《【名校資料】陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破四 壓軸題 二次函數(shù)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【名校資料】陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破四 壓軸題 二次函數(shù)(4頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆
壓軸題 二次函數(shù)
1.(2015·遂寧)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-2,0),B(4,0),C(0,3)三點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使△ACM為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)把A(-2,0),B(4,0),C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c得解得則拋物線的解析式是:y=-x2+x+3
(2)如圖,作線段CA的垂直平分線,交y軸于M1,交AC于N,連接AM1,則△AM1C是等腰三角形,∵AC==,∴CN
2、=,∵△CNM1∽△COA,∴=,∴=,∴CM1=,∴OM1=OC-CM1=3-=,∴M1的坐標(biāo)是(0,),當(dāng)CA=CM2=時(shí),△AM2C是等腰三角形,則OM2=3+,M2的坐標(biāo)是(0,3+),當(dāng)CA=AM3=時(shí),△AM3C是等腰三角形,則OM3=3,M3的坐標(biāo)是(0,-3),當(dāng)CA=CM4=時(shí),△AM4C是等腰三角形,則OM4=-3,M4的坐標(biāo)是(0,3-)
2.(2015·益陽(yáng))已知拋物線E1:y=x2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,m),以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,2),點(diǎn)A,B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′,B′.
(1)求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
3、(2)如圖,在第一象限內(nèi),拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)Q,B,B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)∵拋物線E1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,m),∴m=12=1.∵拋物線E2的頂點(diǎn)在原點(diǎn),可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2(a≠0),又∵點(diǎn)B(2,2)在拋物線E2上,∴2=a×22,解得:a=,∴拋物線E2所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2
(2)如圖,假設(shè)在第一象限內(nèi),拋物線E1上存在點(diǎn)Q,使得△QBB′為直角三角形,由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn)B或點(diǎn)Q.①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)B作Q1B⊥BB′交拋物線E1于Q1,則點(diǎn)Q1與B的
4、橫坐標(biāo)相等且為2,將x=2代入y=x2得y=4,∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(2,4) ②當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí),則有Q2B′2+Q2B2=B′B2,過(guò)點(diǎn)Q2作GQ2⊥BB′于G,設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(t,t2)(t>0),則有(t+2)2+(t2-2)2+(2-t)2+(t2-2)2=42,整理得:t4-3t2=0,∵t>0,∴t2-3=0,解得t1=,t2=-(舍去),∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(,3),綜合①②,存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,4)與(,3)
3.(2015·貴陽(yáng)模擬)如圖所示,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(0,-3).
(1)求拋
5、物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DC=DE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C,D,P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,請(qǐng)你直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(0,-3),∴解得故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2-2x-3 (2)令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,-4),設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),作EF⊥y軸于點(diǎn)F,∵DC2=OD2+OC2=m2+32,DE
6、2=DF2+EF2=(m+4)2+12,∵DC=DE,∴m2+9=m2+8m+16+1,解得m=-1,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-1)
(3)∵點(diǎn)C(3,0),D(0,-1),E(1,-4),∴CO=DF=3,DO=EF=1,根據(jù)勾股定理,CD===,在△COD和△DFE中,∵∴△COD≌△DFE(SAS),∴∠EDF=∠DCO,又∵∠DCO+∠CDO=90°,∴∠EDF+∠CDO=90°,∴∠CDE=180°-90°=90°,∴CD⊥DE,①OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵△DOC∽△PDC,∴=,即=,解得DP=,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,則==,
7、即==,解得DG=1,PG=,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OG=DG-DO=1-1=0,所以點(diǎn)P(-,0),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OG=DO+DG=1+1=2,所以,點(diǎn)P(,-2);②OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵△DOC∽△CDP,∴=,即=,解得DP=3,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,則==,即==,解得DG=9,PG=3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OG=DG-OD=9-1=8,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-3,8),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OG=OD+DG=1+9=10,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,-10),綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè),其坐標(biāo)分別為(-,0),(,-2),(-3,8),(3,-10)
4.(2
8、015·重慶)如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,直線AD與y軸交于點(diǎn)E.
(1)求直線AD的解析式;
(2)如圖,直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H,求△FGH周長(zhǎng)的最大值;
(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),以A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形.若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱,求點(diǎn)T的坐標(biāo).
解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),當(dāng)y=0時(shí),-x2+2x+
9、3=0,解得x1=-1,x2=3,則A(-1,0),B(3,0),∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,而點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱,∴D(2,3),設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,把A(-1,0),D(2,3)分別代入得解得∴直線AD的解析式為y=x+1 (2)當(dāng)x=0時(shí),y=x+1=1,則E(0,1),∵OA=OE,∴△OAE為等腰直角三角形,∴∠EAO=45°,∵FH∥OA,∴△FGH為等腰直角三角形,過(guò)點(diǎn)F作FN⊥FH交AD于N,如圖,∴△FNH為等腰直角三角形,而FG⊥HN,∴GH=NG,∴△FGH的周長(zhǎng)等于△FGN的周長(zhǎng),∵FG=GN
10、=FN,∴△FGN周長(zhǎng)=(1+)FN,∴當(dāng)FN最大時(shí),△FGN的周長(zhǎng)最大,設(shè)F(x,-x2+2x+3),則N(x,x+1),∴FN=-x2+2x+3-x-1=-(x-)2+,當(dāng)x=時(shí),F(xiàn)N有最大值,∴△FGN周長(zhǎng)的最大值為(1+)×=,即△FGH周長(zhǎng)的最大值為 (3)直線AM交y軸于R,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,則M(1,4),設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n,把A(-1,0),M(1,4)分別代入得解得∴直線AM的解析式為y=2x+2,當(dāng)x=0時(shí),y=2x+2=2,則R(0,2),當(dāng)AQ為矩形APQM的對(duì)角線,如圖1,∵∠RAP=90°,而AO⊥PR,∴Rt△AOR∽R(shí)t△POA,∴AO∶OP=OR∶OA,即1∶OP=2∶1,解得OP=,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-),∵點(diǎn)A(-1,0)向上平移4個(gè)單位,向右平移2個(gè)單位得到M(1,4),∴點(diǎn)P(0,-)向上平移4個(gè)單位,向右平移2個(gè)單位得到Q(2,),∵點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱,∴T點(diǎn)坐標(biāo)為(0,);當(dāng)AP為矩形AQPM的對(duì)角線,反向延長(zhǎng)QA交y軸于S,如圖2,同理可得S點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-),∵R點(diǎn)為AM的中點(diǎn),∴R點(diǎn)為PS的中點(diǎn),∴PM=SA,P(0,),∵PM=AQ,∴AQ=AS,∴點(diǎn)Q關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)為S,即T點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-).綜上所述,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0,)或(0,-)