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1、
【導與練】(新課標)20xx屆高三數學一輪復習 第3篇 第4節(jié) 函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
三角函數圖象及變換
1、2、11、13
求解析式
4、5、9
三角函數模型及應用
6、8、12
綜合問題
3、7、10、14、15、16
基礎過關
一、選擇題
1.(20xx高考四川卷)為了得到函數y=sin(2x+1)的圖象,只需把函數y=sin 2x的圖象上所有的點( A )
(A)向左平行移動12個單位長度
(B)向右平行移動12個單位長度
(C)向左平行移動1個單位長度
(D)向右平行
2、移動1個單位長度
解析:y=sin(2x+1)=sin[2(x+12)],所以只需把y=sin2x的圖象上所有的點向左平行移動12個單位長度,故選A.
2.函數f(x)的圖象由函數g(x)=4sinxcosx的圖象向左平移π3個單位得到,則f(π8)等于( C )
(A)6+23 (B)6-23
(C)6-22 (D)6+22
解析:函數g(x)=4sinxcosx=2sin2x的圖象向左平移π3個單位得到y(tǒng)=2sin(2x+2π3)的圖象,
即f(x)=2sin(2x+2π3),
則f(π8)=2sin(2π8+2π3)
=2sin(π4+2π3)
=2(sinπ4cos2
3、π3+cosπ4sin2π3)
=2[22(-12)+2232]
=6-22.
3.(20xx德州月考)已知a是實數,則函數f(x)=1+asin ax的圖象可能是( B )
解析:函數圖象均沿y軸,向上平移1個單位,三角函數的周期為T=2π|a|,觀察選項,振幅大于1的有B,D,振幅小于1的有A,C,當振幅大于1時,∵|a|>1,∴T<2π,D不符合要求;對于B,振幅大于1,周期小于2π,符合要求;對于A,應該a<1,T>2π,但此圖周期看是恰為2π,不可能;對于C,-11,圖象不滿足此要求.故選B.
4.(20xx昆明一模)已知函數f(x)=A
4、sin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期為2,且f(16)=1,則函數y=f(x)的圖象向左平移13個單位所得圖象的解析式為( A )
(A)y=2sin(πx+π3)
(B)y=12sin(πx-π3)
(C)y=2sin(πx+13)
(D)y=12sin(πx+13)
解析:由最小正周期為2,得2πω=2,則ω=π,又f(16)=1,所以Asinπ6=1,A=2,所以f(x)=2sinπx,向左平移13個單位得到y(tǒng)=2sin(πx+π3).故選A.
5.(20xx廣州一模)函數f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π2)的部分圖象如圖所示,則函數y=f(x)對
5、應的解析式為( A )
(A)y=sin(2x+π6)
(B)y=sin(2x-π6)
(C)y=cos(2x+π6)
(D)y=cos(2x-π6)
解析:由圖象知f(x)max=A=1,
34T=1112π-π6=34π?T=π,
∴ω=2πT=2ππ=2,
∴f(x)=sin(2x+),
f(π6)=sin(2π6+)
=sin(π3+)
=1,
因為-π2<<π2,所以-π6<π3+<5π6,
所以π3+=π2?=π6,
因此f(x)=sin(2x+π6).
6.(20xx鄭州模擬)如表所示是某地近十年月平均氣溫(華氏)
月份
1
2
3
6、4
5
6
平均氣溫
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均氣溫
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份減1為x,平均氣溫為y,以下四個函數模型中哪一個最適合這些數據( C )
(A)y=Acosπ6x
(B)y=Acosπ6x-46
(C)y=-Acosπ6x+46
(D)y=Asinπ6x+26
解析:最高氣溫73.0,最低氣溫21.4,故2A=73.0-21.4=51.6,A=25.8,
x=2時,分別代入A,B,C,D,與y=36.0相比
7、較,只有C最接近.
二、填空題
7.(20xx高考重慶卷)將函數f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-π2≤<π2)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半,縱坐標不變,再向右平移π6個單位長度得到y(tǒng)=sin x的圖象,則f(π6)= .
解析:把函數y=sin x的圖象向左平移π6個單位長度得到y(tǒng)=sin(x+π6)的圖象,再把函數y=sin(x+π6)圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,得到函數f(x)=sin(12x+π6)的圖象,所以f(π6)=
sin(12π6+π6)=sinπ4=22.
答案:22
8.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地
8、用三角函數y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的平均氣溫最高,為28 ℃,12月份的平均氣溫最低,為18 ℃,則10月份的平均氣溫值為 ℃.
解析:依題意知,a=28+182=23,A=28-182=5,
∴y=23+5cosπ6(x-6),
當x=10時,y=23+5cosπ64=20.5.
答案:20.5
9.如果存在正整數ω和實數,使得函數f(x)=cos2(ωx+)的部分圖象如圖所示,且圖象經過點(1,0),那么ω的值為 .
解析:f(x)=cos2(ωx+)
=1+cos(2ωx+2φ)2,
由圖象知T2<1<3
9、4T,43
10、y軸上的角的集合是{α|α=kπ+π2,k∈Z,},假命題.
③在同一坐標系中,函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象,只有一個公共點,假命題.
④把函數y=3sin(2x+π3)的圖象向右平移π6個單位得到y(tǒng)=3sin[2(x-π6)+π3]=3sin 2x的圖象,真命題.
⑤函數y=sin(x-π2)在(0,π)上是增函數,假命題.
答案:①④
三、解答題
11.設函數f(x)=sin x+sin(x+π3).
(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;
(2)不畫圖,說明函數y=f(x)的圖象可由y=sin x的圖象經過怎樣的變化得到.
解:(1)
11、因f(x)=sin x+sin(x+π3)
=sin x+sin xcosπ3+cos xsinπ3
=sin x+12sin x+32cos x
=32sin x+32cos x
=3(32sin x+12cos x)
=3sin(x+π6).
所以f(x)的最小值是-3,這時x+π6=2kπ-π2,k∈Z,
即x=2kπ-23π,k∈Z,
此時,x取值集合為{x|x=2kπ-23π,k∈Z}.
(2)把函數y=sin x的圖象向左平移π6個單位得函數y=sin(x+π6)的圖象,再把所得函數圖象上各點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),即得函數f(x)=3sin(x+
12、π6)的圖象.
12.如圖所示,某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點為S(3,23),賽道的后一部分為折線段MNP,求A,ω的值和M,P兩點間的距離.
解:依題意,有A=23,T4=3,又T=2πω,
所以ω=π6,
所以y=23sinπ6x,x∈[0,4],
所以當x=4時,y=23sin2π3=3,
所以M(4,3),又P(8,0),
所以MP=(8-4)2+(0-3)2=42+32=5(km),
即M,P兩點間的距離為5 km.
能力
13、提升
13.(20xx上海市嘉定區(qū)一模)將函數y=sin 2x(x∈R)的圖象分別向左平移m(m>0)個單位,向右平移n(n>0)個單位,所得到的兩個圖象都與函數y=sin(2x+π6)的圖象重合,則m+n的最小值為( C )
(A)2π3 (B)5π6 (C)π (D)4π3
解析:利用圖象變換的結論,函數y=sin2x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位,得函數y=sin[2(x+m)]=sin(2x+2m)的圖象,向右平移n(n>0)個單位,得函數y=sin[2(x-n)]=sin(2x-2n)的圖象,它們都與函數y=sin(2x+π6)的圖象重合,則最小的m,n應該為2m=
14、π6,2π-2n=π6,從而m+n=π.
14. 已知函數y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,| |<π2)在一個周期內的圖象如圖所示,M,N分別是最大、最小值點,且OM→ON→=0,則ωA=
.
解析:由圖象知T=4(π3-π12)=π,所以ω=2ππ=2.
又M(π12,A),N(7π12,-A),
由已知OM→ON→=0,得(π12,A)(7π12,-A)=0,解得A=712π,所以ωA=76π.
答案:76π
15.已知函數f(x)=Asin(ωx+)(x∈R,A>0,ω>0,0<<π2)的部分圖象如圖所示,P是圖象的最高點,Q為圖象與x軸的交點,O為坐標
15、原點.若OQ=4,OP=5,PQ=13.
(1)求函數y=f(x)的解析式;
(2)將函數y=f(x)的圖象向右平移2個單位后得到函數y=g(x)的圖象,當x∈[0,3]時,求函數h(x)=f(x)g(x)的值域.
解:(1)由條件,cos∠POQ=42+(5)2-(13)2245=55,所以P(1,2).
所以A=2,周期T=4(4-1)=12,又2πω=12,則ω=π6.
將點P(1,2)代入f(x)=2sin(π6x+),得sin(π6+)=1,
因為0<<π2,所以=π3,所以f(x)=2sin(π6x+π3).
(2)由題意,可得g(x)=2sinπ6x.
所以h
16、(x)=f(x)g(x)=4sin(π6x+π3)sinπ6x=2sin2π6x+23sinπ6xcosπ6x
=1-cosπ3x+3sinπ3x=1+2sin(π3x-π6),當x∈[0,3]時,π3x-π6∈[-π6,5π6],所以sin(π3x-π6)∈[-12,1],
所以函數h(x)的值域為[0,3].
探究創(chuàng)新
16.(20xx上海市黃浦區(qū)一模)已知函數f(x)=3sin ωx+cos ωx+c(ω>0,x∈R,c是實數常數)的圖象上的一個最高點是(π6,1),與該最高點最近的一個最低點是(2π3,-3),
(1)求函數f(x)的解析式及其單調增區(qū)間;
(2)在△ABC
17、中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且AB→BC→=-12ac,角A的取值范圍是區(qū)間M,當x∈M時,試求函數f(x)的取值范圍.
解:(1)∵f(x)=3sin ωx+cos ωx+c,
∴f(x)=2sin(ωx+π6)+c,
∵(π6,1)和(2π3,-3)分別是函數圖象上相鄰的最高點和最低點,
∴T2=2π3-π6,ω=2πT,2sin(π6ω+π6)+c=1.解得T=π,c=-1,ω=2.
∴f(x)=2sin(2x+π6)-1.
由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
∴函數f(x)的單調遞增區(qū)間是[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.
(2)∵在△ABC中,AB→BC→=-12ac,
∴accos(π-B)=-12ac,0