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【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第5章 1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．復(fù)數(shù)1－i的虛部是( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] B
[解析] 分清復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是解題的關(guān)鍵．
2．(2014濟(jì)寧一模)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)2z＝－1＋i(i為虛數(shù)單位)．則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] 由于z＝＝＝，其在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，位于第一象限，故選A．
3．復(fù)數(shù)(2x2＋5x＋2
2、)＋(x2＋x－2)i為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x滿足( )
A．x＝－ B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2 D．x≠1且x≠－2
[答案] D
[解析] 由題意得x2＋x－2≠0，
解得x≠1，且x≠－2.
4．復(fù)數(shù)z＝a2－b2＋(a＋|a|)i (a、b∈R)為實(shí)數(shù)的充要條件是( )
A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<0且a＝－b
C．a(chǎn)>0且a≠b D．a(chǎn)>0且a＝|b|
[答案] A
[解析] a＋|a|＝0，∴a≤0.
5．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模等于( )
A．1 B．2
C． D．5
[答案] C
3、
[解析] a，b∈R,2＋ai＝b－i?a＝－1，b＝2，
則|z|＝＝.
二、填空題
6．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若z1＝z2，則m的值為________．
[答案]?。?
[解析] 由題意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，從而，
解得m＝－1.
7．已知復(fù)數(shù)z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，則k＝____________.
[答案] 2
[解析] 認(rèn)真審題，把握“z＜0”，說明“z是實(shí)數(shù)且小于0”，然后具體求解．因?yàn)閦＜0，則z∈R，所以虛部k2－5k＋6＝0解得k＝2或k＝3.當(dāng)
4、k＝3時(shí)，z＝0，不合題意，故舍去，所以k＝2.
8.關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集為(－1,2)，則復(fù)數(shù)m＋pi所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第________象限．
[答案] 二
[解析] 因?yàn)閙x2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集為(－1,2)．
所以即m<0，p>0.
故復(fù)數(shù)m＋pi所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限．
[點(diǎn)評] 復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)形成了一一對應(yīng)關(guān)系，在判斷復(fù)數(shù)所在象限時(shí)，一定要明確復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部．
三、解答題
9．實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)i表示的點(diǎn)位于
(1)實(shí)軸上？ (2)第一象限？ (3)
5、第四象限？
[解析] (1)由表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于實(shí)軸上，可得m－1＝0，解得m＝1，即當(dāng)m＝1時(shí)，表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于實(shí)軸上；
(2)由表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第一象限，可得，解得m>1，即當(dāng)m>1時(shí)，表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第一象限．
(3)由表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第四象限，可得，解得m<0，即當(dāng)m<0時(shí)，表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第四象限．
10．在復(fù)平面內(nèi)，分別用點(diǎn)和向量表示下列復(fù)數(shù)，并求出它們的模．
1，－＋i，－－i.
[分析] 在復(fù)平面內(nèi)先找出各復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，從而畫出各復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量．
[解析] 如圖，點(diǎn)A，B，C分別表示復(fù)數(shù)1，－＋i，－－i，與之對應(yīng)的向量可用，，來表示．
|1|＝
6、1；
|－＋i|
＝＝；
|－－i|＝＝1.
一、選擇題
1．以3i－的虛部為實(shí)部，以－3＋i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是( )
A．3－3i B．3＋ic
C．－＋i D．＋i
[答案] A
[解析] 3i－的虛部為3，－3＋i的實(shí)部為－3，故以3i－的虛部為實(shí)部，以－3＋i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是3－3i.
2．設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z＋2|－|z－2|＝4，那么復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)的軌跡是( )
A．實(shí)軸在x軸上的雙曲線
B．實(shí)軸在x軸上的雙曲線的右支
C．兩條射線
D．一條射線
[答案] D
[解析] |z＋2|－|z－2|＝4的意義為
7、在數(shù)軸上到－2和2的距離之差為4的點(diǎn)的集合，即以2為端點(diǎn)向右的射線．
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝sin2＋icos2對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] 因?yàn)?2<π，所以0
8、∴復(fù)數(shù)1＋2i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．
二、填空題
5．已知復(fù)數(shù)z＝x＋2＋yi(x，y∈R)的模是，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程為________．
[答案] (x＋2)2＋y2＝7
[解析] x，y∈R，且∵|z|＝|x＋2＋yi|＝，
∴＝.
∴(x＋2)2＋y2＝7為所求的軌跡方程．
6．已知M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，實(shí)數(shù)a＝__________.
[答案]?。?
[解析] 按題意(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
∴得a＝－1.
三、解答題
7．實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋
9、(m2＋2m－15)i(a∈R)對應(yīng)的點(diǎn)Z.
(1)是實(shí)數(shù)？(2)是虛數(shù)？(3)是純虛數(shù)？
[解析] (1)當(dāng)時(shí)
即，
∴當(dāng)m＝－5或m＝3時(shí)，z是實(shí)數(shù)．
(2)當(dāng)時(shí)，即
∴當(dāng)m≠5且m≠3時(shí)，z是虛數(shù)．
(3)當(dāng)時(shí)，
即
∴當(dāng)m＝－2時(shí)，z是純虛數(shù)．
8.已知：復(fù)數(shù)z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，其中x∈R.
求證：復(fù)數(shù)z不可能是純虛數(shù)．
[證明] 假設(shè)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，
則有
由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.
當(dāng)x＝－1時(shí)，log2(x－3)無意義；
當(dāng)x＝4時(shí)，log2(x－3)＝0，這與log2(x－3)≠0矛盾，故假設(shè)不成立，所以復(fù)數(shù)z不可能是純虛數(shù)．
[點(diǎn)評] 本題是結(jié)論本身是否定形式的命題，故在證明時(shí)一般采用反證法．
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