新編數(shù)學(xué)學(xué)案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運(yùn)算一 Word版含答案

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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料2空間向量的運(yùn)算(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量的加減法及運(yùn)算律.2.理解空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律,并掌握共線向量定理知識(shí)點(diǎn)一空間向量的加減法及運(yùn)算律思考下面給出了兩個(gè)空間向量a,b,如何作出ba,ba?答案如圖,空間中的兩個(gè)向量a,b相加時(shí),我們可以先把向量a,b平移到同一個(gè)平面內(nèi),以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作a,b,則ab,ba.梳理類似于平面向量,可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算ab,ab知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律定義與平面向量一樣,實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘幾何定義0a與向量a的方向相同a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|倍0a與向量a的方向相反0a

2、0,其方向是任意的運(yùn)算律分配律(ab)ab結(jié)合律(a)()a注:在平面中,我們討論過兩個(gè)向量共線的問題,在空間中也有相應(yīng)的結(jié)論空間兩個(gè)向量a與b(b0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使得ab.1若ab0,則ab0.()2設(shè)R,若ab,則a與b共線()3.()4直線l的方向向量為a,若a平面,則l平面.()類型一空間向量的加減運(yùn)算例1如圖,已知長(zhǎng)方體ABCDABCD,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量(1);(2).考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算解(1).(2)().向量,如圖所示引申探究利用本例題圖,化簡(jiǎn).解結(jié)合加法運(yùn)算,0.故0.反思與感悟(1)首尾順次相接的若

3、干向量之和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,即.(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,則它們的和為0.如圖,0.跟蹤訓(xùn)練1在如圖所示的平行六面體中,求證:2.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用證明平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形,()()()2()又,.2.類型二共線問題例2(1)已知向量a,b,且a2b,5a6b,7a2b,則一定共線的三點(diǎn)是()AA,B,DBA,B,CCB,C,DDA,C,D(2)設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量,已知e1ke2,5e14e2,e12e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,實(shí)數(shù)k_.考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷答案

4、(1)A(2)1解析(1)因?yàn)?a6b3(a2b)3,故,又與有公共點(diǎn)A,所以A,B,D三點(diǎn)共線(2)因?yàn)?e1(k6)e2,且與共線,故x,即7e1(k6)e2xe1xke2,故(7x)e1(k6xk)e20,又e1,e2不共線,解得故k的值為1.反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件:()若ab,b0,則存在唯一實(shí)數(shù)使ab;()若存在唯一實(shí)數(shù),使ab,b0,則ab.判斷向量共線的關(guān)鍵:找到實(shí)數(shù).(2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù),使成立對(duì)空間任一點(diǎn)O,有t(tR)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有xy(xy1)跟蹤訓(xùn)練2如圖所示

5、,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),請(qǐng)判斷向量與是否共線?考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷解設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG,F(xiàn)G,又,共面,(),與共線類型三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用例3如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)a,b,c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3).考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上,且”,其他條件不變,如何表示?解acb.反思與感悟利用數(shù)

6、乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合:利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則、平行四邊形法則,將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量(2)明確目標(biāo):在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí),巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E在A1D1上,且2,F(xiàn)在對(duì)角線A1C上,且.求證:E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用證明設(shè)a,b,c.因?yàn)?,所以,所以b,()()abc,所以abc.又bcaabc,所以,又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E,所以E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線1.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有()();();();()

7、.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案D解析();();();(),故選D.2設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且,則四邊形ABCD是()A平行四邊形B空間四邊形C等腰梯形D矩形考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用答案A解析由,得,故四邊形ABCD為平行四邊形,故選A.3下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是()A.B.C.D|考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案C解析由知與共線,又因有一共同的點(diǎn)B,故A,B,C三點(diǎn)共線4若非零空間向量e1,e2不共線,則使2ke1e2與e12(k1)e2共線的k的值為_考點(diǎn)空間

8、向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案解析若2ke1e2與e12(k1)e2共線,則2ke1e2e12(k1)e2,k.5化簡(jiǎn)2233_.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案0解析223322220.(1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧巧用相反向量:向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果(2)證明(或判斷)三點(diǎn)A,B,C共線時(shí),只需證明存在實(shí)數(shù),使(或)即可,也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有t(1t

9、)”來證明三點(diǎn)A,B,C共線一、選擇題1化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是()A.B.C0D.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案C解析0,故選C.2空間任意四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案D3已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)G是CD的中點(diǎn),則()等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案A解析如圖,因?yàn)?,所以().4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為AC與BD的交點(diǎn)若a,b,c,則下列向量中與相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性

10、運(yùn)算答案A解析()c(ab)abc.5如圖所示,在四面體ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),記a,b,c,則等于()AabcBabcCabcDabc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案B解析連接AE(圖略),E是CD的中點(diǎn),b,c,()(bc)在ABE中,又a,a(bc)abc.6設(shè)點(diǎn)M是ABC的重心,記a,b,c,且abc0,則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案D解析設(shè)D是BC邊的中點(diǎn),M是ABC的重心,.而()(cb),(cb)7設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿足mn,其中mn1,則()A點(diǎn)P一定在直線AB上B點(diǎn)P一定不在直線AB上C點(diǎn)P可能在直線AB

11、上,也可能不在直線AB上D與的方向一定相同考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案A解析已知mn1,則m1n,(1n)nnn,即n(),即n.因?yàn)?,所以和共線,又AP和AB有公共點(diǎn)A,所以點(diǎn)A,P,B共線,故選A.二、填空題8在正方體ABCDA1B1C1D1中,化簡(jiǎn)的結(jié)果是_考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案2解析2.9在空間四邊形ABCD中,連接BD,若BCD是正三角形,且E為其中心,則的化簡(jiǎn)結(jié)果為_考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案0解析連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,連接AF(圖略),則,0.10若G為ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足0,則G為ABC的_(填“外

12、心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”)考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用答案重心解析因?yàn)椋訟G所在直線的延長(zhǎng)線為邊BC上的中線,同理,得BG所在直線的延長(zhǎng)線為AC邊上的中線,故G為其重心11已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有x,則x的值為_考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案解析x,且M,A,B,C四點(diǎn)共面,x1,x.三、解答題12如圖,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上,且BMBD,ANAE.求證:MN平面CDE.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量共面定理及應(yīng)用證明因?yàn)镸在BD上,且BMBD,所以.同理

13、.所以.又與不共線,根據(jù)共面向量定理可知,共面因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi),所以MN平面CDE.四、探究與拓展13已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|3,|b|2,|c|1,則|abc|_.答案214設(shè)e1,e2,e3三向量不共面,而e12e23e3,2e1e2e3,3e1e22e3,如果A,B,D三點(diǎn)共線,則,的值為_考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用解析(2e1e2e3)(3e1e22e3)(23)e1(1)e2e3.A,B,D三點(diǎn)共線,與是共線向量存在實(shí)數(shù)k,使得k,即e12e23e3k(23)e1(1)e2e3(12k3k)e1(2kk)e2(3k)e30.e1,e2,e3三向量不共面,12k3k0,2kk0,3k0.將k代入前兩式,可得解得1,3.

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