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1、新編數學北師大版精品資料
第一章 1.4 邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”
一、選擇題
1．若p是真命題，q是假命題，則( )
A．p且q是真命題 B．p或q是假命題
C．非p是真命題 D．非q是真命題
[答案] D
[解析] 本題主要考查邏輯聯(lián)結詞．利用命題真值表進行判斷．根據命題真值表知，q是假命題，非q是真命題．
2．設命題p：函數y＝sin2x的最小正周期為；命題q：函數y＝cosx的圖像關于直線x＝對稱．則下列判斷正確的是( )
A．p為真 B．非q為假
C．p且q為假 D．p或q為真
[答案] C
[解析] 本題考查命題真假的判斷．p為假命題，q為假命題
2、．所以p∧q為假命題．
對“p且q”真假判定：全真為真，一假則假．
3．下列命題中既是“p或q”形式，又是真命題的是( )
A．方程x2－x＋2＝0的兩根是－2,1
B．方程x2＋x＋1＝0沒有實根
C．2n－1(n∈Z)是奇數
D．a2＋b2≥0(a，b∈R)
[答案] D
[解析] A選項中－2,1都不是方程的根；B選項不是“p或q”的形式；C選項也不是“p或q”的形式；D選項中a2＋b2≥0由a2＋b2>0或a2＋b2＝0構成，且是真命題，故選D．
4．如果命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則( )
A．命題p和命題q都是假命題
B．命題p和命題q都是真命
3、題
C．命題p和命題“非q”真值不同
D．命題p和命題“非q”真值相同
[答案] D
[解析] “p或q”為真，“p且q”為假，則p、q一個真一個假，故命題p和命題“非q”真值相同．
5．已知p與q是兩個命題，給出下列命題：
①只有當命題p與q同時為真時，命題“p或q”才能為真；
②只有當命題p與q同時為假時，命題“p或q”才能為假；
③只有當命題p與q同時為真時，命題“p且q”才能為真；
④只有當命題p與q同時為假時，命題“p且q”才能為假．
其中真命題是( )
A．③ B．②和③
C．②和④ D．③和④
[答案] B
[解析] 利用“p或q”與“p
4、且q”真假表判斷．
6．p：點P在直線y＝2x－3上，q：點P在拋物線y＝－x2上，則使“p且q”為真命題的一個點P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[答案] C
[解析] 由題意知點P(x，y)的坐標滿足
，驗證各選項知，只有C成立．
二、填空題
7．分別用“p或q”、“p且q”、“非p”填空：
(1)命題“2是偶數且為質數”是________________的形式；
(2)命題“|x－1|>1的解為x>2或x<0”的是________________的形式；
(3)命題“－3不小于零”是____________
5、____的形式．
[答案] (1)p且q (2)p或q (3)非p
8．已知命題p：函數f(x)＝log0.5(3－x)的定義域為(－∞，3)；命題q：若k<0，則函數h(x)＝在(0，＋∞)上是增函數．則下列結論中錯誤的是________________．
①命題“p且q”為真； ②命題“p或q”為假；
③命題“p或q”為假； ④命題“非p且非q”為假．
[答案]?、冖?
[解析] 由3－x>0，得x<3，所以命題p為真，命題p為假．
又由k<0，易知函數h(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，所以命題q為真，命題q為假．
綜上可知命題“p且q”為真，命題“p或q”為真，命題“
6、p或q”為真，命題“p且q”為假．
三、解答題
9．分別指出由下列各組命題構成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復合命題的真假：
(1)p：2＋2＝5，q：3>2；
(2)p：9是質數，q：8是12的約數；
(3)p：?{0}，q：?＝{0}．
[解析] (1)p假q真
故“p且q”為假，“p或q”為真，“非p”為真
(2)p假q假
故“p且q”為假，“p或q”為假，“非p”為真
(3)p真q假
故“p且q”為假，“p或q”為真，“非p”為假．
10．指出下列命題的真假：
(1)命題：“不等式|x＋2|≤0沒有實數解”；
(2)命題：“－1是偶數或奇數”；
(
7、3)命題：“屬于集合Q，也屬于集合R”；
(4)命題：“A?(A∪B)”．
[解析] (1)此命題是“非p”的形式，其中，p：不等式|x＋2|≤0有實數解．因為x＝－2是該不等式的一個解，所以命題p是真命題，即非p為假命題．所以原命題為假命題．
(2)此命題是“p或q”的形式，其中，p：－1是偶數；q：－1是奇數．因為命題p為假命題，命題q為真命題，所以命題“p或q”為真命題．故原命題為真命題．
(3)此命題為“p且q”的形式，其中，p：∈Q；q：∈R，因命題p為假命題，命題q為真命題，所以，命題“p且q”為假命題，故原命題為假命題．
(4)此命題為“非p”的形式，其中，p：A?(A
8、∪B)．因p是真命題，所以“非p”是假命題．故原命題為假命題．
一、選擇題
1．已知命題p：所有有理數都是實數；命題q：正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是( )
A．(非p)或q B．p且q
C．(非p)或(非q) D．(非p)且(非q)
[答案] C
[解析] 本題考查命題的真假．
命題p：所有有理數都是實數為真命題．
命題q：正數的對數都是負數是假命題．
非p為假命題，非q是真命題，(非p)或(非q)是真命題，故選C．
2．命題s具有“p或q”形式，已知“p且r”是真命題，那么s是( )
A．假命題
B．真命題
C．與命題q的真假性有關
D．與
9、命題r的真假性有關
[答案] B
[解析] 由題意可知，“p且r”是真命題，則可知p是真命題，則可知“p或q”是真命題．
3．已知命題p1：函數y＝2x－2－x在R上為增函數，p2：函數y＝2x＋2－x在R為減函數．
則在命題q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(非p1)或p2和q4：p1且(非p2)中，真命題是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
[答案] C
[解析] 本小題考查了命題的相關知識，結合指數函數的單調性，綜合考查了含有邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的命題真假．
p1是真命題，則非p1為假命題；p2是假命題，則非p2
10、為真命題；
∴q1：p1或p2是真命題，q2：p1且p2是假命題，
∴q3：(非p1)或p2為假命題，q4：p1且(非p2)為真命題．
∴真命題是q1，q4，故選C．
4．已知命題p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.”若命題“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是( )
A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2}
C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}
[答案] A
[解析] “p且q”為真，即p、q同為真．對于命題p，任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0成立，即a≤1；對于
11、命題q，存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0成立，只需保證判別式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1，故選A．
二、填空題
5．已知命題p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，命題q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，那么p且q：________________，其真假是________________；p或q：________________，其真假是________________．
[答案] 方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3 假命題
方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3 假
12、命題
[解析] ∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，
q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，
∴p且q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，為假命題．
p或q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，為假命題．
6．已知命題p：函數f(x)＝lg的定義域為R；命題q：關于x的不等式＜1＋ax對一切正實數均成立．如果命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，則實數a的取值范圍為____________________．
[答案] 1≤a≤2
[解析] 因為f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，
13、所以即a＞2.因為＜1＋ax(x＞0)?a＞?a＞恒成立，又因為x＞0，所以＜1，解得a≥1.因為命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，所以p，q中一個為真一個為假．所以或解得1≤a≤2.
三、解答題
7．寫出下列命題的否定：
(1)a、b、c都相等；
(2)任何三角形的外角都至少有兩個鈍角；
(3)(x－2)(x＋5)>0.
[解析] (1)a、b、c不都相等，也就是說a、b、c中至少有兩個不相等．
(2)存在一個三角形，其外角最多有一個是鈍角．
(3)因為(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2，
所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.
另解：(
14、x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，
即－5≤x≤2.
8．設有兩個命題，命題p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命題q：函數f(x)＝(a＋1)x在定義域內是增函數，如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．
[解析] 對于p：因為不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4＜0.解這個不等式得：－3＜a＜1.對于q：f(x)＝(a＋1)x在定義域內是增函數，則有a＋1＞1，所以a＞0.又p且q為假命題，p或q為真命題，所以p、q必是一真一假．
當p真q假時有－3＜a≤0，當p假q真時a≥1.
綜上所述，a的取值范圍是(－3,0]∪[1，＋∞)．
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