新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第2篇 函數(shù)的奇偶性學(xué)案 理

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1、 第十三課時 函數(shù)的奇偶性 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及其判斷方法; 2.掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象與性質(zhì); 3.會應(yīng)用奇函數(shù)、偶函數(shù)解決問題. 基礎(chǔ)知識梳理 1.如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做-------------------------------; 如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)= -f(x),那么函數(shù)f(x)叫做--------------------------- ; 2.如果奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=---------------

2、----------. 如果函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱,那么f(x)一定是----------------; 如果f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),那么f(x)的表達(dá)式是---------------- 3.奇偶函數(shù)的性質(zhì): (1)具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于--------------------------對稱. (2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于------------------------------對稱, 偶函數(shù)的圖象關(guān)于------------------------------對稱. (3)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性------------------------------

3、--,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性--------------------------------. (4)y=f(a+x)是偶函數(shù) f(a+x)= f(a-x) f(x)= f(2a-x) f(x)關(guān)于x=a對稱; (5)y=f(b+x)是奇函數(shù)f(b-x)=-f(b+x) f(x)關(guān)于(b,0)成中心對稱圖形. 預(yù)習(xí)自測 1.【20xx高考真題陜西理2】下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為( ) A. B. C. D. 2.(20xx山東理3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時, f(x) =x2+ ,則f(-1

4、)= ( )   ?。ˋ)-2 (B)0 (C)1 (D)2  3.已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則)在R上的表達(dá)式是( ?。? A.  B. C. D.   4.【20xx高考真題上海理9】已知是奇函數(shù),且,若,則 。 5.(20xx年高考(重慶文))函數(shù) 為偶函數(shù),則實數(shù)________ 課堂探究案 考點1. 判斷函數(shù)的奇偶性 【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1); (2); (3); (4). 【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1);(2).

5、 考點2. 利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)范圍. 【典例2】若奇函數(shù)是定義在(,1)上的增函數(shù), 試解關(guān)于的不等式:. 【變式2】若奇函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的減函數(shù),且f(a-3)+f(9-a2)<0,則a的取值范圍是( ) A (2,3) B (3,) C (2,4) D (-2,3) 考點3. 抽象函數(shù)奇偶性的判斷 【典例3】已知函數(shù)f(x)對一切x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求證:f(x)是奇函數(shù); (2)若f(-3)=a,用a表示f(12). 【變式3】已知函數(shù)對任意實數(shù),均有,且存在非零常數(shù) (1

6、)求的值; (2)判斷的奇偶性并證明. 考點4. 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【典例4】已知定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)、,恒有,且當(dāng)時,,又. (1)求證:為奇函數(shù); (2)求證:在R上是減函數(shù); (3)求在[,6]上的最大值與最小值. 【變式4】已知函數(shù)是偶函數(shù),在[0,2]上是單調(diào)減函數(shù),則( ) A. B. C. D. 考點5. 函數(shù)的周期性 【典例5】設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為R,最小正周期T=3,若f(1)≥1,f(2)=,則a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)<-1或a≥ B.a(chǎn)<-1 C.-

7、1<a≤ D.a(chǎn)≤ 【變式5】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+3)·f(x)=-1,f(-1)=2,則f(20xx)=________. 當(dāng)堂檢測 1.已知函數(shù)是偶函數(shù),且其定義域為[],則(  )  A.,b=0 B.,b=0 C.,b=0 D.,b=0 2.已知是定義在R上的偶函數(shù),它在上遞減,那么一定有 ( ) A. B. C. D. 3.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),,則=( ) A.0 B.1 C. D.5 4.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,則 . 5.已

8、知定義在上的函數(shù),滿足,且對任意的都有,則 . 課后拓展案 A組全員必做題 1.【20xx高考真題重慶理7】已知是定義在R上的偶函數(shù),且以2為周期,則“為上的增函數(shù)”是“為上的減函數(shù)”的( ) (A)既不充分也不必要的條件 (B)充分而不必要的條件 (C)必要而不充分的條件 (D)充要條件 2.下列命題中,真命題是( ) A.函數(shù)是奇函數(shù),且在定義域內(nèi)為減函數(shù) B.函數(shù)是奇函數(shù),且在定義域內(nèi)為增函數(shù) C.函數(shù)是偶函數(shù),且在(3,0)上為減函數(shù) D.函數(shù)

9、是偶函數(shù),且在(0,2)上為增函數(shù) 3. 若,都是奇函數(shù),在(0,+∞)上有最大值5,則在(-∞,0)上有( ) A.最小值-5  B.最大值-5 C.最小值-1   D.最大值-3 4.定義在R上的奇函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),又,則不等式的解集為( )A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 5.(20xx廣東理2)定義域為的四個函數(shù),,,中,奇函數(shù)的個數(shù)是( ) A . B. C. D. 6.已知函數(shù)是偶函數(shù),在[0,

10、3]上是單調(diào)增函數(shù),則( ) A. B. C. D. 7.(20xx山東高考理8)函數(shù)y=xcosx + sinx 的圖象大致為 ( ) A B C D 8.已知為奇函數(shù),當(dāng)∈(0,1)時,lg,那么當(dāng)∈(-1,0)時,的表達(dá)式是-----------------------. 9.(20xx江蘇11)已知是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時,,則不等式的解集用區(qū)間表示為

11、 _______ . 10.已知是奇函數(shù),則+= ----------------------. B組提高選做題 1.若是偶函數(shù),當(dāng)∈[0,+∞)時,,則的解集是---------------------. 2.已知是偶函數(shù),是奇函數(shù),若,則的解析式為------------------------------------------. 3.已知函數(shù)是奇函數(shù),又,,求、、的值. 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.D 2.A 3.D 4. 5.4 典型例題 【典例1】解:(1),解得,即定義域為. ∴該函數(shù)為非奇非偶函數(shù). (2),解得

12、,即定義域為. 又,∴該函數(shù)為偶函數(shù). (3)∴∴或. 又, ∴該函數(shù)為偶函數(shù). (4)時,,; 時,,. ∴該函數(shù)為奇函數(shù). 【變式1】【解析】(1)函數(shù)的定義域,關(guān)于坐標(biāo)原點對稱. ∵, ∴是奇函數(shù). (2)由得 故的定義域為[-1,0)∪(0,1],關(guān)于原點對稱,且有x+2>0. 從而有f(x)= =, ∴===,故為奇函數(shù). 【典例2】【解析】由已知得 因f(x)是奇函數(shù),故 ,于是. 又是定義在(1,1)上的增函數(shù),從而 即不等式的解集是. 【變式2】【答案】A 【解析】∵f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)又是減函數(shù), 且f(a

13、-3)+f(9-a2)<0 ∴f(a-3)<f(a2-9) ∴ ∴a∈(2,3) 【典例3】(1)證明:令,則, 令,得, ∴, ∴. ∴該函數(shù)為奇函數(shù). (2)解:∵為奇函數(shù),∴, ∴,. 【變式3】【解析】(1)均有 (2)令,,為偶函數(shù) 【典例4】(1)證明:令,則,∴. 令,則, ∴, ∴函數(shù)為奇函數(shù). (2)證明:取,則, , ∴在上是減函數(shù). (3)∵在上是減函數(shù), ∴,. 【變式4】【答案】A 【解析】由f(x-2)在[0,2]上單調(diào)遞減, ∴在[-2,0]上單調(diào)遞減. ∵是偶函數(shù), ∴在[0

14、,2]上單調(diào)遞增. 又,故應(yīng)選A. 【典例5】C 【變式5】 當(dāng)堂檢測 1.【答案】A 【解析】由為偶函數(shù),得b=0.由定義域[a-1,2a]關(guān)于原點對稱得a=,故選A. 2.【答案】B 【解析】∵, 又∵在上遞減,∴. ∵是定義在R上的偶函數(shù),∴,故選B. 3.【答案】C 【解析】由題意得,而,故, ∴. 4.【答案】 【解析】∵是定義在上的奇函數(shù),∴. 5.【答案】 【解析】由題意可得. ∴函數(shù)的周期為6. , 而. A組全員必做題 1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.D 8. 9. 10. B組提高選做題 1. 2. 3.解:,,∴. 又,∴,∴b=, ∴==<3, 即∴-1<a<2,又∵az, ∴a=0或1,當(dāng)a=0時,b=.舍去, 當(dāng)a=1時,b=.滿足條件, ∴a=1,b=1,c=0.

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