2020高中數學北師大版必修5 第一章3.1第一課時 等比數列 作業(yè) Word版含解析

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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料 [學業(yè)水平訓練] 1．給出下列命題：(1)若＝，則－a，b，－c成等比數列(abc≠0)；(2)若b2＝ac，則a，b，c成等比數列；(3)若an＋1＝anq(q為常數)，則{an}是等比數列．其中正確的命題有(　　) A．0個　　　　　　　　　　 B．1個 C．2個 D．3個 解析：選B.(1)顯然正確；(2)中，abc＝0時不成立；(3)中q＝0時不成立．故選B. 2．若等比數列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：選B.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，

2、a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4. 3．在等比數列{an}中，公比為q，若am＝xan，則x等于(　　) A．q B．qn－m C．qm－n D．1 解析：選C.∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴a1qm－1＝xa1qn－1，∴x＝qm－n. 4．在等比數列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：選C.在等比數列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.又∵am＝qm

3、－1，∴m－1＝10， ∴m＝11. 5．設等差數列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B.∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4. 6．等比數列，－，，…的第8項是________． 解析：等比數列，－，…首項為，公比為－，則第8項為(－)7＝－. 答案：－ 7．若k，2k＋2，3k＋3是等比數列的前3項，則第4項為________． 解析：∵k，2k＋2，3k＋3是等比數列的前3項， ∴有(2k

4、＋2)2＝k(3k＋3)， 解得k＝－1或－4. ∵2k＋2為等比數列中的項，2k＋2≠0， ∴k＝－1(舍去)，∴k＝－4. 則該數列前3項為－4，－6，－9， ∴第4項為－13.5. 答案：－13.5 8．在2和30之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則插入的兩個數是________． 解析：設插入的兩數依次為a，b，∴a2＝2b，2b＝a＋30. ∴a2－a－30＝0.∴a＝6.∴b＝18. 答案：6，18 9．已知三個數成等比數列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數． 解：設這三個數依次為，x，xq. 由題意得 解得 故

5、這三個數分別為1，3，9或9，3，1或－1，3，－9或－9，3，－1. 10．在等比數列{an}中，an＝3()n－1，且bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，判斷數列{bn}是否為等比數列． 解：數列{bn}為等比數列．理由如下： ∵數列{an}為等比數列，且an＝3()n－1，∴q＝. 于是bn＝a3n－2(1＋q＋q2)＝a3n－2(1＋＋)＝ a3n－2，則bn＋1＝a3n＋1. 因此＝＝q3＝.故數列{bn}為等比數列． [高考水平訓練] 1．首項為1，公比|q|≠1的等比數列{an}的前n項之積等于該數列的第11項，則n＝(　　) A．2 B．3 C．4

6、 D．5 解析：選D.由題意知，a1a2a3…an＝a11， 即q10＝q1q2q3…qn－1＝q， ∴＝10，解得n＝5. 2．商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格，即根據商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b＞a)以及實數x(0＜x＜1)確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數．經驗表明，最佳樂觀系數x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項．據此可得，最佳樂觀系數x的值等于________． 解析：∵(c－a)2＝(b－c)(b－a)，c＝a＋x(b－a)， ∴x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 整理得x2＋x－

7、1＝0. 解得x＝或x＝(舍去)． 答案： 3．三個互不相等的實數成等差數列，如果適當排列這三個數，則可成為等比數列，且這三個數的和為6，求這三個數． 解：由題意，這三個數成等差數列，可設這三個數分別為a－d，a，a＋d(d≠0)， ∴a－d＋a＋a＋d＝6， ∴a＝2，∴這三個數分別為2－d，2，2＋d. 若2－d為等比中項，則有(2－d)2＝2(2＋d)． 解得，d＝6或d＝0(舍去)， 此時三個數為－4，2，8. 若2＋d是等比中項，則有(2＋d)2＝2(2－d)， 解得，d＝－6或d＝0(舍去)，此時三個數為8，2，－4. 若2為等比中項，則22＝(2＋d)(2

8、－d)， 解得d＝0(舍去)． 綜上可知，這三個數是－4，2，8. 4．容器A中盛有濃度為a%的農藥m L，容器B中盛有濃度為b%的同種農藥m L，A，B兩容器中農藥的濃度差為20%(a＞b)，再將A中農藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入A中，恰好使A中保持m L，問至少經過多少次這樣的操作，兩容器中農藥的濃度差小于1%? 解：設第n次操作后，A中農藥的濃度為an，B中農藥的濃度為bn，則a0＝a%，b0＝b%. b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)； b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)； … bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)． ∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)()n－1＝(a0－b0)()n. ∵a0－b0＝，∴an－bn＝()n. 依題意()n＜1%，n∈N＋，解得n≥6. 因此至少經過6次這樣的操作，兩容器中農藥的濃度差小于1%.