高考數學浙江理科一輪【第三章】導數及其應用 第三章 3.4

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1、 精品資料 §3.4　三角函數的圖象和性質 1． 用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 正弦函數y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 余弦函數y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 2． 正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質 函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，

2、k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調性 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞增； [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞減 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增； [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上遞增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 對稱中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)

3、 對稱軸方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)常數函數f(x)＝a是周期函數，它沒有最小正周期． (　√　) (2)y＝sin x在x∈[0，]上是增函數． (　√　) (3)y＝cos x在第一、二象限上是減函數． (　×　) (4)y＝tan x在整個定義域上是增函數． (　×　) (5)y＝ksin x＋1(x∈R)，則ymax＝k＋1. (　×　

4、) (6)若sin x>，則x>. (　×　) 2． (2012·福建)函數f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是 (　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 答案　C 解析　方法一　∵正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點， 故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z. 取k＝－1，則x＝－. 方法二　用驗證法． x＝時，y＝sin＝0，不合題意，排除A； x＝時，y＝sin＝，不合題意，排除B； x＝－時，y＝sin＝－1，符合題意，C項正確； x＝－時，y＝sin＝－

5、，不合題意，故D項也不正確． 3． 若函數f(x)＝sin ωx (ω>0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω等于 (　　) A． B． C．2 D．3 答案　B 解析　∵f(x)＝sin ωx(ω>0)過原點， ∴當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數； 當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數． 由f(x)＝sin ωx (ω>0)在上單調遞增， 在上單調遞減知，＝，∴ω＝. 4． (2013·湖北)將函數y＝cos x＋sin x(x∈R) 的圖象向左平移m(

6、m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　y＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)向左平移m個單位長度后得到y(tǒng)＝2sin(x＋＋m)，它關于y軸對稱可得 sin(＋m)＝±1， ∴＋m＝kπ＋，k∈Z， ∴m＝kπ＋，k∈Z， ∵m>0，∴m的最小值為. 5． 函數y＝lg sin 2x＋的定義域為________________． 答案　{x|－3≤x<－或0<x<} 解析　由， 得 ∴－3≤x<－或0<x&l

7、t;. ∴函數y＝lg sin 2x＋的定義域為 {x|－3≤x<－或0<x<}. 題型一　求三角函數的定義域和最值 例1　(1)(2012·山東)函數y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 (　　) A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ (2)函數y＝的定義域為____________________________． 思維啟迪　求函數的定義域可利用三角函數的圖象或數軸；求函數最值或值域時要利用圖象、三角變換、二次函數等知識． 答案　(1)A　(2){x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z} 解析　(1)利用三角函

8、數的性質先求出函數的最值． ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤， ∴sin∈. ∴y∈，∴ymax＋ymin＝2－. (2)要使函數有意義，必須有， 即 故函數的定義域為{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}． 思維升華　(1)求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解． (2)求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目： ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； ②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數求值域(最

9、值)； ③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數，可先設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數求值域(最值)． 　(1)函數y＝lg(sin x)＋的定義域為________． (2)函數y＝sin2x＋sin x－1的值域為 (　　) A．[－1,1] B．[－，－1] C．[－，1] D．[－1，] 答案　(1){x|2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z}　(2)C 解析　(1)要使函數有意義必須有 即解得(k∈Z)， ∴2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函數的

10、定義域為{x|2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z}． (2)y＝sin2x＋sin x－1，令t＝sin x，則有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]， 畫出函數圖象如圖所示，從圖象可以看出， 當t＝－及t＝1時，函數取最值，代入y＝t2＋t－1， 可得y∈[－，1]． 題型二　三角函數的單調性、周期性 例2　寫出下列函數的單調區(qū)間及周期： (1)y＝sin；(2)y＝|tan x|. 思維啟迪　(1)化為y＝－sin，再求單調區(qū)間及周期．(2)由y＝tan x的圖象→y＝|tan x|的圖象→求單調性及周期． 解　(1)y＝－sin， 它的增區(qū)間是y＝sin的減區(qū)間， 它

11、的減區(qū)間是y＝sin的增區(qū)間． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所給函數的減區(qū)間為，k∈Z； 增區(qū)間為，k∈Z. 最小正周期T＝＝π. (2)觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區(qū)間是，k∈Z，減區(qū)間是，k∈Z. 最小正周期T＝π. 思維升華　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．

12、(2)求函數的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復合函數單調性規(guī)律“同增異減”． (3)求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定． 　求函數y＝sin＋cos的周期、單調區(qū)間及最大、最小值． 解　∵＋＝， ∴cos＝cos ＝cos＝sin. ∴y＝2sin，周期T＝＝. 當－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時，函數單調遞增， ∴函數的遞增區(qū)間為 (k∈Z)． 當＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時，函數單調遞減， ∴函數的遞減區(qū)間為(k∈Z)． 當x＝＋ (k∈Z)時，ymax＝2； 當x＝－＋ (k∈Z)時，ymi

13、n＝－2. 題型三　三角函數的奇偶性和對稱性 例3　(1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數y＝f(x＋φ) 的圖象關于直線x＝0對稱，則φ的值為________． (2)如果函數y＝3cos(2x＋φ)的圖象關于點中心對稱，那么|φ|的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　(1)　(2)A 解析　(1)f(x)＝2sin， y＝f(x＋φ)＝2sin圖象關于x＝0對稱， 即f(x＋φ)為偶函數． ∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z， 又∵|φ|≤，∴φ＝. (2)由題意得3cos＝3cos ＝3cos＝0，∴＋φ＝

14、kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值為. 思維升華　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則當x＝0時，f(x)取得最大值或最小值． 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數，則當x＝0時，f(x)＝0. 如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x. 如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可． 　(1)若函數f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期為1，則它的圖象的一個對稱中心為 (　　) A．(－，0) B．(0,0) C．(－，

15、0) D．(，0) (2)設函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期為π，且其圖象關于直線x＝對稱，則在下面四個結論：①圖象關于點(，0)對稱；②圖象關于點(，0)對稱；③在[0，]上是增函數；④在[－，0]上是增函數中，所有正確結論的編號為________． 答案　(1)C　(2)②④ 解析　(1)由條件得f(x)＝sin(ax＋)， 又函數的最小正周期為1，故＝1，∴a＝2π， 故f(x)＝sin(2πx＋)． 將x＝－代入得函數值為0. (2)∵T＝π，∴ω＝2. 又2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)． ∵

16、φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)， 由圖象及性質可知②④正確． 三角函數的單調性、對稱性 典例：(10分)(1)已知ω>0，函數f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．(0，] D．(0,2] (2)已知函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b對任意實數x有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，則實數b的值為 (　　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．－3 思維啟迪　(1)(，π)為函數f(x)某個單調減區(qū)間的子集；

17、 (2)由f(x＋)＝f(－x)可得函數的對稱軸，應用函數在對稱軸處的性質求解即可． 解析　(1)由<x<π得ω＋<ωx＋<πω＋， 由題意知(ω＋，πω＋)?[，]， ∴， ∴≤ω≤，故選A. (2)由f(x＋)＝f(－x)可知函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b關于直線x＝對稱，又函數f(x)在對稱軸處取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3. 答案　(1)A　(2)C 溫馨提醒　(1)對于已知函數的單調區(qū)間的某一部分確定參數ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調區(qū)間應為函數的單調區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數的單調區(qū)間，從而利用它們

18、之間的關系可求解． (2)函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象與其對稱軸的交點是最值點． 方法與技巧 1．討論三角函數性質，應先把函數式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式． 2．函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為 . 3．對于函數的性質(定義域、值域、單調性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉化為研究y＝sin t的性質． 失誤與防范 1． 閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎上分析單調性，含參數的最值問題，要討論參數對最值的影響． 2． 要注意求函數y＝

19、Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時ω的符號，盡量化成ω>0時情況． A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 下列函數中，周期為π且在[0，]上是減函數的是 (　　) A．y＝sin(x＋) B．y＝cos(x＋) C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x 答案　D 解析　對于函數y＝cos 2x，T＝π， 當x∈[0，]時，2x∈[0，π]，y＝cos 2x是減函數． 2． (2012·湖南)函數f(x)＝sin x－cos的值域為 (　　) A．[－2,2] B．[－，] C

20、．[－1,1] D. 答案　B 解析　將函數化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式后求解． ∵f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos xcos ＋sin xsin ＝sin x－cos x＋sin x＝ ＝sin(x∈R)， ∴f(x)的值域為[－，]． 3． (2013·浙江)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數”是“φ＝”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B

21、解析　φ＝?f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)為奇函數， ∴“f(x)是奇函數”是“φ＝”的必要條件． 又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函數?f(0)＝0?φ＝＋kπ(k∈Z)D/?φ＝. ∴“f(x)是奇函數”不是“φ＝”的充分條件． 4． 若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m對任意實數t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1，則實數m的值等于 (　　) A．±1 B．－1或3 C．±3 D．－3或1 答案　D 解析　對任意實數t，都有f(t＋)＝f(－t)， 則函數f(x)的圖象關于

22、x＝＝對稱， 所以cos(ω·＋φ)＝±1， 即f()＝±2＋m＝－1?m＝－3或1. 5． (2012·天津)將函數f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經過點，則ω的最小值是 (　　) A. B．1 C. D．2 答案　D 解析　根據題意平移后函數的解析式為y＝sin ω， 將代入得sin ＝0，則ω＝2k，k∈Z，且ω>0， 故ω的最小值為2. 二、填空題 6． 函數y＝cos(－2x)的單調減區(qū)間為________． 答案　[kπ＋，kπ＋]

23、(k∈Z) 解析　由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)得 2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函數的單調減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 7． 當－≤x≤，函數y＝sin x＋cos x的最大值為________，最小值為________． 答案　2?。? 解析　y＝2sin(x＋)，－≤x＋≤， ∴－≤sin(x＋)≤1，∴－1≤y≤2， 故ymax＝2，ymin＝－1. 8． 已知函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分圖象如圖， 則f()＝________. 答案　

24、 解析　由題中圖象可知，此正切函數的半周期等于－＝，即最小正周期為， 所以ω＝2.由題意可知，圖象過定點(，0)， 所以0＝Atan(2×＋φ)，即＋φ＝kπ(k∈Z)， 所以φ＝kπ－(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ＝. 又圖象過定點(0,1)，所以A＝1. 綜上可知，f(x)＝tan(2x＋)， 故有f()＝tan(2×＋)＝tan ＝. 三、解答題 9． 設函數f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ； (2)求函數y＝f(x)的單調增區(qū)間． 解　(1)令2×＋φ＝kπ

25、＋，k∈Z， ∴φ＝kπ＋，k∈Z， 又－π<φ<0，則φ＝－. (2)由(1)得：f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 因此y＝f(x)的單調增區(qū)間為，k∈Z. 10．設函數f(x)＝sin(－)－2cos2＋1. (1)求f(x)的最小正周期． (2)若函數y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，求當x∈[0，]時，y＝g(x)的最大值． 解　(1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos ＝sin －cos ＝sin(－)， 故f(x)的最小正周期為T＝＝8.

26、(2)方法一　在y＝g(x)的圖象上任取一點(x，g(x))， 它關于x＝1的對稱點(2－x，g(x))． 由題設條件，知點(2－x，g(x))在y＝f(x)的圖象上， 從而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－] ＝sin[－－] ＝cos(＋)． 當0≤x≤時，≤＋≤， 因此y＝g(x)在區(qū)間[0，]上的最大值為 g(x)max＝cos ＝. 方法二　區(qū)間[0，]關于x＝1的對稱區(qū)間為[，2]， 且y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱， 故y＝g(x)在[0，]上的最大值為 y＝f(x)在[，2]上的最大值． 由(1)知f(x)＝sin(－)，

27、 當≤x≤2時，－≤－≤. 因此y＝g(x)在[0，]上的最大值為 g(x)max＝sin ＝. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． 函數y＝的定義域是 (　　) A．[kπ，kπ＋](k∈Z) B．[2kπ，2kπ＋](k∈Z) C．[－＋kπ，kπ](k∈Z) D．[－＋2kπ，2kπ](k∈Z) 答案　A 解析　|sin x＋cos x|－1≥0?(sin x＋cos x)2≥1 ?sin 2x≥0， ∴2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z， 故原函數的定義域是[kπ，kπ＋](k∈Z)． 2． 設函數f(x)＝3sin(

28、x＋)，若存在這樣的實數x1，x2，對任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為________． 答案　2 解析　f(x)＝3sin(x＋)的周期T＝2π×＝4， f(x1)，f(x2)應分別為函數f(x)的最小值和最大值， 故|x1－x2|的最小值為＝2. 3． 已知函數f(x)＝cos xsin x(x∈R)，給出下列四個命題： ①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是2π； ③f(x)在區(qū)間[－，]上是增函數； ④f(x)的圖象關于直線x＝對稱． 其中真命題是________． 答案

29、?、邰? 解析　f(x)＝sin 2x，當x1＝0，x2＝時， f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命題； f(x)的最小正周期為π，故②是假命題； 當x∈[－，]時，2x∈[－，]，故③是真命題； 因為f()＝sin π＝－， 故f(x)的圖象關于直線x＝π對稱，故④是真命題． 4． 已知函數f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1. (1)當x∈[，]時，求f(x)的最大值和最小值； (2)求f(x)的單調區(qū)間． 解　(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin(2x－)＋1. ∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤， ∴≤sin(2x－)≤1

30、，∴1≤2sin(2x－)≤2， 于是2≤2sin(2x－)＋1≤3， ∴f(x)的最大值是3，最小值是2. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z 得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z， ∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 即f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z， 同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z 得f(x)的單調遞減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋]，k∈Z. 5． 已知a>0，函數f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數a，b的值； (2)設g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調區(qū)間． 解　(

31、1)∵x∈，∴2x＋∈. ∴sin∈， ∴－2asin∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f＝－4sin－1 ＝4sin－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin－1>1，∴sin>， ∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時， g(x)單調遞增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z， ∴g(x)的單調增區(qū)間為，k∈Z. 又∵當2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z時， g(x)單調遞減，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z. ∴g(x)的單調減區(qū)間為，k∈Z.