精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;3　第2課時(shí) 半角公式及其應(yīng)用 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料第 2 課時(shí)半角公式及其應(yīng)用核心必知正弦、余弦和正切的半角公式半角的正弦公式sin2_1cos2半角的余弦公式cos2_1cos2半角的正切公式tan21cos1cossin1cos1cossin問題思考1半角公式適用條件是什么？提示：cos21cos2，sin21cos2中，R R，tan21cos1cossin1cos中，2k，kZ Z，tan21cossin中，k，kZ Z.2半角正切公式中的三個(gè)公式各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？提示：無理式公式的優(yōu)點(diǎn)是只含一個(gè)函數(shù) cos，缺點(diǎn)是含有“”號(hào)，需判斷2所在的象限來確定 tan2的正負(fù)；有理式公式的優(yōu)點(diǎn)是不用判斷2所在的象限，缺點(diǎn)是需

2、知道 sin，cos兩個(gè)函數(shù)的值才能計(jì)算講一講1已知 cos33，為第四象限的角，求 tan2的值嘗試解答法一：(用 tan21cos1cos來處理)為第四象限的角，2是第二或第四象限的角tan20.tan21cos1cos1331332 31284 312（ 6 2）22 62.法二：(用 tan21cossin來處理)為第四象限的角，sin0.sin1cos211363.tan21cossin133632 62.法三：(用 tan2sin1cos來處理)為第四象限的角，sin0.sin1cos211363.tan2sin1cos63133 63 32 62.在求半角的正切 tan2時(shí)，用

3、tan21cos1cos來處理，要由所在的象限確定2所在的象限，再用三角函數(shù)值的符號(hào)取舍根號(hào)前的雙重符號(hào)；而用 tan21cossin或 tan2sin1cos來處理， 可以避免這些問題 尤其是 tan21cossin， 分母是單項(xiàng)式， 容易計(jì)算 因此常用 tan21cossin求半角的正切值練一練1已知 sin45，180270，求 sin2，cos2，tan2的值解：180270，9020，cos20.故原式1212cos21212coscos22|cos2|cos2.利用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)正確選用升、降冪公式：當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有根式時(shí)，應(yīng)選用升冪公式(cos 212sin22cos21

4、)去根號(hào)；當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有高次式時(shí)，應(yīng)選用降冪公式(sin21cos 22，cos21cos 22)降低次數(shù)以減少運(yùn)算量，注意隱含條件中角的范圍練一練2化簡(jiǎn)：sin 2x2cosx(1tanxtanx2)解：原式2sinxcosx2cosx(1sinxcosx1cosxsinx)sinx(11cosxcosx)sinx1cosxtanx.講一講3求證：cos21tan2tan214sin 2.嘗試解答左邊cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin2cos2cos22sin2212cos2sincos12sincos14sin 2 右邊1證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目

5、的地化繁為簡(jiǎn)、左右歸一或變更論證2常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、 “1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法3證明條件三角恒等式，首先應(yīng)觀察條件與結(jié)論之間的差異(三角函數(shù)名及結(jié)構(gòu))，從解決某一差異入手，采用條件轉(zhuǎn)化法或條件代入法練一練3求證：sin241cos212.證明：由 sin21cos2，知 sin41cos22，sin241cos22，sin2411cos221cos212，原等式得證化簡(jiǎn)：（1sincos） （sin2cos2）22cos(90180)錯(cuò)解是第二象限角，原式（2cos222sin2cos2） （sin2cos2）22cos2

6、22cos2（cos2sin2） （sin2cos2）2cos2cos2（cos）cos2cos.錯(cuò)因錯(cuò)解中把的范圍錯(cuò)誤地當(dāng)作2的范圍，從而判斷 cos2的符號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤正解原式（2cos222sin2cos2） （sin2cos2）22cos222cos2（cos2sin2） （sin2cos2）2|cos2|cos2（cos）|cos2|.又90180，4520，原式cos2（cos）cos2cos.1tan 15等于()A2 3B2 3C. 31D. 31解析：選 Btan 15tan3021cos 30sin 302 3.2設(shè)(，2)，則1cos（）2等于()Asin2Bcos2Csi

7、n2Dcos2解析：選 D(，2)，22.cos20.原式1cos2|cos2|cos2.3已知 sin 21213，(0，4)，則 tan等于()A.32B.23或32C.23D.12解析：選 C04022.cos 21sin221（1213）2513.tan1cos 2sin 21513121323.4已知 cos23，270360，那么 cos2的值為_解析：270360，1352180，cos20.cos21cos21232306.答案： 3065已知 sin45且523，則 tan2_解析：523，cos35，又542bcBabcCacbDbca解析：選 Casin 30cos 6c

8、os 30sin 6sin 24，b2tan 13cos213cos213tan213cos2132sin 13cos 13cos213sin213sin 26，csin 25.由 242526可得acb.4化簡(jiǎn) 4cos2(1tan2tan2)的結(jié)果為()A12cossinBsin 2Csin 2D2sin 2解析：選 B原式4cos2tan21tan222cos2tan2cos2sincos2sincossin 2.二、填空題5計(jì)算：sin8_解析：sin81cos4212222 22.答案：2 226在ABC中，若 cosA13，則 sin2BC2cos 2A的值為_解析：cosA13，

9、原式cos2A2cos 2A1cosA22cos2A111322(13)2119.答案：197化簡(jiǎn)：2sin 21cos 2cos2cos 2_解析：原式cos21cos 22sin 2cos 21cos 221cos 22tan 2122tan 2tan 2.答案：tan 28已知 sin2cos255，若 450540，則 tan2_解析：由條件知 12sin2cos215，2sin2cos245，即 sin45又 450540，cos0，cos35.tan21cossin135452.答案：2三、解答題9求值：1cos 202sin 20sin 10(1tan 5tan 5)解：原式2c

10、os2104sin 10cos 10sin 10(cos 5sin 5sin 5cos 5)cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin（3010）2sin 10cos 102sin 30cos 102cos 30sin 102sin 10cos 3032.10已知函數(shù)y12cos2x32sinxcosx1(xR R)，求函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)自變量x的集合解：y12cos2x32sinxcosx114cos 2x34sin 2x5412sin(2x6)54，y取最大值，只需 2x622k(kZ Z)，即xk6(kZ Z)ymax74.當(dāng)函數(shù)y取最大值74時(shí)，自變量x的集合為x|xk6，kZ Z.