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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料
[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]
1．給出下列命題：(1)若＝，則－a，b，－c成等比數(shù)列(abc≠0)；(2)若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列；(3)若an＋1＝anq(q為常數(shù))，則{an}是等比數(shù)列．其中正確的命題有( )
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．2個(gè) D．3個(gè)
解析：選B.(1)顯然正確；(2)中，abc＝0時(shí)不成立；(3)中q＝0時(shí)不成立．故選B.
2．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：選B.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝1
2、62，后式除以前式得q2＝16，∴q＝4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4.
3．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，若am＝xan，則x等于( )
A．q B．qn－m
C．qm－n D．1
解析：選C.∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴a1qm－1＝xa1qn－1，∴x＝qm－n.
4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：選C.在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.又∵am＝qm－1，∴m－
3、1＝10，
∴m＝11.
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：選B.∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
6．等比數(shù)列，－，，…的第8項(xiàng)是________．
解析：等比數(shù)列，－，…首項(xiàng)為，公比為－，則第8項(xiàng)為(－)7＝－.
答案：－
7．若k，2k＋2，3k＋3是等比數(shù)列的前3項(xiàng)，則第4項(xiàng)為________．
解析：∵k，2k＋2，3k＋3是等比數(shù)列的前3項(xiàng)，
∴有(2k＋2)2＝k
4、(3k＋3)，
解得k＝－1或－4.
∵2k＋2為等比數(shù)列中的項(xiàng)，2k＋2≠0，
∴k＝－1(舍去)，∴k＝－4.
則該數(shù)列前3項(xiàng)為－4，－6，－9，
∴第4項(xiàng)為－13.5.
答案：－13.5
8．在2和30之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個(gè)數(shù)是________．
解析：設(shè)插入的兩數(shù)依次為a，b，∴a2＝2b，2b＝a＋30.
∴a2－a－30＝0.∴a＝6.∴b＝18.
答案：6，18
9．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)．
解：設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為，x，xq.
由題意得
解得
故這三個(gè)數(shù)分別
5、為1，3，9或9，3，1或－1，3，－9或－9，3，－1.
10．在等比數(shù)列{an}中，an＝3()n－1，且bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列．
解：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．理由如下：
∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＝3()n－1，∴q＝.
于是bn＝a3n－2(1＋q＋q2)＝a3n－2(1＋＋)＝
a3n－2，則bn＋1＝a3n＋1.
因此＝＝q3＝.故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
[高考水平訓(xùn)練]
1．首項(xiàng)為1，公比|q|≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積等于該數(shù)列的第11項(xiàng)，則n＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6、解析：選D.由題意知，a1a2a3…an＝a11，
即q10＝q1q2q3…qn－1＝q，
∴＝10，解得n＝5.
2．商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(b＞a)以及實(shí)數(shù)x(0＜x＜1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于________．
解析：∵(c－a)2＝(b－c)(b－a)，c＝a＋x(b－a)，
∴x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，
整理得x2＋x－1＝0.
7、解得x＝或x＝(舍去)．
答案：
3．三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)，則可成為等比數(shù)列，且這三個(gè)數(shù)的和為6，求這三個(gè)數(shù)．
解：由題意，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d(d≠0)，
∴a－d＋a＋a＋d＝6，
∴a＝2，∴這三個(gè)數(shù)分別為2－d，2，2＋d.
若2－d為等比中項(xiàng)，則有(2－d)2＝2(2＋d)．
解得，d＝6或d＝0(舍去)，
此時(shí)三個(gè)數(shù)為－4，2，8.
若2＋d是等比中項(xiàng)，則有(2＋d)2＝2(2－d)，
解得，d＝－6或d＝0(舍去)，此時(shí)三個(gè)數(shù)為8，2，－4.
若2為等比中項(xiàng)，則22＝(2＋d)(2－d)，
8、解得d＝0(舍去)．
綜上可知，這三個(gè)數(shù)是－4，2，8.
4．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥m L，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥m L，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a＞b)，再將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入A中，恰好使A中保持m L，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?
解：設(shè)第n次操作后，A中農(nóng)藥的濃度為an，B中農(nóng)藥的濃度為bn，則a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；
…
bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)()n－1＝(a0－b0)()n.
∵a0－b0＝，∴an－bn＝()n.
依題意()n＜1%，n∈N＋，解得n≥6.
因此至少經(jīng)過6次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%.
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