【名校資料】陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破四 壓軸題 四邊形

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1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 壓軸題 1．在半徑為R的半圓O內(nèi)，畫出兩個(gè)正方形ABCD和正方形DEFG，使得A，D，E都在直線MN上，B，F(xiàn)都在半圓弧上．請(qǐng)你解答下列問(wèn)題： (1)如圖1，當(dāng)C，G重合時(shí)，求兩個(gè)正方形的面積和S； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在半圓弧上時(shí)，求兩個(gè)正方形的面積和S. 解：(1)如圖1，連接MB，MN, 設(shè)正方形ABCD的邊為a，∴AM＝R－a，AN＝R＋a, ∵M(jìn)N是半圓O的直徑，BA⊥MN，∴∠ABN＝90，∴AB2＝AMAN, 則a2＝(R－a)(R＋a)，∴a2＝R2－a2，∴2a2＝R2，即S＝R2　(2)如圖2，連接MB

2、，MN，依題意有，AB2＝AMAN ，則OA＝OD＝， ∴AM＝R－，AN＝R＋，∴a2＝(R－)(R＋)＝R2－()2，∴a2＋()2＝R2，又由勾股定理可得小正方形的邊長(zhǎng)為， 即S＝R2 2．如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2 cm/s，以AQ，PQ為邊作平行四邊形AQPB，連接DQ，交AB于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：s)(0≤t≤4)．請(qǐng)你解答下列問(wèn)題： (1)用含t的代數(shù)式表

3、示AE＝__5－t__； (2)當(dāng)t為何值時(shí)，DQ＝AP； (3)如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形． 解：(1)如圖1，依題意有，AQ＝2t，BP＝2t，∵AB＝10，∴AP＝10－2t，∴AE＝5－t　(2)如實(shí)驗(yàn)用圖，當(dāng)DQ＝AP時(shí)，四邊形AQPD為矩形，則△APQ∽ABC, ∴＝，∴＝，解得t＝，即當(dāng)t＝時(shí)，DQ＝AP　(3)如圖2，當(dāng)平行四邊形AQPD為菱形時(shí)，DQ⊥AP, ∴∠AEQ＝ACB＝90， 由三角函數(shù)的定義有cos∠EAQ＝＝，∴＝，解得t＝，即當(dāng)t＝時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形

4、 3．(2009陜西)問(wèn)題探究 (1)在圖①的半徑為R的半圓O內(nèi)(含弧)，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個(gè)正三角形的面積． (2)在圖②的半徑為R的半圓O內(nèi)(含弧)，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個(gè)正方形的面積． 問(wèn)題解決 (3)如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R＝6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)矩形的面積；若不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形. 連接OC，則OC⊥AB.∵AB＝2OCtan30＝R，∴S△ACB＝ABOC＝RR＝R2　(2)如圖②，

5、正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形， 連接OA，令OB＝a，則AB＝2a.在Rt△ABO中，a2＋(2a)2＝R2, 即a2＝R2，S正方形ABCD＝(2a)2＝R2　(3)存在．如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點(diǎn)A，D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關(guān)于直徑MN所在直線的對(duì)稱圖形，A，D的對(duì)稱點(diǎn)分別是A′，D′.連接A′D，AD′，則A′D為⊙O的直徑， ∴S矩形ABCD＝ABAD＝AA′AD＝S△AA′D, ∵在Rt△AA′D中，當(dāng)OA⊥A′D時(shí)，S△AA′D的面積最大， ∴S矩形ABCD最大＝2RR＝R2＝36

6、 4．在正方形ABCD中，AB＝4，O是CD上一點(diǎn)，且OD＝1.(有同樣條件的圖形，供解答下列問(wèn)題時(shí)使用) (1)如圖1，若直線CD繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30時(shí)交BC于點(diǎn)G, 則CG＝____； (2)如圖2，當(dāng)直線CD繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)，正好將正方形ABCD的面積分成相等的兩部分，此時(shí)，直線CD旋轉(zhuǎn)與正方形ABCD的另一個(gè)交點(diǎn)是F，求OF的長(zhǎng)度； (3)如圖3，直線CD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與AD相交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F時(shí)，恰好DE＝，設(shè)P為OF上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥AB于M，PN⊥BF于N，PN＝x，S矩形BMPN＝y(tǒng). ①求y與之間的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng)為何值

7、時(shí)，y的值最大，最大值是多少？ 解：(1)∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，OD＝1，∴OC＝3，∵∠C＝90， ∴在Rt△OGC中，由三角函數(shù)的定義有，tan30＝，＝， 即CG＝　(2)連接AC，BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G, ∵OD＝BF＝CG＝1，∴OG＝2，而FG＝4，∴在Rt△FGO中，由勾股定理得，OF＝＝2　(3)依題意可知有，PN＝x，DE＝，OQ＝3－x，又△OQP∽△ODE，∴＝， ∴＝，∴QP＝(3－x)，∴MP＝4＋(3－x)＝－x＋8, ∴y＝MPPN＝(－x＋8)x，∴y＝－x2＋8x，∵a＝－＜0, ∴當(dāng)x＝－＝時(shí)，y最大值＝＝6