高三數(shù)學文一輪備考 第8章第6節(jié)雙曲線

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1、 精品資料 高考真題備選題庫 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線 考點一 雙曲線的定義、標準方程 1．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等 解析：本題考查三角函數(shù)、雙曲線等知識，意在考查考生對雙曲線知識的掌握情況，會求實軸、虛軸、焦距和離心率的值，掌握三角函數(shù)的重要公式是求解本題的基礎．雙曲線C1的離心率e1＝＝ ＝ ＝，雙曲線C2的離心率e2＝＝ ＝ ＝＝ ＝，所以e1＝e2，而雙曲線C1的實軸長為2a

2、1＝2cos θ，虛軸長為2b1＝2sin θ，焦距為2c1＝2 ＝2，雙曲線C2的實軸長為2a2＝2sin θ，虛軸長為2b2＝2sin θsin θ，焦距為2c2＝2 ＝2 ＝2tan θ，所以A，B，C均不對，故選D. 答案：D 2．（2013天津，5分）已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________． 解析：本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質，意在考查考生的運算求解能力．拋物線y2＝8x的準線x＝－2過雙曲線的一個焦點，所以c＝2，又離心率為2，所以a＝1，b＝＝，所以該雙曲

3、線的方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 3．（2012湖南，5分）已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：根據(jù)已知列出方程即可．c＝5，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x經(jīng)過點(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的雙曲線方程是－＝1. 答案：A 4．（2011安徽，5分）雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：雙曲線方程可變形為－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4. 答案

4、：C 5．（2012天津，5分）已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)與雙曲線C2：－＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F(，0)，則a＝________b＝________. 解析：雙曲線－＝1的漸近線為y＝±2x，則＝2，即b＝2a，又因為c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2. 答案：1　2 6．（2011山東，4分）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． 解析：由題意知，橢圓的焦點坐標是(±，0)，離心率是.故在雙曲線中c＝，e＝＝，

5、故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求雙曲線的方程是－＝1. 答案：－＝1. 考點二 雙曲線的簡單幾何性質 1．（2013新課標全國Ⅰ，5分）已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：本題主要考查雙曲線的離心率、漸近線方程等基本知識．∵e2＝＝＝1＋＝，∴＝，∴＝，∴y＝±x. 答案：C 2．（2013福建，5分）雙曲線x2－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C．1 D

6、. 解析：本題主要考查雙曲線的圖像與性質以及點到直線的距離等基礎知識，意在考查考生的數(shù)形結合能力、轉化和化歸能力、運算求解能力．雙曲線x2－y3＝1的漸近線為x±y＝0，頂點坐標為(±1,0)，故頂點到漸近線的距離為. 答案：B 3．（2013浙江，5分）如圖F1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓與雙曲線的定義、幾何性質等基礎知識，意在考查考生對基礎知識的掌握情況，以及基本的運算和求解能力．由

7、橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2， ∴a＝，∴e＝＝. 答案：D 4．（2013重慶，5分）設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A.，2 B.，2 C.，＋∞ D. ，＋∞ 解析：本題

8、主要考查雙曲線的離心率、直線與曲線的位置關系、不等式的性質．設雙曲線的焦點在x軸上，則由題意知該雙曲線的一條漸近線的斜率k(k>0)必須滿足<k≤，易知k＝，所以<2≤3，<1＋2≤4，即有< ≤2.又雙曲線的離心率為e＝＝ ，所以<e≤2. 答案：A 5．（2013陜西，5分）雙曲線－＝1的離心率為，則m等于________． 解析：本題考查雙曲線的幾何性質和方程思想的具體應用． ?＝?m＝9. 答案：9 6．（2013陜西，5分）已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△

9、PQF的周長為________． 解析：本題主要考查雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質，雙曲線方程，意在考查考生綜合運用圓錐曲線知識解決問題的能力．由題意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，兩式相加，利用雙曲線的定義得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周長為|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44. 答案：44 7．（2013湖南，5分）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________． 解析：本小題主要考查雙曲線的定義及其幾何性質

10、和余弦定理，考查數(shù)形結合思想與運算求解能力，屬中檔題．依題意及雙曲線的對稱性，不妨設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos 30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故雙曲線C的離心率為.

11、答案： 8．（2012新課標全國，5分）等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4，則C的實軸長為(　　) A.　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 解析：拋物線y2＝16x的準線方程是x＝－4，所以點A(－4，2)在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a＞0)上，將點A的坐標代入得a＝2，所以C的實軸長為4. 答案：C 9．（2012福建，5分）已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故該雙曲線的離心率

12、e＝＝. 答案：C 10．（2011天津，5分）已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：由解得由題知 得又知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝， ∴焦距2c＝2. 答案：B 11．（2011湖南，5分）設雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：雙曲線方程－＝1的漸近線方程為3x±ay＝0，與已

13、知方程比較系數(shù)得a＝2. 答案：C 12．（2010遼寧，5分）設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：設F(0,0)，B(0，b)，則直線FB的斜率為－，與其垂直的漸近線的斜率為，所以有－＝－1即b2＝ac， 所以c2－a2＝ac，兩邊同時除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝. 答案：D 13．（2012江蘇，5分）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________． 解析：由題意得m>0，∴a＝，b＝，∴c＝，由e＝＝得＝5

14、，解得m＝2. 答案：2 14．（2012遼寧，5分）已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________． 解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，因為PF1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因為|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，則(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 15．（2011北京，5分）已知雙曲線

15、x2－＝1(b>0)的一條漸近線的方程為y＝2x，則b＝________. 解析：雙曲線x2－＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±bx，比較系數(shù)得b＝2. 答案：2 16．（2011江西，5分）若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. 解析：由題知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，則m＝c2－a2＝48. 答案：48 17．（2010福建，4分）若雙曲線－＝1(b＞0)的漸近線方程為y＝±x，則b等于________． 解析：－＝1的漸近線方程為y＝±bx， ∵y＝±x， ∴b＝，∴b＝1. 答案：1