新版高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第三章 167;3　第1課時 倍角公式及其應用 Word版含答案

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1、新版數(shù)學北師大版精品資料新版數(shù)學北師大版精品資料 第 1 課時 倍角公式及其應用 核心必知 二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) 記法 公式 推導方法 S2 sin 22sin_cos_ S 令S2 C2 cos 2cos2sin2 C 令C2 cos 212sin2 cos 22cos21 利用 sin2cos21 消去 sin2或 cos2 T2 tan 22tan 1tan2 T 令T2 問題思考 1倍角公式成立的條件是什么？ 提示：在公式 S2，C2中，角為任意角，在 T2中，只有當k2(kZ Z)及k24(kZ Z)時，才成立 2在什么條件下，sin 22sin 成立？ 提示：一

2、般情況下，sin 22sin ，只有當2k(kZ Z)時，sin 22sin 才成立 講一講 1求下列各式的值： (1)sin 75cos 75；(2)12sin28；(3)2tan 1501tan2150； (4)1sin 103cos 10. 嘗試解答 (1)原式12(2sin 75cos 75) 12sin 150121214. (2)原式12(12sin28)12cos 4122224. (3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60 3. (4)原式cos 10 3sin 10sin 10cos 10 2（12cos 1032sin 10）sin 10co

3、s 10 4（sin 30cos 10cos 30sin 10）2sin 10cos 10 4sin 20sin 204. 二倍角公式的“三用”： (1)公式正用 從題設條件出發(fā)， 順著問題的線索， 正用三角公式， 運用已知條件和推算手段逐步達到目的 (2)公式逆用 要求對公式特點有一個整體感知 主要形式有2sin cos sin 2， sin cos 12sin 2，cos sin 22sin ，cos2sin2cos 2，2tan 1tan2tan 2. (3)公式的變形用 主要形式有 1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2，1cos

4、22sin2(升冪公式)，cos21cos 22，sin21cos 22(降冪公式) 練一練 1求值： (1)sin 64cos 64cos 32cos 16cos 8_； (2)2sin 50cos 10（1 3tan 10）1cos 10_ 解析：(1)原式12sin 32cos 32cos 16cos 8 14sin 16cos 16cos 818sin 8cos 8 116sin 4232. (2)原式2sin 50cos 10（13sin 10cos 10）2cos25 2sin 50cos 10 3sin 102cos 5 2sin 502（12cos 1032sin 10）2co

5、s 5 2sin 502sin 402cos 52sin 502cos 502cos 5 2 2（22sin 5022cos 50）2cos 5 2 2sin 952cos 52. 答案：(1)232 (2)2 講一講 2已知是第一象限角，且 cos 513，求sin（4）cos（24）的值 嘗試解答 為第一象限角，且 cos 513， sin 1213. 原式22（sin cos ）cos 222sin cos cos2sin2 221cos sin 221513121313 214. 當待求值的函數(shù)式較復雜時，一般需要利用誘導公式，倍角公式以及和差公式進行化簡，與已知條件取得聯(lián)系，從而達到

6、化簡求值的目的 練一練 2已知34，tan 1tan 103. (1)求 tan 的值； (2)求5sin228sin 2cos 211cos2282sin（4）的值 解： (1)tan 1tan 103， 3tan210tan 30.解得 tan 13或 tan 3. 34， 1tan 0，所以2244，因此1. (2)由(1)知f(x)sin2x3. 當x32時，532x383. 所以32sin2x31. 因此1f(x)32. 故f(x)在區(qū)間，32上的最大值和最小值分別為32，1. 已知 cos(4x)35，1712x74，求sin 2x2sin2x1tan x的值 解 法一：sin 2

7、x2sin2x1tan x 2sin xcos x2sin2x1sin xcos x 2sin xcos x（cos xsin x）cos xsin x， 由 cos xsin x 2sin (4x)， cos xsin x 2cos(4x)， 原式sin 2xtan(4x) 又1712x74， 53x42， sin(4x)0， sin(4x)45， tan(4x)43. 而 sin 2xcos(22x)cos 2(4x)， 原式43sin 2x43cos(2x2) 43cos2(x4) 432cos2x41 2875. 法二：sin 2x2sin2x1tan xsin 2x2sin xcos

8、 xsin xcos x1tan x sin 2x1tan x1tan x sin 2xtan(4x)(*) 又1712x74. 534x2， cos(4x)35， sin(4x) 1cos2（4x）45， tan(4x)43， 又 sin 2xcos(22x) cos2(4x) 2cos24x1 12925725， 將上述結果代入(*)式有，原式725(43)2875. 法三：原式2sin xcos x2sin2x1sin xcos x 2sin xcos x（cos xsin x）cos xsin x sin 2x（cos xsin x）cos xsin x， 由 cos(4x)35，得2

9、2(cos xsin x)35， 即 cos xsin x3 25. 平方得 1sin 2x1825， sin 2x725 (cos xsin x)21sin 2x3225. 又1712x32， cos xsin x0. 則 cos xsin x4 25. 將代入有原式725（452）3522875. 1計算 12sin222.5的結果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：選 B 12sin222.5cos 4522. 2(全國甲卷)若 cos435，則 sin 2( ) A.725 B.15 C15 D725 解析：選 D 因為 cos435， 所以 sin 2cos22

10、cos24 2cos24129251725. 3(江西高考)若 sin233，則 cos ( ) A23 B13 C.13 D.23 解析：選 C 因為 sin233，所以 cos 12sin2 212(33)213. 4cos28sin28_ 解析：cos28sin28cos 422. 答案：22 5若1tan 1tan 2 012，則1cos 2tan 2_ 解析：1cos 2tan 2 1cos 2sin 2cos 2 1sin 2cos 2 （cos sin ）2cos2sin2cos sin cos sin 1tan 1tan 2 012 答案： 2 012 6已知 sin cos

11、13，且 0，求 sin 2，cos 2，tan 2的值 解：法一：由 sin cos 13，得(sin cos )219， 即 12sin cos 19，sin 22sin cos 89. sin cos 0，00，cos 0，sin |cos |. cos 2cos2sin20. cos 2 1sin22 179.tan 2sin 2cos 28 1717. 法二：sin cos 13，(sin cos )219， 即 12sin cos 19，sin 22sin cos 89. 00.又 sin cos 490， cos 0. sin cos （sin cos ）2 1sin 2173.

12、 cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin ) 13(173)179. tan 2sin 2cos 28 1717. 一、選擇題 1(全國大綱)已知為第二象限角，sin 35，則 sin 2( ) A2425 B1225 C.1225 D.2425 解析： 選 A 因為是第二象限角， 所以 cos 1sin245， 所以 sin 22sin cos 235(45)2425. 2(陜西高考)設向量a a(1，cos )與b b(1，2cos )垂直，則 cos 2等于( ) A.22 B.12 C0 D1 解析：選 C 由向量互相垂直得到a ab b12cos2cos 20

13、. 3(江西高考)若sin cos sin cos 12，則 tan 2( ) A34 B.34 C43 D.43 解析：選 A 由已知條件得tan 1tan 112tan 3， tan 22tan 1tan234. 4已知 cos(4)cos(4)eq f(r(3),4)，(34，)，則 sin cos 的值是( ) A.62 B62 C22 D.22 解析：選 C cos(4)cos(4) sin(4)cos(4) 12sin(22) 12cos 234. cos 232. (34，)，2(32，2)， sin 212，且 sin cos 0， (sin cos )21sin 211212

14、， sin cos 22. 二、填空題 5函數(shù)f(x)cos 2x2 3sin xcos x的最小正周期是_ 解析：f(x)cos 2x 3sin 2x2cos(2x3) T22. 答案： 6求值：tan 204sin 20_ 解析：tan 204sin 20sin 204sin 20cos 20cos 20 sin 202sin 40cos 20sin 202sin（6020）cos 20 sin 202sin 60cos 202cos 60sin 20cos 20 2sin 60cos 20cos 202sin 60 3. 答案： 3 7已知 tan(x4)2，則tan xtan 2x的值

15、為_ 解析：tan(x4)tan x11tan x2， tan x13. 又tan 2x2tan x1tan2x， tan xtan 2x12(1tan2x)12(119)49. 答案：49 8化簡：12sin 20cos 202cos210 1cos21601_ 解析：12sin 20cos 202cos210 1cos21601 （cos 20sin 20）2cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 201. 答案：1 三、解答題 9已知 cos(4)35，232，求 cos(24)的值 解：232，3440，34474. sin(4) 1cos2（4） 1（35

16、）245. cos 2sin(22) 2sin(4)cos(4) 2(45)352425， sin 2cos(22)12cos2(4) 12(35)2725. cos(24)22cos 222sin 2 22(2425725)31 250. 10(四川高考)已知函數(shù)f(x)cos2x2sinx2cosx212. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若f()3 210，求 sin 2的值 解：(1)f(x)cos2x2sinx2cosx212 12(1cos x)12sin x12 22cos (x4) 所以f(x)的最小正周期為 2，值域為22，22. (2)由(1)知f()22cos (4)3 210， 所以 cos (4)35. 所以 sin 2cos(22)cos 2(4) 12cos2(4)11825725.