3時，2Sn>2－. 17．解：(1)∵點Pn(n，Sn)都在函數f(x)＝x2＋2x的圖象上， ∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)． 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， 當n＝1時，a1＝S1＝3滿足上式，所以數列{an}的通項公式為an＝2n＋1. (2)由f(x)＝x2＋2x求導可得f′(x)＝2x＋2. ∵過點Pn(n，Sn)的切線的斜率為kn， ∴kn＝2n＋2. ∴bn＝2knan＝4(2n＋1)

13、4n. ∴ Tn＝4341＋4542＋4743＋…＋4(2n＋1)4n.① 由①4，得 4Tn＝4342＋4543＋4744＋…＋4(2n＋1)4n＋1.② ①－②得 －3Tn＝4[34＋2(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)4n＋1]＝ 4， ∴Tn＝4n＋2－. (3)∵Q＝{x|x＝2n＋2，n∈N*}，R＝{x|x＝4n＋2，n∈N*}，∴Q∩R＝R. 又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小數，∴c1＝6.∵{cn}的公差是4的倍數，∴c10＝4m＋6(m∈N*)． 又∵110