高考數(shù)學浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.1

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1、 精品資料 2.1　函數(shù)及其表示 1． 函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． (3)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)

2、系和值域． (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 2． 映射的概念 設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射． 3． 函數(shù)解析式的求法 求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法． 4． 常見函數(shù)定義域的求法 (1)分式函數(shù)中分母不等于零． (2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0. (3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R. (4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定義域

3、均為R. (5)y＝tan x的定義域為. (6)函數(shù)f(x)＝xα的定義域為{x|x∈R且x≠0}． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)f(x)＝與g(x)＝x是同一個函數(shù)． (　　) (2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等． (　　) (3)若函數(shù)f(x)的定義域為{x|1≤x<3}，則函數(shù)f(2x－1)的定義域為{x|1≤x<5}．(　　) (4)f(x)＝， 則f(－x)＝. (　√　) (5)函數(shù)f(x)＝＋1的值域是{y|y≥1}． (　　) (6)函數(shù)是特殊的

4、映射． (　√　) 2． (2013江西)函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為 (　　) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 答案　B 解析　由得，函數(shù)定義域為[0,1)． 3． (2012安徽)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是 (　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 答案　C 解析　將f(2x)表示出來，看與2f(x)是否相等． 對于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)； 對于B，f(2x)

5、＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 對于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 對于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)， 故只有C不滿足f(2x)＝2f(x)，所以選C. 4． 設(shè)函數(shù)f(x)＝那么f(2 013)＝ (　　) A．27 B．9 C．3 D．0 答案　A 解析　∵2 013>5，∴f(2 013)＝f(2 013－5)＝…＝f(8)＝f(3)＝33＝27. 5． 給出四個命題： ①函數(shù)是其定義域到值域的映射；②f(x)＝＋是函數(shù)；③函數(shù)y＝2x (x∈N)的圖象是一條直線；④函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．

6、 其中正確命題的序號有________． 答案　①② 解析　對于①函數(shù)是映射，但映射不一定是函數(shù)； 對于②f(x)是定義域為{2}，值域為{0}的函數(shù)； 對于③函數(shù)y＝2x (x∈N)的圖象不是一條直線； 對于④由于函數(shù)的關(guān)系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函數(shù)的定義域和值域都不是無限集合. 題型一　函數(shù)的概念 例1　有以下判斷： ①f(x)＝與g(x)＝表示同一函數(shù)； ②函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個； ③f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 其中正確判斷的序號是_

7、_______． 思維啟迪　可從函數(shù)的定義、定義域和值域等方面對所給結(jié)論進行逐一分析判斷． 答案?、冖? 解析　對于①，由于函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于②，若x＝1不是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，則直線x＝1與y＝f(x)的圖象沒有交點，如果x＝1是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x＝1與y＝f(x)的圖象只有一個交點，即y＝f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點；對于③，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1

8、. 綜上可知，正確的判斷是②③. 思維升華　函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；當且僅當定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)．值得注意的是，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是就效果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同)． 　(1)下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是 (　　) A．(1) B．(1)(3)(4) C．(1)(2)(3) D．(3)(4) (2)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 (　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．

9、f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝，g(x)＝ 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)由一個變量x僅有一個f(x)與之對應(yīng)，得(2)不是函數(shù)圖象．故選B. (2)A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)． B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x (x≥0)， ∴兩函數(shù)的定義域不同． C中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)， ∴兩函數(shù)的定義域不同． D中，f(x)＝(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定義域為{x|x≥1}； g(x)＝(x2－1≥0)， g(x)的定義域為{x|x≥1或x≤

10、－1}． ∴兩函數(shù)的定義域不同．故選A. 題型二　求函數(shù)的解析式 例2　(1)如果f()＝，則當x≠0且x≠1時，f(x)等于 (　　) A. B. C. D.－1 (2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________. (3)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f()－1，則f(x)＝________. 思維啟迪　(1)令t＝，反解出x，代入f()＝，求f(t)的表達式． (2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，結(jié)合條件列出關(guān)于x的方程求參數(shù)a，b. (3)用代替x，通

11、過解方程組求f(x)． 答案　(1)B　(2)2x＋7　(3)＋ 解析　(1)令t＝，得x＝， ∴f(t)＝＝， ∴f(x)＝. (2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7. (3)在f(x)＝2f()－1中，用代替x， 得f()＝2f(x)－1， 將f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中， 可求得f(x)＝＋. 思維升華　函數(shù)解析式的求法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次

12、函數(shù))，可用待定系數(shù)法； (2)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； (3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (4)消去法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 　(1)已知f(x＋)＝x2＋，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)滿足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式． 解　(1)∵f(x＋)＝x2＋＝(x＋)2－2， 且x＋≥2或x＋≤－2,

13、∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． (2)∵2f(x)＋f()＝3x， ① 把①中的x換成，得 2f()＋f(x)＝. ② ①2－②得3f(x)＝6x－， ∴f(x)＝2x－(x≠0)． 題型三　求函數(shù)的定義域 例3　(1)函數(shù)f(x)＝的定義域為 (　　) A．(－1,2) B．(－1,0)∪(0,2) C．(－1,0) D．(0,2) (2)已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域為________． 思維啟迪　函數(shù)的定義域是使解析式有意義的

14、自變量的取值集合；抽象函數(shù)的定義域要注意自變量的取值和各個字母的位置． 答案　(1)C　(2)[，1) 解析　(1)f(x)有意義，則 解之得∴－1

15、 　(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是 (　　) A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) (2)函數(shù)y＝的定義域為______________________________________． 答案　(1)B　(2)(－1,1) 解析　(1)依已知有 解之得0≤x<1，定義域為[0,1)．故選B. (2)由，得－1

16、．3 (2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在R上有定義．對于給定的正數(shù)M，定義函數(shù)fM(x)＝則稱函數(shù)fM(x)為f(x)的“孿生函數(shù)”．若給定函數(shù)f(x)＝2－x2，M＝1，則fM(0)的值為(　　) A．2 B．1 C. D．－ 思維啟迪　(1)應(yīng)對a分a>0和a≤0進行討論，確定f(a)． (2)可以根據(jù)給定函數(shù)f(x)和M確定fM(x)，再求fM(0)． 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)由題意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0， ∴f(a)＋2＝0. ①當a>0時，f(a)＝2a,2a＋2＝0無解； ②當a≤0時，f(a)＝a＋1，∴a＋1

17、＋2＝0，∴a＝－3. (2)由題設(shè)f(x)＝2－x2≤1，得 當x≤－1或x≥1時， fM(x)＝2－x2； 當－1－1的解集為(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

18、 B．[－1，－)∪(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．[－1，－]∪(0,1) 答案　B 解析　①當－1≤x<0時，0<－x≤1， 此時f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， ∴f(x)－f(－x)>－1化為－2x－2>－1， 解得x<－，則－1≤x<－. ②當0－1化為－2x＋2>－1， 解得x<，則0

19、4分)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． 易錯分析　本題易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面： (1)誤以為1－a<1,1＋a>1，沒有對a進行討論直接代入求解． (2)求解過程中忘記檢驗所求結(jié)果是否符合要求致誤． 解析　當a>0時，1－a<1,1＋a>1， 由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a， 解得a＝－，不合題意； 當a<0時，1－a>1,1＋a<1， 由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a， 解得a＝－. 答案?。? 溫馨提醒　(1)分類討論思想在求函數(shù)值中的應(yīng)用 對于分段函

20、數(shù)的求值問題，若自變量的取值范圍不確定，應(yīng)分情況求解． (2)檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意 求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結(jié)果是否符合要求. 方法與技巧 1．在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二是對應(yīng)關(guān)系是否相同． 2．定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域上進行． 3．函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法． 4．分段函數(shù)問題要分段求解． 失誤與防范 求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題： 在求分段函數(shù)的值f(x0)時，首先要判斷x0屬于定義域的哪個子集

21、，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集． A組　專項基礎(chǔ)訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 函數(shù)f(x)＝＋的定義域為 (　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 答案　B 解析　由，得－1

22、f＝. 3．若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是 (　　) 答案　B 解析　可以根據(jù)函數(shù)的概念進行排除，使用篩選法得到答案． 4． 已知函數(shù)f(x)滿足f()＝log2，則f(x)的解析式是 (　　) A．f(x)＝log2x B．f(x)＝－log2x C．f(x)＝2－x D．f(x)＝x－2 答案　B 解析　根據(jù)題意知x>0，所以f()＝log2x，則f(x)＝log2＝－log2x. 5． 某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每1

23、0人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為 (　　) A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[] 答案　B 解析　方法一　取特殊值法，若x＝56，則y＝5，排除C，D； 若x＝57，則y＝6，排除A，選B. 方法二　設(shè)x＝10m＋α(0≤α≤9，m，α∈N)，當0≤α≤6時，[]＝[m＋]＝m＝[]， 當6<α≤9時，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，所以選B. 二、填空題 6． 下表表示y是x的函數(shù)

24、，則函數(shù)的值域是________. x 0

25、＋4a≤0，∴－1≤a≤0. 三、解答題 9． 已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.求函數(shù)f(x)的解析式． 解　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，又f(0)＝0， ∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx. 又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1. ∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1， ∴，解得. ∴f(x)＝x2＋x. 10．某人開汽車沿一條直線以60 km/h的速度從A地到150 km遠處的B地．在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽車與A地的距離x

26、(km)表示為時間t(h)(從A地出發(fā)開始)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象． 解　x＝. 圖象如右圖所示． B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． 已知a，b為兩個不相等的實數(shù)，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a＋b等于 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　由已知可得M＝N， 故? 所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的兩根，故a＋b＝4. 2． 設(shè)函數(shù)f(x)＝，則不等式f(x)

27、(3，＋∞) B．(－3，－1)∪(2，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1,3) 答案　A 解析　f(－1)＝3，f(x)<3，當x≤0時，x2＋4x＋6<3， 解得x∈(－3，－1)；當x>0時，－x＋6<3， 解得x∈(3，＋∞)， 故不等式的解集為(－3，－1)∪(3，＋∞)，故選A. 3． 已知函數(shù)f(x)＝則關(guān)于x的方程f(f(x))＋k＝0，給出下列四個命題： ①存在實數(shù)k，使得方程恰有1個實根； ②存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不相等的實根； ③存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不相等的實根； ④存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不相等的實根．

28、其中正確命題的序號是________．(把所有滿足要求的命題序號都填上) 答案?、佗? 解析　依題意，知函數(shù)f(x)>0， 又f(f(x))＝ 依據(jù)y＝f(f(x))的大致圖象(如右圖所示)，知存在實數(shù)k，使得方程 f(f(x))＋k＝0恰有1個實根或恰有2個不相等的實根； 不存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不相等的實根或恰有4個不相等 的實根． 4． 行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離 才能停下，這段距離叫作剎車距離．在某種路面上，某種型號汽 車的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時)滿足下列關(guān)系：y＝ ＋mx＋n(m，n是常數(shù))．如圖是根據(jù)多次實驗

29、數(shù)據(jù)繪制的剎車 距離y(米)與汽車的車速x(千米/時)的關(guān)系圖． (1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式； (2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度． 解　(1)由題意及函數(shù)圖象， 得，解得m＝，n＝0， 所以y＝＋(x≥0)． (2)令＋≤25.2， 得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70. 故行駛的最大速度是70千米/時． 5． 運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(50≤x≤100)(單位：千米/小時)．假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2＋)升，司機的工資是每小時14元． (1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式； (2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值． 解　(1)行車所用時間為t＝(h)， y＝2(2＋)＋，x∈[50,100]． 所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是 y＝＋x，x∈[50,100]． (2)y＝＋x≥26，當且僅當＝x， 即x＝18時，上述不等式中等號成立． 故當x＝18時，這次行車的總費用最低，最低費用為26元．