高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)演練知能檢測(cè)

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1、 精品資料 第五節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) [全盤鞏固] 1．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　當(dāng)l⊥α?xí)r，l⊥m且l⊥n；但當(dāng)l⊥m，l⊥n時(shí)，若m、n不是相交直線，則得不到l⊥α.即“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的充分不必要條件． 2．已知直線l垂直于直線AB和AC，直線m垂直于直線BC和AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B

2、．異面 C．相交 D．垂直 解析：選A　因?yàn)橹本€l垂直于直線AB和AC，所以l垂直于平面ABC或點(diǎn)A、B、C所在的直線，同理，直線m垂直于平面ABC或點(diǎn)A、B、C所在的直線，根據(jù)線面或線線垂直的性質(zhì)定理得l∥m. 3．已知P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要條件是(　　) A．PA＝PB＝PC B．PA⊥BC，PB⊥AC C．點(diǎn)P到△ABC三邊所在直線的距離相等 D．平面PAB、平面PBC、平面PAC與△ABC所在的平面所成的角相等 解析：選B　條件A為外心的充分必要條件，條件C、D為內(nèi)心的充分必要條件． 4

3、．α，β為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α B．若m?α，n?β，m⊥n，則n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β 解析：選C　與α、β兩垂直相交平面的交線垂直的直線m，可與α平行或相交，故A錯(cuò)；對(duì)B，存在n∥α的情況，故B錯(cuò)；對(duì)D，存在α∥β的情況，故D錯(cuò)；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正確． 5.如圖所示，在立體圖形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD[來(lái)

4、源:] B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：選C　因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)． 所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC. 而BE∩DE＝E，BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以AC⊥平面BDE. 因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE. 又因?yàn)锳C?平面ADC， 所以平面ADC⊥平面BDE. 6.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M的軌跡為(　　)

5、 解析： 選A　取AD的中點(diǎn)E， 連接PE，PC，CE. 由PE⊥AD知，PE⊥平面ABCD， 從而平面PEC⊥平面ABCD，取PC、AB的中點(diǎn)F、G，連接DF、DG、FG， 由PD＝DC知，DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC， 又PC?平面PEC， ∴DG⊥PC， 又DF∩DG＝D，DF?平面DFG，DG?平面DFG， ∴PC⊥平面DFG， 又點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)， 因此線段DG上的點(diǎn)滿足MP＝MC. 7．設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個(gè)平面，給出下列命題： ①若l⊥α，則l與α相交； ②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α； ③若l∥m，

6、m∥n，l⊥α，則n⊥α； ④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n. 其中正確命題的序號(hào)為________． 解析：①顯然正確；對(duì)②，只有當(dāng)m，n相交時(shí)，才有l(wèi)⊥α，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正確；對(duì)④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n，故④正確． 答案：①③④ 8.如圖所示，矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)： ①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4. 當(dāng)在BC邊上存在點(diǎn)Q(Q不在端點(diǎn)B、C處)，使PQ⊥QD時(shí)，a可以取________(填上一個(gè)你認(rèn)為正確的數(shù)據(jù)序號(hào)即可)． 解

7、析： 當(dāng)PQ⊥QD時(shí)，有QD⊥平面PAQ， 所以QD⊥AQ. 在矩形ABCD中，設(shè)BQ＝x(0

8、，其中真命題的序號(hào)是________． 解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯(cuò)誤；由①可知④正確． 答案：①②④ 10．(2014臺(tái)州模擬)如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，E為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝∠ADC＝90，AB＝3，CD＝1，PA＝AD＝2. (1)求證：DE⊥平面PAC； (2)求PA與平面PDE所成角的正弦值． 解：(1)證明：因

9、為PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，所以PA⊥DE，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以EF∥AB且EF＝＝2， 在Rt△ADC和Rt△DEF中，∠EFD＝∠ADC＝90， DF＝DC＝1，EF＝AD＝2， 所以△EFD≌△ADC，∠FED＝∠DAC，所以AC⊥DE. 因?yàn)镻A∩AC＝A，PA，AC?平面PAC所以DE⊥平面PAC. (2)由(1)知平面PDE⊥平面PAC， 設(shè)DE∩AC＝G，連接PG，在Rt△PAG中，作AH⊥PG，垂足為H， 則AH⊥平面PDE，所以∠APH是PA與平面PDE所成的角， 由(1)知，在Rt△ADG中，AD＝2

10、，tan∠CAD＝＝， 所以AG＝ADcos∠CAD＝， 因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PG＝＝， sin∠APH＝sin∠APG＝＝， 即PA與平面PDE所成角的正弦值為. 11. (2013江蘇高考)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過(guò)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．求證： (1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 證明：(1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F， 所以F是SB的中點(diǎn)． 又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)， 所以EF∥AB. 因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面

11、ABC. 同理EG∥平面ABC. 又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB， 又AF?平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC. 因?yàn)锽C?平面SBC，[來(lái)源:] 所以AF⊥BC. 又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?平面SAB， 所以BC⊥平面SAB. 因?yàn)镾A?平面SAB， 所以BC⊥SA. 12.如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)． (1)求證：CD⊥平面SAD； (2)求證：PQ∥平面SCD； (3)若S

12、A＝SD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論． 解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形， 所以CD⊥AD. 又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD， 所以CD⊥平面SAD. (2)證明：取SC的中點(diǎn)R，連接QR，DR. 由題意知，PD∥BC且PD＝BC. 在△SBC中，Q為SB的中點(diǎn)，R為SC的中點(diǎn)， 所以QR∥BC且QR＝BC. 所以QR∥PD且QR＝PD，[來(lái)源:] 則四邊形PDRQ為平行四邊形， 所以PQ∥DR. 又PQ?平面SCD，DR?平面SCD， 所以PQ∥平面SCD. (3

13、)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，使得平面DMN⊥平面ABCD. 連接PC、DM交于點(diǎn)O，連接PM、SP、NM、ND、NO， 因?yàn)镻D∥CM，且PD＝CM， 所以四邊形PMCD為平行四邊形， 所以PO＝CO. 又因?yàn)镹為SC的中點(diǎn)， 所NO∥SP. 易知SP⊥AD， 因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD， 所以SP⊥平面ABCD， 所以NO⊥平面ABCD. 又因?yàn)镹O?平面DMN， 所以平面DMN⊥平面ABCD. [沖擊名校] 如圖在直棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上

14、運(yùn)動(dòng)． (1)證明：AD⊥C1E； (2)當(dāng)異面直線AC與C1E 所成的角為60時(shí)，求三棱錐C1A1B1E的體積． 解：(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)， 所以AD⊥BC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1. 又BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BB1C1C， 所以AD⊥平面BB1C1C. 由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E?平面BB1C1C，所以AD⊥C1E. (2)因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC與C1E所成的角，由題設(shè)知∠A1C1E＝60. 因?yàn)椤螧1A1C1＝∠BAC＝90，所

15、以A1C1⊥A1B1，[來(lái)源:] 又AA1⊥A1C1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面A1ABB1， 從而A1C1⊥平面A1ABB1， 又A1E?平面A1ABB1，所以A1C1⊥A1E. 故C1E＝＝2， 又B1C1＝＝2， 所以B1E＝＝2. 從而V三棱錐C1A1B1E＝S△A1B1EA1C1＝2＝. [高頻滾動(dòng)] 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)． (1)求證：AB1⊥平面A1BD； (2)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OD∥平面ABC時(shí)，求的值． 解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，B1M， 在正三

16、棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，△ABC為正三角形，所以AM⊥BC， 又平面ABC∩平面BCC1B1＝BC， 故AM⊥平面BCC1B1， 又BD?平面BCC1B1， 所以AM⊥BD. 又正方形BCC1B1中，tan∠BB1M＝tan∠CBD＝， 所以BD⊥B1M，又B1M∩AM＝M，B1M?平面AB1M，AM?平面AB1M， 所以BD⊥平面AB1M，又AB1?平面AB1M，故AB1⊥BD. 在正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B， 又A1B∩BD＝B，A1B，BD?平面A1BD， 所以AB1⊥平面A1BD. (2)取AA1的中點(diǎn)為N，連接ND，OD，ON. 因?yàn)镹，D分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，所以ND∥AC，又AC?平面ABC，ND?平面ABC， 所以ND∥平面ABC， 又OD∥平面ABC，ND∩OD＝D， 所以平面NOD∥平面ABC， 又平面NOD∩平面BAA1B1＝ON，平面BAA1B1∩平面ABC＝AB，所以O(shè)N∥AB， 注意到AB∥A1B1，所以O(shè)N∥A1B1， 又N為AA1的中點(diǎn)， 所以O(shè)為AB1的中點(diǎn)，即＝1.