高考數(shù)學人教A版理科配套題庫【第五章】平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積

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1、 精品資料 第3講 平面向量的數(shù)量積 一、選擇題 1．若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．0 解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 2．若向量a與b不共線，a·b≠0，且c＝a－b，則向量a與c的夾角為(　　) A．0 B.

2、 C. D. 解析 ∵a·c＝a· ＝a·a－a·b＝a2－a2＝0， 又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故選D. 答案　D 3．若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c·(a＋2b)＝ (　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案　D 4．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，則λ等于

3、 (　　)． A. B. C. D. 解析　以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.] 答案　A 5．若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　)． A.－1 B．1 C. D．2 解析　由已知條件，向

4、量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1， 故|a＋b－c|≤1. 答案　B 6．對任意兩個非零的平面向量α和β，定義αβ＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且ab和ba都在集合中，則ab＝ (　　)． A. B．1 C

5、. D. 解析　由定義αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，從而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因為θ∈，所以<cos θ<1，所以<cos2θ<1，所以1<2cos2θ<2.結(jié)合選項知答案為C. 答案　C 二、填空題 7． 已知向量a，b均為單位向量，若它們的夾角是60°，則|a－3b|等于________． 解析 ∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝. 答案 8. 已知向量

6、, ，若，則的值為 ． 解析 答案 9． 如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________． 解析　以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系xOy，則＝(，0)，＝(，1)， 設F(t,2)，則＝(t,2)． ∵·＝t＝，∴t＝1， 所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案　 10．已知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________． 解析　由已知a

7、·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1， 又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0， 則a·c＝b·c＝－1， 由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0， 即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0， ∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4， 即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案　4 三、解答題 11．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)設c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb與a垂直，求λ的值

8、； (3)求向量a在b方向上的投影． 解 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0. (2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a＋λb與a垂直， ∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝. (3)設向量a與b的夾角為θ， 向量a在b方向上的投影為|a|cos θ. ∴|a|cos θ＝＝＝－＝－. 12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)

9、． (1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； (2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值． 解　(1)由題設知＝(3,5)，＝(－1,1)，則 ＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的兩條對角線長分別為4，2. (2)由題設知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0， 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－. 13．設兩向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1

10、＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍． 解　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7. 欲使夾角為鈍角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－. 設2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)， ∴∴2t2＝7.∴t＝－，此時λ＝－. 即t＝－時，向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為π. ∴當兩向量夾角為鈍角時，t的取值范圍是 ∪. 14． 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m＝，n＝，且滿足|m＋n|＝. (1)求角A的大?。? (2)若||＋||＝||，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3， 即1＋1＋2＝3， ∴cos A＝.∵0<A<π，∴A＝. (2)∵||＋||＝||，∴sin B＋sin C＝sin A， ∴sin B＋sin＝×， 即sin B＋cos B＝，∴sin＝. ∵0<B<，∴<B＋<， ∴B＋＝或，故B＝或. 當B＝時，C＝；當B＝時，C＝. 故△ABC是直角三角形.