高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 7.7

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1、 精品資料 7.7　立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離 1． 空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 1如圖①，AB、CD是二面角α—l—β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉． 2如圖②③，n1，n2分別是二面角α—l—β的兩個(gè)半平面α，β的法向量

2、，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 2． 點(diǎn)面距的求法 如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到 平面α的距離d＝. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角． (　　) (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角． (　　) (3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角． (　　) (4)兩異面直線夾角的范圍是(0，]，直線與平面所成角的范圍是[0，]，二面角的范圍是[0，π]．

3、 (　√　) (5)直線l的方向向量與平面α的法向量夾角為120，則l和α所成角為30. (　√　) (6)若二面角α－a－β的兩個(gè)半平面α、β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ. (　　) 2． 已知二面角α－l－β的大小是，m，n是異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵m⊥α，n⊥β， ∴異面直線m，n所成的角的補(bǔ)角與二面角α－l－β互補(bǔ)． 又∵異面直線所成角的范圍為(0，]， ∴m，n所成的角為.

4、 3． 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)，已知點(diǎn)P(－1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于 (　　) A．4 B．2 C．3 D．1 答案　B 解析　P點(diǎn)到平面OAB的距離為 d＝＝＝2，故選B. 4． 若平面α的一個(gè)法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為_________． 答案　 解析　∵na＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3， |a|＝＝， ∴cos〈n，a〉＝＝＝－. 又l與α所成角記為θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉

5、|＝. 5． P是二面角α－AB－β棱上的一點(diǎn)，分別在平面α、β上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45，∠MPN＝60，那么二面角α－AB－β的大小為________． 答案　90 解析　不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45， ∴PE＝a，PF＝b， ∴＝(－)(－) ＝－－＋ ＝abcos 60－abcos 45－abcos 45＋ab ＝－－＋＝0， ∴⊥， ∴二面角α－AB－β的大小為90. 題型一　求異面直線所成的角 例1　長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1

6、，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 思維啟迪　本題可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量、所成的角來求． 答案　B 解析　建立坐標(biāo)系如圖， 則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 思維升華　用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩異面直線所成角的范圍是θ∈，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，所以要注意二者的

7、區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有cos θ＝|cos α|. 　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AA1＝2AB＝2，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)， ∴＝(0，－1,1)， ＝(0，－1,2)， ∴cos〈，〉＝＝. 題型二　求直線與平面所成的角 例2　如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥

8、BD， 垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)． (1)證明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值． 思維啟迪　平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面PEH的法向量． (1)證明　以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸， 線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)， 則A(1,0,0)，B(0,1,0)． 設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E. 可得＝，＝(m，－1,0)． 因?yàn)椋剑?＝0，所以P

9、E⊥BC. (2)解　由已知條件可得m＝－，n＝1， 故C，D，E， P(0,0,1)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量， 則即 因此可以取n＝(1，，0)．又＝(1,0，－1)， 所以|cos〈，n〉|＝. 所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 思維升華　利用向量法求線面角的方法： (1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)； (2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角． 　(2013湖南)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC

10、，∠BAD＝90，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)證明：AC⊥B1D； (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值． 方法一　(1)證明　如圖，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1. 又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D， 而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D. (2)解　因?yàn)锽1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ)． 如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90， 所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥

11、AD1. 又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形． 于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D. 由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1. 故∠ADB1＝90－θ， 在直角梯形ABCD中， 因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB. 從而Rt△ABC∽R(shí)t△DAB，故＝， 即AB＝＝. 連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝. 在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝， 即cos(90－θ)＝.從而sin θ＝. 即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.

12、 方法二　(1)證明　易知，AB，AD，AA1兩兩垂直．如圖，以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建 立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)． 從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)． 因?yàn)锳C⊥BD，所以＝－t2＋3＋0＝0， 解得t＝或t＝－(舍去)． 于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)， 因?yàn)椋剑?＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D. (2)解　由(1)知，＝(

13、0,3,3)，＝(，1,0)， ＝(0,1,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量， 則，即 令x＝1，則n＝(1，－，)． 設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則 sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 題型三　求二面角 例3　(2013課標(biāo)全國Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是 AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)證明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值． 思維啟迪　根據(jù)題意知∠ACB＝90，故CA、CB、CC1兩兩垂直，可以C為原點(diǎn)

14、建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求二面角． (1)證明　連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)． 又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF. 因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. (2)解　由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正 方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz. 設(shè)CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， ＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)． 設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量， 則即可取

15、n＝(1，－1，－1)． 同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量， 則可取m＝(2,1，－2)． 從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝. 即二面角D－A1C－E的正弦值為. 思維升華　求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 　如圖，在圓錐PO中，已知PO＝，⊙O的直徑AB＝2， C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)． (1)證明：平面POD⊥平面PAC； (2)求二面角B－PA－C的余弦值． (1)證明　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別 為

16、x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(－1,0,0)， B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D(－，，0)． 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一個(gè)法向量， 則由n1＝0，n1＝0， 得 所以z1＝0，x1＝y(tǒng)1，取y1＝1，得n1＝(1,1,0)． 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一個(gè)法向量， 則由n2＝0，n2＝0， 得所以x2＝－z2，y2＝z2. 取z2＝1，得n2＝(－，，1)． 因?yàn)閚1n2＝(1,1,0)(－，，1)＝0， 所以n1⊥n2.從而平面POD⊥平面PAC. (2)解　因?yàn)閥軸⊥平面PAB，

17、 所以平面PAB的一個(gè)法向量為n3＝(0,1,0)． 由(1)知，平面PAC的一個(gè)法向量為n2＝(－，，1)． 設(shè)向量n2和n3的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝. 由圖可知，二面角B－PA－C的平面角為銳角， 所以二面角B－PA－C的余弦值為. 題型四　求空間距離 例4　已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面GEF的距離為________． 思維啟迪　所求距離可以看作CG在平面GEF的法向量的投影． 答案　 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz， 則＝(0,0,2)，由題意易得平面GEF的一個(gè)法向量為

18、n＝(1,1,3)， 所以點(diǎn)C到平面GEF的距離為d＝＝. 思維升華　求點(diǎn)面距一般有以下三種方法： ①作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；②等體積法；③向量法．其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便． 　(2012大綱全國改編)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB＝2，CC1＝2，E為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面BED的距離為 (　　) A．2 B. C. D．1 答案　D 解析　以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則D(0,0,0)，A(2,

19、0,0)，B(2,2,0)， C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量． 則. 取y＝1，則n＝(－1,1，－)為平面BDE的一個(gè)法向量． 又＝(2,0,0)， ∴點(diǎn)A到平面BDE的距離是 d＝＝＝1. 利用空間向量求角 典例：(15分)(2013江西)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F. (1)求證：AD⊥平面CFG； (2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值． 思維啟迪　(

20、1)可利用判定定理證明線面垂直； (2)利用AD、AP、AB兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角求兩個(gè)平面BCP、DCP夾角的余弦值． 規(guī)范解答 (1)證明　在△ABD中，因?yàn)镋為BD的中點(diǎn)， 所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝， ∠ABE＝∠AEB＝. 因?yàn)椤鱀AB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB， 從而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝， 所以∠FED＝∠FEA. [3分] 故EF⊥AD，AF＝FD， 又因?yàn)镻G＝GD，所以FG∥PA. 又PA⊥平面ABCD， [5分] 所以GF⊥AD

21、，故AD⊥平面CFG. [7分] (2)解　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)， C，D(0，，0)， P， 故＝， ＝， ＝. [9分] 設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則 即 令y1＝－，則x1＝3，z1＝2，n1＝(3，－，2)． [11分] 同理求得面DCP的法向量為n2＝(1，，2)， [13分] 從而平面BCP與平面DCP的夾角θ的余弦值為 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝＝. [15分]

22、 利用向量求空間角的步驟 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系． 第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)． 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)． 第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)． 第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角． 第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范． 溫馨提醒　(1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用． (2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范． (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò). 方法與技巧 1．用向量來求空間角，各類角都可以轉(zhuǎn)化為向

23、量的夾角來計(jì)算． 2．求點(diǎn)到平面的距離，若用向量知識(shí)，則離不開以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段． 失誤與防范 1． 利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角．因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同． 2．求點(diǎn)到平面的距離，有時(shí)利用等體積法求解可能更方便． 3．求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知正方體ABCD—A1B1C1D1如圖所示，則直線B1D和CD1所成的 角為 (　　) A．60 B．45 C．30 D．90 答案　D 解析　以A為原點(diǎn)，A

24、B、AD、AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則射線CD1、B1D的方向向量分別是＝(－1,0,1)，＝(－1,1， －1)，cos〈，〉＝＝0， ∴直線B1D和CD1所成的角為90. 2． 如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列 結(jié)論中不正確的是 (　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 答案　D 解析　∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.

25、 其中SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB，從而AC⊥SB. 故A正確；易知B正確；設(shè)AC與DB交于O點(diǎn)，連接SO. 則SA與平面SBD所成的角為∠ASO，SC與平面SBD所成的角為∠CSO， 又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO. 故C正確；由排除法可知選D. 3． (2013山東)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示：SABC＝sin 60＝. ∴VABC－A1B1C1＝SAB

26、COP＝OP＝，∴OP＝. 又OA＝＝1，∴tan∠OAP＝＝， 又0<∠OAP<，∴∠OAP＝. 4． 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1， 則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)， ∴＝(0,1，－1)，＝， 設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)， 則　∴ ∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)

27、，∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即所成的銳二面角的余弦值為. 5． 在四面體P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為 (　　) A. B.a C. D.a 答案　B 解析　根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz，則 P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)． 過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn) P到平面ABC的距離． ∵PA＝PB＝PC，∴H為△ABC的外心． 又∵△ABC為正三角形，∴H為△ABC的重心， 可

28、得H點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∴PH＝ ＝a. ∴點(diǎn)P到平面ABC的距離為a. 二、填空題 6． 已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為________． 答案　或 解析　cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝. ∴兩平面所成二面角的大小為或. 7． 如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1， ∠ABC＝90，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1 所成的角是________． 答案　60 解析　以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝BC＝A

29、A1＝2， 則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)， 則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ∴＝2， ∴cos〈，〉＝＝， ∴EF和BC1所成的角為60. 8． 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為________． 答案　 解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x軸、y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(xiàn)(，1,0)，D1(0,1,1)． ∴＝(1,0，－)，＝(0,1,0)． 設(shè)平面A1D1E的一個(gè)法向量為n＝(x

30、，y，z)， 則即 令z＝2，則x＝1.∴n＝(1,0,2)． 又＝(，1，－1)， ∴點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為 d＝＝＝. 三、解答題 9． 如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABD所成 的角為60，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4， CD＝1，AD＝2. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)； (2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值． 解　(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系， ∵∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)． 由PD⊥平面

31、ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60. 在Rt△PAD中，由AD＝2， 得PD＝2，∴P(0,0,2)． (2)∵＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)， ∴cos〈，〉 ＝＝－， ∴異面直線PA與BC所成的角的余弦值為. 10．(2013天津)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱 AA1的中點(diǎn)． (1)證明：B1C1⊥CE； (2)求二面角B1－CE－C1的正弦值； (3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值

32、為，求線段AM的長(zhǎng)． 方法一　如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AD，AA1，AB所在直線為x軸， y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)， B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． (1)證明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是＝ 0，所以B1C1⊥CE. (2)解?。?1，－2，－1)． 設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)， 則即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個(gè)法向量為m＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,

33、0，－1)為平面CEC1的一個(gè)法向量． 于是cos〈m，〉＝＝＝－，從而sin〈m，〉＝， 所以二面角B1－CE－C1的正弦值為. (3)解?。?0,1,0)，＝(1,1,1)，設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)． 可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量． 設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則 sin θ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝， 于是＝，解得λ＝(負(fù)值舍去)， 所以AM＝. 方法二　(1)證明　因?yàn)閭?cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面 A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1. 經(jīng)計(jì)算可得B1E＝，B1C1＝

34、，EC1＝， 從而B1E2＝B1C＋EC， 所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E， 又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E， 又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE. (2)解　過B1作B1G⊥CE于點(diǎn)G，連接C1G. 由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1為二面角B1－CE－C1的平面角． 在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝. 在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝， 即二面角B1－CE－C1的正弦值為. (3)解　連接D1E，過點(diǎn)M作

35、MH⊥ED1于點(diǎn)H，可得MH⊥平面ADD1A1，連接AH，AM，則∠MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角． 設(shè)AM＝x，從而在Rt△AHM中，有 MH＝x，AH＝x. 在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝， 得EH＝MH＝x. 在△AEH中，∠AEH＝135，AE＝1， 由AH2＝AE2＋EH2－2AEEHcos 135， 得x2＝1＋x2＋x， 整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝(負(fù)值舍去)． 所以線段AM的長(zhǎng)為. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成

36、的二面角為 (　　) A．30 B．45 C．60 D．90 答案　B 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1) 由題意得，AD⊥平面ABP，設(shè)E為PD的中點(diǎn)， 連接AE，則AE⊥PD， 又∵CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD， 又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP. ∴＝(0,1,0)，＝(0，，)分別是平面ABP、平面CDP的法向量，而〈，〉＝45， ∴平面ABP與平面CDP所成的二面角為45. 2． 在棱長(zhǎng)為2的正方體AB

37、CD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于________． 答案　 解析　以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立 空間直角坐標(biāo)系， ∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， ∴＝(－1,0,2)， ＝(－1,1,1)， ∴cos〈，〉＝＝. 3． 設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是________． 答案　 解析　如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0

38、,0)，B(2,2,0)， ∴＝(2,0,0)， ＝(2,0,2)，＝(2,2,0)， 設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)， 則.令x＝1，則n＝(1，－1，－1)， ∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離 d＝＝＝. 4． 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC ＝90，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P—BD—A的大?。? (1)證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)， C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， ∴＝(0

39、,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)． ∴＝0，＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. (2)解　設(shè)平面ABD的法向量為m＝(0,0,1)， 設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n＝0，n＝0.∵＝(－2，0,3)， ∴解得 令x＝，則n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝. ∴二面角P—BD—A的大小為60. 5． (2013北京)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正 方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求證：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1－B

40、C1－B1的余弦值； (3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值． (1)證明　在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC. 又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， ∴AA1⊥平面ABC. (2)解　在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5， ∴BC2＝AC2＋AB2，AB⊥AC ∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，＝(4,0,0)，＝ (0,3，－4)，＝(4，－3,0)，＝(0,0,4)． 設(shè)平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)． ∴? ∴取向量n1＝(0,4,3) 由?取向量n2＝(3,4,0) ∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝. 由題意知二面角A1－BC1－B1為銳角， 所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為. (3)證明　設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，且＝λ. ∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)， 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ. ∴＝(4λ，3－3λ，4λ) 又AD⊥A1B，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0 則λ＝，因此＝.