高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語

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1、 精品資料第1講集合及其運算知 識 梳 理1集合與元素(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系為屬于或不屬于關(guān)系，分別用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N、正整數(shù)集N*(或N)、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R.(5)集合的分類：按集合中元素個數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集2集合間的基本關(guān)系(1)子集：對任意的xA，有xB，則AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，則AB(或BA)(3)空集：空集是任意一個集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n個元素，則A的子集有2n個，A

2、的非空子集有2n1個(5)集合相等：若AB，且BA，則AB.3集合的運算及其性質(zhì)(1)集合的并、交、補運算并集：ABx|xA，或xB；交集：ABx|xA，且xB；補集：UAx|xU，且xAU為全集，UA表示A相對于全集U的補集(2)集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AA；AAA；ABABA.交集的性質(zhì)：A；AAA；ABAAB.補集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.辨 析 感 悟1元素與集合的辨別(1)若x2,10,1，則x0,1.(×)(2)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n1，非空真子集的個數(shù)是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，則ABx

3、|xR(×)2對集合基本運算的辨別(4)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(AB)(AB)總成立()(5)(2013·浙江卷改編)設(shè)集合Sx|x2，Tx|4x1，則STx|2x1()(6)(2013·陜西卷改編)設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)的定義域為M，則RMx|x1，或x1()感悟·提升1一點提醒求集合的基本運算時，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件如第(3)題就是混淆了數(shù)集與點集2兩個防范一是忽視元素的互異性，如(1)；二是運算不準(zhǔn)確，尤其是運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心，如(6).考點一

4、集合的基本概念【例1】 (1)(2013·江西卷改編)若集合AxR|ax2ax10中只有一個元素，則a_.(2)(2013·山東卷改編)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個數(shù)是_解析(1)由ax2ax10只有一個實數(shù)解，可得當(dāng)a0時，方程無實數(shù)解；當(dāng)a0時，則a24a0，解得a4.(a0不合題意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5規(guī)律方法 集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性【訓(xùn)練1】 已知aR，bR，若a2，ab,0，則a2 014b2 014_.解

5、析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a1應(yīng)舍去，因此a1，故a2 014b2 0141.答案1考點二集合間的基本關(guān)系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1，若BA，求實數(shù)m的取值范圍(2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)當(dāng)B時，有m12m1，則m2.當(dāng)B時，若BA，如圖則解得2<m4.綜上，m的取值范圍是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則

6、應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)·(2)4，這兩式不能同時成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)·(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件m1或2.規(guī)律方法 (1)已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解(2)在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進(jìn)行討論【訓(xùn)練2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為_(2)(2014&

7、#183;鄭州模擬)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為_解析(1)由題意知：A1,2，B1,2,3,4又ACB，則集合C可能為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0時，Bx|10A；a0時，BA，則1或1，故a0或a1或1.答案(1)4(2)考點三集合的基本運算【例3】 (1)(2013·山東卷改編)已知集合A，B均為全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，則AUB_.(2)(2014·唐山模擬)若集合My|y3x，集合Sx|ylg(x1)，則下列各式正確的是_MSM；MSS；MS；MS審題路線(1)AU

8、B3；(2)先分別求出集合M，S，再判斷各式解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正確答案(1)3(2)規(guī)律方法 一般來講，集合中的元素離散時，則用Venn圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)時，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為_(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，則A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以Bx|2x4故UBx|x2，

9、或x4，從而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2數(shù)軸和韋恩(Venn)圖是進(jìn)行集合交、并、補運算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決創(chuàng)新突破1與集合有關(guān)的新概念問題【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個數(shù)為_解析法一(列表法)因為xA，yA，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：1234510123421012332

10、1012432101543210由題意xyA，故xy只能取1,2,3,4，由表可知實數(shù)對(x，y)的取值滿足條件的共有10個，即B中的元素個數(shù)為10.法二(直接法)因為A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若xyA，則必有xy0，xy.當(dāng)y1時，x可取2,3,4,5，共有4個數(shù)；當(dāng)y2時，x可取3,4,5，共有3個數(shù)；當(dāng)y3時，x可取4,5，共有2個數(shù)；當(dāng)y4時，x只能取5，共有1個數(shù)；當(dāng)y5時，x不能取任何值綜上，滿足條件的實數(shù)對(x，y)的個數(shù)為432110.答案10反思感悟 (1)解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基

11、本運算(2)以集合為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力【自主體驗】設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果k1A，且k1A，那么稱k是A的一個“好元素”給定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_個解析依題，可知由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”，則這3個元素一定是相連的3個數(shù)故這樣的集合共有6個答案6基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1(2013·安徽卷改編)已知Ax|x10，B2，1,0

12、,1則(RA)B_.解析因為Ax|x1，則RAx|x1，所以(RA)B2，1答案2，12已知集合M1,2,3，N2,3,4，則下列各式不正確的是_MN；NM；MN2,3；MN1,4解析由已知得MN2,3，故選.答案3已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，則P的子集個數(shù)有_解析PMN1,3，故P的子集共有4個答案44已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，則A與B的關(guān)系是_解析集合Ax|1x2，Bx|1x1，則BA.答案BA5設(shè)集合Ax|x22x80，Bx|x1，則圖中陰影部分表示的集合為_解析陰影部分是ARB.集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案x|1x26(

13、2013·湖南卷)已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，則(UA)B_.解析由集合的運算，可得(UA)B6,82,6,86,8答案6,87集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，則a的值為_解析根據(jù)并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案48集合AxR|x2|5中的最小整數(shù)為_解析由|x2|5，得5x25，即3x7，所以集合A中的最小整數(shù)為3.答案3二、解答題9已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，求AB.解由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.當(dāng)a33時，a0，此時A0,1，3，B3，2，1，AB1，

14、3故a0舍去當(dāng)a23時，a1，此時A1,0，3，B4，3,2，滿足AB3，從而AB4，3,0,1,210設(shè)Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，(1)若BA，求a的值；(2)若AB，求a的值解(1)A0，4，當(dāng)B時，4(a1)24(a21)8(a1)0，解得a1；當(dāng)B為單元素集時，a1，此時B0符合題意；當(dāng)BA時，由根與系數(shù)的關(guān)系得：解得a1.綜上可知：a1或a1.(2)若AB，必有AB，由(1)知a1.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1若集合A1,1，B0,2，則集合z|zxy，xA，yB中的元素的個數(shù)為_解析當(dāng)x1，y0時，z1；當(dāng)x1，y2時，z1；當(dāng)x1，y0時

15、，z1；當(dāng)x1，y2時，z3.故z的值為1,1,3，故所求集合為1,1,3，共含有3個元素答案32已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，則m_，n_.解析Ax|5<x<1，因為ABx|1<x<n，Bx|(xm)(x2)<0，所以m1，n1.答案113設(shè)a，b，c為實數(shù)，f(x)(xa)·(x2bxc)，g(x)(ax1)(cx2bx1)記集合Sx|f(x)0，xR，Tx|g(x)0，xR若|S|，|T|分別為集合S，T的元素個數(shù)，則下列結(jié)論：|S|1且|T|0；|S|1且|T|1，|S|2且|T|2；

16、|S|2且|T|3，其中不可能成立的是_解析取a0，b0，c0，則Sx|f(x)x30，|S|1，Tx|g(x)10，|T|0.因此可能成立取a1，b0，c1，則Sx|f(x)(x1)(x21)0，|S|1，Tx|g(x)(x1)(x21)0，|T|1，因此可能成立取a1，b0，c1，則Sx|f(x)(x1)(x21)0，|S|2，Tx|g(x)(x1)·(x21)0，|T|2.因此可能成立對于，若|T|3，則b24c0，從而導(dǎo)致f(x)(xa)(x2bxc)也有3解，因此|S|2且|T|3不可能成立故不可能成立答案二、解答題4已知集合Ay|y2x1,0x1，Bx|(xa)x(a3)

17、0分別根據(jù)下列條件，求實數(shù)a的取值范圍(1)ABA；(2)AB.解因為集合A是函數(shù)y2x1(0x1)的值域，所以A(1,1，B(a，a3)(1)ABAAB即2a1，故當(dāng)ABA時，a的取值范圍是(2，1(2)當(dāng)AB時，結(jié)合數(shù)軸知，a1或a31，即a1或a4.故當(dāng)AB時，a的取值范圍是(4,1).第2講命題及其關(guān)系、充要條件知 識 梳 理1命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題互為逆命題或互為否命題

18、，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果pq，qp，則p是q的充要條件辨 析 感 悟1對四種命題的認(rèn)識(1)(2012·湖南卷改編)命題“若，則tan 1”的否命題是“若，則tan 1”(×)(2)若原命題“若p，則q”為真，則在這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為1或2.(×)(3)命題“若x23x20，則x2或x1”的逆否命題是“若1x2，則x23x20”()2對充分條件、必要條件的理解(4)給定兩個命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件()(

19、5)“(2x1)x0”的充分不必要條件是“x0”()(6)在ABC中，“A60°”是“cos A”的充分不必要條件(×)感悟·提升1一個區(qū)別否命題與命題的否定是兩個不同的概念否命題同時否定原命題的條件和結(jié)論，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)，如(1)把否命題錯看成是命題的否定2三個防范一是分清命題中的條件和結(jié)論，并搞清楚其中的關(guān)鍵詞，如“”與“”，“”與“”，“且”與“或”，“是”與“不是”，“都不是”與“至少一個是”，“都是”與“不都是”等互為否定，如(3)二是弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B A，且A B，如(5)；而“A是B的充分不必

20、要條件”則是指AB且B A，如(6)三是注意題中的大前提，如(6).考點一命題及其相互關(guān)系【例1】 已知：命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則否命題是“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m1”，是真命題；逆命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”，是假命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”，是真命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”，是真命題以上四個結(jié)論正確的是_(填序號)解析由f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則f(x)exm0恒成立，m1.命題“若函數(shù)f(x)ex

21、mx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題答案規(guī)律方法 (1)在判斷四種命題的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，當(dāng)確定了原命題時，要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫出其他三種命題(2)當(dāng)一個命題有大前提時，若要寫出其他三種命題，大前提需保持不變(3)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出反例(4)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假【訓(xùn)練1】 (2013·吉林白山二模)命題“若a2b20，則a0且

22、b0”的逆否命題是_答案若a0或b0，則a2b20考點二充分條件、必要條件的判斷【例2】 (1)(2013·福建卷改編)設(shè)點P(x，y)，則“x2且y1”是“點P在直線l：xy10上”的_條件(2)(2013·濟(jì)南模擬)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的_條件解析(1)當(dāng)x2且y1時，滿足方程xy10，但方程xy10有無數(shù)多個解，不能確定x2且y1，“x2且y1”是“點P在直線l上”的充分而不必要條件(2)因為ab，所以1×4k20，即4k2，所以k±2.所以“ab”是“k2”的必要不充分條件答案(1)充分而不必要(2)必要不充分規(guī)

23、律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題【訓(xùn)練2】 已知條件p：x1，條件q：1，則綈p是q的_條件解析由x1，得1；反過來，由1，不能得知x1，即綈p是q的充分不必要條件答案充分不必要考點三充要條件的應(yīng)用【例3】 (2014·無錫一中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axbx2(a>0)(1)當(dāng)b>0時，若對任意xR都有f(x)1，證明：a2；(2)當(dāng)b>

24、1時，證明：對任意x0,1，|f(x)|1成立的充要條件是b1a2.證明(1)由題意知bx2ax10對任意xR恒成立，a24b0，又a>0，b>0，a2.(2)先證充分性：b>1，ab1，對任意x0,1，有axbx2(b1)xbx2b(xx2)xx1，即axbx21；b>1，a2，對任意x0,1，有axbx22xbx2(x1)211，即axbx21，|f(x)|1成立，充分性得證；再證必要性：對任意x0,1，|f(x)|1，f(1)1，即ab1；對任意x0,1，|f(x)|1，而b>1，f1，即a2，必要性得證由可知，當(dāng)b>1時，對任意x0,1，|f(x)|

25、1成立的充要條件是b1a2.規(guī)律方法 (1)涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題化歸為簡單、熟悉的問題來解決(2)p的充分不必要條件為q，等價于pq，q p；p的必要不充分條件為q，等價于pq，q p.【訓(xùn)練3】 已知p：2x29xa0，q：且綈p是綈q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍解由得即2x3，q的解集為x|2x3設(shè)Ax|2x29xa0，Bx|2x3，綈p綈q，qp.BA.2x3屬于集合A，即2x3滿足不等式2x29xa0.2x3滿足不等式a9x2x2.當(dāng)2x3時，9x2x2222的值大于9且小于等于，即99x2x2，a9.1當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其它三

26、種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其它三種命題時，應(yīng)把其中一個(或幾個)作為大前提2數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的3命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價法：利用AB與綈B綈A，BA與綈A綈B，AB與綈B綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件思想方法1等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件關(guān)系中的應(yīng)用【典例】 已知p：2，q：x22x1m

27、20(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍解法一由q：x22x1m20，得1mx1m，綈q：Ax|x1m或x1m，m0，由p：2，解得2x10，綈p：Bx|x10或x2綈p是綈q的必要而不充分條件AB，或即m9或m9.m9.故實數(shù)m的取值范圍是9，)法二綈p是綈q的必要而不充分條件，p是q的充分而不必要條件，由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m，由p：2，解得2x10，p：Px|2x10p是q的充分而不必要條件，PQ，或即m9或m9.m9.故實數(shù)m的取值范圍是9，)反思感悟 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化

28、為簡單、熟悉的問題來解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵【自主體驗】1(2013·山東卷改編)給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的_條件解析由q綈p且綈pq可得p綈q且綈q p，所以p是綈q的充分而不必要條件答案充分不必要2已知命題p：x22x30；命題q：xa，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是_1，)；(，1；1，)；(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件故a1.答案

29、基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1(2012·重慶卷改編)命題“若p，則q”的逆命題是_解析根據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系可得：“若p，則q”的逆命題是“若q，則p”答案若q，則p2已知a，b，cR，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是_解析同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題答案若abc3，則a2b2c233(2014·南通調(diào)研)“a2”是“直線(a2a)xy0和直線2xy10互相平行”的_條件解析因為兩直線平行，所以(a2a)×12×10，解得a2或1.答案充分不必要4命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是

30、_解析由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”答案若xy不是偶數(shù)，則x、y不都是偶數(shù)5AxR|x2>0，BxR|x<0，CxR|x(x2)>0，則“xAB”是“xC”的_條件解析由題意得，AxR|x>2，ABxR|x<0，或x>2，CxR|x<0，或x>2，ABC.“xAB”是“xC”的充要條件答案充分必要6(2013·鹽城調(diào)研)“m<”是“一元二次方程x2xm0有實數(shù)解”的_條件解析x2xm0有實數(shù)解等價于14m

31、0，即m.答案充分不必要7已知a，b，c都是實數(shù)，則在命題“若ab，則ac2bc2”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是_解析當(dāng)c20時，原命題不正確，故其逆否命題也不正確；逆命題為“若ac2bc2，則ab”，逆命題正確，則否命題也正確答案28(2014·揚州模擬)下列四個說法：一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；命題“設(shè)a，bR，若ab6，則a3或b3”是一個假命題；“x>2”是“<”的充分不必要條件；一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真其中說法不正確的序號是_解析逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系，故錯誤；此命題的逆否命題為

32、“設(shè)a，bR，若a3且b3，則ab6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，錯誤；<，則<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要條件，故正確；否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性相同，故正確答案二、解答題9判斷命題“若a0，則x2xa0有實根”的逆否命題的真假解原命題：若a0，則x2xa0有實根逆否命題：若x2xa0無實根，則a0.判斷如下：x2xa0無實根，14a0，a0.“若x2xa0無實根，則a0”為真命題10已知p：x28x200，q：x22x1a20(a>0)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍解p：x28x20

33、02x10，q：x22x1a201ax1a.pq，q p，x|2x10x|1ax1a故有且兩個等號不同時成立，解得a9.因此，所求實數(shù)a的取值范圍是9，)能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)”的否命題是_解析否命題既否定題設(shè)又否定結(jié)論答案若f(x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)2設(shè)a，b都是非零向量下列四個條件ab；ab；a2b；ab且|a|b|中，使成立的充分條件是_解析對于，注意到ab時，；對于，注意到ab時，可能有ab，此時；對于，當(dāng)a2b時，；對于，當(dāng)ab且|a|b|時，可能有ab，此時，綜上所述，使成立的充分條件是a2b.答案3

34、設(shè)nN*，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.解析已知方程有根，由判別式164n0，解得n4，又nN*，逐個分析，當(dāng)n1,2時，方程沒有整數(shù)根；而當(dāng)n3時，方程有整數(shù)根1,3；當(dāng)n4時，方程有整數(shù)根2.答案3或4二、解答題4設(shè)命題p：|4x3|1；命題q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍解綈p是綈q的必要不充分條件，綈q綈p，且綈p 綈q等價于pq，且q/ p.記p：Ax|4x3|1，q：Bx|x2(2a1)xa(a1)0|x|axa1，則AB.從而且兩個等號不同時成立，解得0a.故所求實數(shù)a的取值范圍是.第3講簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱

35、量詞與存在量詞知 識 梳 理1簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的“且”、“或”、“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞(2)命題pq，pq，綈p的真假判斷pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱量詞與存在量詞(1)“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，用符號“x”表示“對任意x”，含有全稱量詞的命題，稱為全稱命題全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為：xM，p(x)(2)“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞用符號“x”表示“存在x”，含有存在量詞的命題稱為存在性命題存在性命題“存在M中的一個x，使p

36、(x)成立”可以用符號簡記為：xM，p(x)3含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)辨 析 感 悟1邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解與應(yīng)用(1)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個假命題()(2)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個假命題(×)2對命題的否定形式的理解(3)(2013·山西四校聯(lián)考改編)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”()(4)(2013·東北聯(lián)考改編)命題p：n0N,2n01 000，則綈p：n N,2n1 000.(×)(5)(2013

37、83;四川卷改編)設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題p：xA,2xB，則綈p：xA,2xB.(×)(6)已知命題p：若xy0，則x，y中至少有一個大于0，則綈p：若xy0，則x，y中至多有一個大于0.(×)感悟·提升1一個區(qū)別邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”是有區(qū)別的，前者包括“或此、或彼、或兼”三種情形，后者僅表示“或此、或彼”兩種情形有的含有“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)詞的命題，從字面上看不一定有“且”“或”“非”等字樣，這就需要我們掌握一些詞語、符號或式子與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的關(guān)系如“并且”、“綉”的含義為“且”；“或者”、“”的含義為“

38、或”；“不是”、“”的含義為“非”2兩個防范一是混淆命題的否定與否命題的概念導(dǎo)致失誤，綈p指的是命題的否定，只需否定結(jié)論如(5)、(6)；二是否定時，有關(guān)的否定詞否定不當(dāng)，如(6)考點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【例1】 設(shè)命題p：函數(shù)ysin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)ycos x的圖象關(guān)于直線x對稱則pq為_，pq為_(填“真”或“假”)解析函數(shù)ysin 2x的最小正周期為，故命題p為假命題；x不是ycos x的對稱軸，命題q為假命題，故pq為假pq為假答案假假規(guī)律方法 若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”一真即真，“且”一

39、假即假，“非”真假相對，做出判斷即可【訓(xùn)練1】 (2013·湖北卷改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為_(填序號)(綈p)(綈q)；p(綈q)；(綈p)(綈q)；pq.解析命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”等價于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“pq”的否定答案考點二含有一個量

40、詞的命題否定【例2】 寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個實數(shù)x使x310.解(1)綈p：xR，x2x0，假命題(2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題(3)綈r：xR，x22x20，真命題(4)綈s：xR，x310，假命題規(guī)律方法 對含有存在(全稱)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定這類問題常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結(jié)論沒給予否定有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞【訓(xùn)練2】 (1)(2013

41、3;江門、佛山模擬)已知命題p：x1，x210，那么綈p是_(2)命題：“對任意k0，方程x2xk0有實根”的否定是_解析(1)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：x1，x210.(2)將“任意”改為“存在”，“有實根”改為“無實根”，所以原命題的否定為“存在k0，使方程x2xk0無實根”答案(1)x1，x210(2)存在k0，使方程x2xk0無實根考點三含有量詞的命題的真假判斷【例3】 下列四個命題p1：x0(0，)，；p2：x0(0,1)，x0x0；p3：x(0，)，x；p4：x，x.其中真命題是_根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，對x(0，)，故命題p1是假命題；由于xx，故對x(0,1)，xx，所以x

42、0(0,1)，x0x0，命題p2是真命題；當(dāng)x時，1，x1，故x不成立，命題p3是假命題；x，1，x1，故x，命題p4是真命題解析答案p2，p4規(guī)律方法 對于存在性命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立，對于全稱命題的判斷，必須對任意元素證明這個命題為真，而只要找到一個特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立. 【訓(xùn)練3】 (2013·開封二模)下列命題中的真命題是_(填序號)xR，使得sin xcos x；x(0，)，ex>x1；x(，0)，2x<3x；x(0，)，sin x>cos x.解析因為sin xcos xsin<，故錯

43、誤；當(dāng)x<0時，y2x的圖象在y3x的圖象上方，故錯誤；因為x時有sin x<cos x，故錯誤答案1邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題2正確區(qū)別命題的否定與否命題“否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“綈p”，只是否定命題p的結(jié)論命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個為真答題模板1借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參數(shù)范圍問題【典例】 (12分)已知a0，設(shè)命題p：

44、函數(shù)yax在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式ax2ax10對xR恒成立若“pq”為假，“pq”為真，求a的取值范圍規(guī)范解答函數(shù)yax在R上單調(diào)遞增，p：a1.不等式ax2ax10對xR恒成立，且a0，a24a0，解得0a4，q：0a4.(5分)“pq”為假，“pq”為真，p、q中必有一真一假(7分)當(dāng)p真，q假時，a|a1a|a4a|a4(9分)當(dāng)p假，q真時，a|0a1a|0a4a|0a1(11分)故a的取值范圍是a|0a1，或a4(12分)反思感悟 解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把每個條件所對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來，然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補的基本運算【自主體驗】(2014·泰州月考)

45、命題p：關(guān)于x的不等式x22ax40對一切xR恒成立，q：函數(shù)f(x)(32a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍解設(shè)g(x)x22ax4，由于關(guān)于x的不等式x22ax40對一切xR恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點，故4a2160，2a2.又函數(shù)f(x)(32a)x是增函數(shù)，32a1，a1.又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，則1a2；(2)若p假q真，則a2.綜上可知，所求實數(shù)a的取值范圍是(，21,2).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1命題“xRQ，x3Q”的否定是_解析根據(jù)存在性命題的否定為全稱命題知

46、答案xRQ，x3Q2已知p：235，q：54，則p綈q為_，pq為_(填“真”或“假”)解析p為真，綈p為假又q為假，綈q為真，“p且綈q”為真，“p或q”為真答案真真3命題：xR，sin x2的否定是_命題(填“真”、“假”)解析命題的否定是xR，sin x2，所以是假命題答案假4下列命題中的假命題是_xR，lg x0；xR，tan x；xR，x30；xR,2x0解析當(dāng)x1時，lg x0，故命題“xR，lg x0”是真命題；當(dāng)x時，tan x，故命題“xR，tan x”是真命題；由于x1時，x30，故命題“xR，x30”是假命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對xR,2x0，故命題“xR,2x0”是真

47、命題答案5已知命題p1：函數(shù)y2x2x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y2x2x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命題是_解析命題p1是真命題，p2是假命題，故q1為真，q2為假，q3為假，q4為真答案q1，q46命題：“xR，exx”的否定是_答案xR，exx7若命題p：關(guān)于x的不等式axb0的解集是x|x，命題q：關(guān)于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，則在命題“pq”、“pq”、“綈p”、“綈q”中，是真命題的有_解析依題意可知命題p和q都是假命題，所以“pq”為假、“pq”為假、“綈p”為真、“綈q”為真答案綈

48、p，綈q8若命題“xR，ax2ax20”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)a0時，不等式顯然成立；當(dāng)a0時，由題意知得8a0.綜上，8a0.答案8,0二、解答題9分別指出“pq”、“pq”、“綈p”的真假(1)p：梯形有一組對邊平行；q：梯形有兩組對邊相等(2)p：1是方程x24x30的解；q：3是方程x24x30的解(3)p：不等式x22x10的解集為R；q：不等式x22x21的解集為.解(1)p真q假，“pq”為真，“pq”為假，“綈p”為假(2)p真q真，“pq”為真，“pq”為真，“綈p”為假(3)p假q假，“pq”為假，“pq”為假，“綈p”為真10已知c0，且c1，設(shè)p：函數(shù)y

49、cx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)x22cx1在上為增函數(shù)，若“pq”為假，“pq”為真，求實數(shù)c的取值范圍解函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減，0c1.即p：0c1，c0且c1，綈p：c1.又f(x)x22cx1在上為增函數(shù)，c.即q：0c，c0且c1，綈q：c且c1.又“pq”為真，“pq”為假，p與q一真一假當(dāng)p真， q假時，c|0c1.當(dāng)p假，q真時，c|c1.綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1(2014·湖南五市十校聯(lián)考)下列命題中是假命題的是_ ，R，使sin()sin sin ；R，函數(shù)f(x)sin(2x)都不是偶函數(shù)；mR，使f(x

50、)(m1)·xm24m3是冪函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減；a0，函數(shù)f(x)ln2 xln xa有零點解析對于，當(dāng)0時，sin()sin sin 成立；對于，當(dāng)時，f(x)sin(2x)cos 2x為偶函數(shù)；對于，當(dāng)m2時，f(x)(m1)·xm24m3x1，滿足條件；對于，令ln xt，a0，對于方程t2ta0，14(a)0，方程恒有解，故滿足條件答案2(2013·衡水二模)已知命題p：“xR，使得x22ax10成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析“xR，x22ax10”是真命題，即不等式x22ax10有解，(2a)240，得a21，即a1或a1.答案(，

51、1)(1，)3(2014·宿州檢測)給出如下四個命題：若“pq”為假命題，則p，q均為假命題；命題“若ab，則2a2b1”的否命題為“若ab，則2a 2b1”；“xR，x211”的否定是“x0R，x211”；在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要條件其中不正確的命題的序號是_解析若“pq”為假命題，則p，q至少有一個為假命題，所以不正確；正確；“xR，x211”的否定是“x0R，x211”，所以不正確；在ABC中，若AB，則ab，根據(jù)正弦定理可得sin Asin B，所以正確答案二、解答題4已知命題p：方程x2mx10有兩個不等的負(fù)根；命題q：方程4x24(m2)x10

52、無實根若“pq”為真，“pq”為假，求實數(shù)m的取值范圍解若方程x2mx10有兩個不等的負(fù)根，則解得m2，即命題p：m2.若方程4x24(m2)x10無實根，則16(m2)21616(m24m3)0，解得1m3，即q：1m3.因“p或q”為真，所以p，q至少有一個為真，又“p且q”為假，所以命題p，q至少有一個為假，因此，命題p，q應(yīng)一真一假，即命題p為真、命題q為假或命題p為假、命題q為真或解得：m3或1m2，即實數(shù)m的取值范圍是(1,23，)基礎(chǔ)回扣練集合與常用邏輯用語(建議用時：60分鐘)一、填空題1(2013·新課標(biāo)全國卷改編)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，則AB_.解析Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,4答案1,42(2013·合肥一模)設(shè)