高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)

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1、 精品資料 第十三節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(一) 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次. 2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次;會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次. 知識(shí)梳理 一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 1.函數(shù)單調(diào)性的充分條件. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′>0,那么

2、函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_(kāi)_______;如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_(kāi)_______. 2.函數(shù)單調(diào)性的必要條件. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)______;如果函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_(kāi)_____,那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)______. 3.求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法. (1)確定函數(shù)f(x)的定義域. (2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)________,令________,解此方程,求出它們?cè)诙x域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根. (3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序

3、排列起來(lái),然后用這些點(diǎn)把f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間. (4)確定f′(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)f′(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);若f′(x)<0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)]. 二、函數(shù)的極值 1.函數(shù)極值的定義. 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)<f(x0),就說(shuō)f(x0)是_______,記作_________,x0是________. 如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)>f(x0).就說(shuō)f(x0)是________,記作_________

4、,x0是極小值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_______. 2.判別f(x0)是極大值、極小值的方法. 若x0滿(mǎn)足f′(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”,那么x0是f(x)的________,f(x0)是________;如果f′(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“________”,那么x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值. 3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟. (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)________. (2)求方程________的根. (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)

5、定義域的邊界點(diǎn),順次將函數(shù)的定義域分成________,并列成表格.檢查f′(x)在______,如果________,那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果________,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右________,那么f(x)在這個(gè)根處________. 三、函數(shù)的最大值與最小值 1.函數(shù)的最大值與最小值. 在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上________最大值與最小值. 2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟. 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷,求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下: (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的____

6、____. (2)將f(x)的各________與________比較,得出函數(shù)f(x)在上的最值,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.函數(shù)y=xsin x+cos x在(π,3π)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為(  )[來(lái)源:] A.    B. C. D.(π,2π) 解析:∵y=xsin x+cos x,∴y′=xcos x.[來(lái)源:] 當(dāng)x∈(π,3π)時(shí),要使y′=xcos x>0,只要cos x>0,結(jié)合選項(xiàng)知,只有B滿(mǎn)足. 答案:B 2.函數(shù)f(x)=ax3+x+1有極值的充要條

7、件是(  ) A.a(chǎn)≥0 B.a(chǎn)>0 C.a(chǎn)≤0 D.a(chǎn)<0 解析:f′(x)=3ax2+1,若函數(shù)有極值,則方程3ax2+1=0必有實(shí)數(shù)根,顯然a≠0,所以x2=->0,所以a<0.故選D. 答案:D 3. 函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:∵f(x)=x3-x2+ax-5, ∴f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1. 如果函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上單調(diào),那么a-1≥0或解得a≥1或a≤-3.于是滿(mǎn)足條件的

8、a∈(-3,1). 答案:(-3,1) 4.(2013武漢質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=x2-x,則當(dāng)x=________時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值. 解析:當(dāng)x<0或x>1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)<0,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值.[來(lái)源:] 答案:0 [來(lái)源:] 1.(2012陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則(  ) A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn) B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn) C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)[來(lái)源:] D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn) 解析:f′(x)=(x+1)ex,

9、令f′(x)=0,得x=-1,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0,f(x)=xex為減函數(shù);當(dāng)x>-1時(shí),f′(x)>0,f(x)=xex為增函數(shù),所以x=-1為f(x)的極小值點(diǎn).故選D. 答案:D 2.(2013福建卷)已知函數(shù)f(x)=x-aln x(a∈R). (1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線(xiàn)方程; (2)求函數(shù)f(x)的極值. 解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=1-.[來(lái)源:] (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0), 因而f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲線(xiàn)y=f(x

10、)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. (2)由f′(x)=1-=(x>0),知: ①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無(wú)極值; ②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,解得x=a. 又當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0, 從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln a,無(wú)極大值. 綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值; 當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln a,無(wú)極大值. 答案:見(jiàn)解析

11、 1.設(shè)函數(shù)f(x)=2ln-2. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若關(guān)于x的方程f+x2-3x-a=0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[來(lái)源:] 解析:(1)函數(shù)f的定義域?yàn)椋? ∵f′(x)=2=-(x>1), 則使f′(x)>0的x的取值范圍為,[來(lái)源:] 故函數(shù)f的單調(diào)遞增區(qū)間為. (2)(法一)∵f(x)=2ln-2, ∴f(x)+x2-3x-a=0?x+a+1-2ln=0. 令g=x+a+1-2ln. ∵g′(x)=1-=,且x>1, 由g′(x)>0,得x>3;由g′(x)<0,得1

12、調(diào)遞減,在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞增.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 故f(x)+x2-3x-a=0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根?即解得2ln 3-5≤a<2ln 2-4. 綜上所述,a的取值范圍是[2ln 3-5,2ln 2-4). (法二)∵f(x)=2ln-2, ∴f(x)+x2-3x-a=0?x+a+1-2ln=0, 即a=2ln-x-1, 令h=2ln-x-1, ∵h(yuǎn)′(x)=-1=,且x>1,[來(lái)源:] 由h′(x)>0,得13. ∴h(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減. ∵h(yuǎn)=-3,h=2ln 2-4,h=2ln 3-

13、5, 又h

14、點(diǎn)為(3,7). 則解得a=1,b=-1. 所以f(x)=x2-x+1; (2)由(1)知f(x)=x2-x+1, 關(guān)于x的方程f(x)=kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根, 即x2-x+1=kex有兩個(gè)不同的實(shí)根,也就是k=e-x(x2-x+1)有兩個(gè)不同的實(shí)根. 令g(x)=e-x(x2-x+1), 則g′(x)=(2x-1)e-x-(x2-x+1)e-x=-(x2-3x+-(x-1)(x-2)e-x. 由g′(x)=0,得x1=1,x2=2. 所以當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(-∞,1)上為減函數(shù); 當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,2)上為增函數(shù); 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)上為減函數(shù); 所以,當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值g(1)=,當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值g(2)=. 函數(shù)y=k與y=g(x)的圖象的大致形狀如上, 由圖象可知,當(dāng)k=和k=時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根. 答案:見(jiàn)解析

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