新版數(shù)學學案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運算二 Word版含答案

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1、新版數(shù)學北師大版精品資料2空間向量的運算(二)學習目標1.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算與運算律.2.掌握兩個向量的數(shù)量積在判斷向量共線與垂直中的應用知識點數(shù)量積的概念及運算律1已知兩個非零向量a,b,則|a|b|cosa,b叫作a,b的數(shù)量積,記作ab,即ab|a|b|cosa,b2空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)abab0.(2)|a|2aa,|a|.(3)cosa,b.3空間向量數(shù)量積的運算律(1)(a)b(ab)(R)(2)abba(交換律)(3)a(bc)abac(分配律)特別提醒:不滿足結(jié)合律(ab)ca(bc)1對于非零向量b,由abbc,可得ac.()2對于向量a,b,c,有

2、(ab)ca(bc)()3若非零向量a,b為共線且同向的向量,則ab|a|b|.()4對任意向量a,b,滿足|ab|a|b|.()類型一數(shù)量積的計算例1如圖所示,在棱長為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,求:(1);(2);(3);(4).考點空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點用定義求數(shù)量積解(1)|cos,cos 60.(2)|2.(3)|cos,cos 120.(4)()|cos,|cos,cos 60cos 600.反思與感悟(1)已知a,b的模及a與b的夾角,直接代入數(shù)量積公式計算(2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積,可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開,再

3、利用aa|a|2及數(shù)量積公式進行計算跟蹤訓練1已知在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD4,E為側(cè)面AB1的中心,F(xiàn)為A1D1的中點試計算:(1);(2);(3).考點空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點用定義求數(shù)量積解如圖,設(shè)a,b,c,則|a|c|2,|b|4,abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.類型二利用數(shù)量積證明垂直問題例2(1)已知空間四邊形ABCD中,ABCD,ACBD,那么AD與BC的位置關(guān)系為_(填“平行”“垂直”)考點空間向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量積的綜合應用答案垂直解析()()2()

4、0,AD與BC垂直(2)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為AC與BD的交點,G為CC1的中點,求證:A1O平面GBD.考點空間向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量積的綜合應用證明設(shè)a,b,c,則ab0,bc0,ac0,|a|b|c|.()cab,ba,()abc(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是,即A1OBD.同理可證,即A1OOG.又OGBDO,OG?平面GBD,BD?平面CBD,A1O平面GBD.反思與感悟(1)證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量,根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直(2)證明與空間向量a,b,c有

5、關(guān)的向量m,n垂直的方法先用向量a,b,c表示向量m,n,再判斷向量m,n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓練2如圖,在空間四邊形OACB中,OBOC,ABAC,求證:OABC.考點空間向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量積的綜合應用證明因為OBOC,ABAC,OAOA,所以O(shè)ACOAB,所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0,所以,即OABC.類型三利用數(shù)量積解決空間角或兩點間的距離問題命題角度1解決角度問題例3在空間四邊形OABC中,連接AC,OB,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求向量與BC所成角的余弦值考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求角解,|cos,|cos,

6、84cos13586cos1202416,cos,.反思與感悟求兩個空間向量a,b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法,利用公式cosa,b,在具體的幾何體中求兩向量的夾角時,可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合,轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題跟蹤訓練3如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,求異面直線A1B與AC所成的角考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求解解不妨設(shè)正方體的棱長為1,設(shè)a,b,c,則|a|b|c|1,abbcca0,ac,ab.(ac)(ab)|a|2abacbc1,而|,cos,0,180,60.又異面直線所成角的范圍是(0,90,因此,異面直線A1B

7、與AC所成的角為60.命題角度2求空間中的兩點間的距離例4如圖,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱長都為2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點,求EF的長考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求線段長解設(shè)a,b,c.由題意,知|a|b|c|2,且a,b60,a,cb,c90.因為abc,所以|22a2b2c22222222222cos 6011415,所以|,即EF.反思與感悟求解距離問題時,先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個向量和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|求解即可跟蹤訓練4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,A

8、B1,AD2,AA13,BAD90,BAA1DAA160,求AC1的長考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求線段長解因為,所以()2222()因為BAD90,BAA1DAA160,所以1492(13cos 6023cos 60)23.因為|2,所以|223,則|,即AC1.1對于向量a,b,c和實數(shù),下列說法正確的是()A若ab0,則a0或b0B若a0,則0或a0C若a2b2,則ab或abD若abac,則bc考點空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點數(shù)量積的性質(zhì)答案B解析結(jié)合向量的運算,只有B正確2已知向量a,b是平面內(nèi)的兩個不相等的非零向量,非零向量c是直線l的一個方向向量,則“ca0且cb0”是

9、“l(fā)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點空間向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量積的綜合應用答案B解析若ab,則不一定得到l,反之成立3已知|a|2,|b|3,a,b60,則|2a3b|等于()A.B97C.D61考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求線段長答案C解析|2a3b|24a212ab9b24221223cos6093261,|2a3b|.4已知a,b為兩個非零空間向量,若|a|2,|b|,ab,則a,b_.考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求角答案解析cosa,b,a,b0,a,b.5已知正四面體ABCD的棱長為2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點,則

10、EF的長為_考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求線段長答案解析|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2,|,EF的長為.1空間向量運算的兩種方法(1)利用定義:利用ab|a|b|cosa,b并結(jié)合運算律進行計算(2)利用圖形:計算兩個數(shù)量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進行運算2在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積(3)代入ab|a|b|cosa,b求解一、選擇題1已知非零向量a,b不平行,并且其模相

11、等,則ab與ab之間的關(guān)系是()A垂直B共線C不垂直D以上都可能考點空間向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)題點數(shù)量積的性質(zhì)答案A解析由題意知|a|b|,(ab)(ab)|a|2|b|20,(ab)(ab)2已知向量a,b滿足條件:|a|2,|b|,且a與2ba互相垂直,則a,b等于()A30B45C60D90考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求角答案B解析根據(jù)a(2ba)0,即2ab|a|24,解得ab2,又cosa,b,又a,b0,180,a,b45,故選B.3若向量m垂直于向量a和b,向量nab(,R且,0),則()AmnBmnCm不平行于n,m也不垂直于nD以上三種情況都有可能考點空間向量數(shù)量積

12、的應用題點數(shù)量積的綜合應用答案B4設(shè)平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(2)()0,則ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形考點空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點用定義求數(shù)量積答案B解析由(2)()()()()()|2|20,得|,故ABC為等腰三角形5已知a,b,c是兩兩垂直的單位向量,則|a2b3c|等于()A14B.C4D2考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求線段長答案B解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14,|a2b3c|.6在長方體ABCDA1B1C1D1中,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是()A.B.C.D.考點空

13、間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點數(shù)量積的性質(zhì)答案D解析選項A,當四邊形ADD1A1為正方形時,可得AD1A1D,而A1DB1C,所以AD1B1C,此時有0;選項B,當四邊形ABCD為正方形時,可得ACBD,又ACBB1,BDBB1B,可得AC平面BB1D1D,故有ACBD1,此時0;選項C,由長方體的性質(zhì)可得AB平面ADD1A1,所以ABAD1,所以0,故選D.7在正方體ABCDA1B1C1D1中,有下列命題:()232;()0;與的夾角為60.其中真命題的個數(shù)為()A1B2C3D0考點空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點數(shù)量積的性質(zhì)答案B解析正確;與的夾角為120,不正確,故選B.二、填空題8已知正方

14、體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,則_.考點空間向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量積的綜合應用答案a2解析如圖,()()|2000a2a2.9已知空間向量a,b,|a|3,|b|5,mab,nab,a,b135,若mn,則的值為_考點空間向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量積的綜合應用答案解析由題意知ab|a|b|cosa,b3515,由mn,得(ab)(ab)0,即|a|2abab|b|21815(1)250.解得.10已知a,b是空間兩個向量,若|a|2,|b|2,|ab|,則cosa,b_.考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求角答案解析將|ab|化為(ab)27,求得ab,再由ab|a|b|cosa,

15、b,求得cosa,b.11已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|a3b|_.考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求線段長答案解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913,|a3b|.三、解答題12如圖,在直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D,E分別為棱AB,BB的中點(1)求證:CEAD;(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求角(1)證明設(shè)a,b,c,根據(jù)題意得|a|b|c|,且abbcca0,bc,cba,c2b20,即CEAD.(2)ac,|a|,|a|,(ac)c2|a|2,cos,即異面直線CE與

16、AC所成角的余弦值為.13等邊ABC中,P在線段AB上,且,若,則實數(shù)的值為_考點空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點空間向量數(shù)量積定義答案1解析如圖,故()|2|cos A,()(1)(1)|2,設(shè)|a(a0),則a2a2(1)a2,解得1.四、探究與拓展14已知BB1平面ABC,且ABC是B90的等腰直角三角形,平行四邊形ABB1A1,平行四邊形BB1C1C的對角線都分別相互垂直且相等,若ABa,則異面直線BA1與AC所成的角為_考點空間向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求角答案60解析如圖所示,()().ABBC,BB1AB,BB1BC,0,0,0且a2.a2.又|cos,cos,.又,0,180,120,又異面直線所成的角是銳角或直角,異面直線BA1與AC所成的角為60.

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