高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題1 突破點2 解三角形 Word版含答案

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1、 突破點2　解三角形 [核心知識提煉] 提煉1 常見解三角形的題型及解法 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解. 提煉2 三角形的常用面積公式 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，其面積為S. (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)． (2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓

2、的半徑)． [高考真題回訪] 回訪1　正、余弦定理的應(yīng)用 1.(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　 B．　　　 C．2　　　 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D.] 2．(20xx全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C＝60，b＝，c＝3，則A＝________. 75　[如圖，由正弦定理，得＝，∴sin B＝. 又c>b，∴B＝45， ∴A＝180－60－45＝75.] 3．(20xx全國

3、卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 回訪2　三角形的面積問題 4．(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　) A．2＋2 B.＋1 C．2－2 D.－1 B　[∵B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝. 由正弦定理＝，得＝，

4、 即＝，∴c＝2. ∴S△ABC＝bcsin A＝22sin ＝＋1.故選B.] 回訪3　正、余弦定理的實際應(yīng)用 5．(20xx全國卷Ⅰ)如圖21，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60，C點的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高MN＝________m. 圖21 150　[根據(jù)圖示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180－75－60＝45. 由正弦定理得＝?AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60， ∴MN＝100＝150(m)．]

5、 熱點題型1　正、余弦定理的應(yīng)用 題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點，也是必考點，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實現(xiàn)邊角的互化． 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且＋＝. (1)證明：sin Asin B＝sin C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. 【導(dǎo)學(xué)號：04024038】 [解] (1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)＝＝＝k(k>0)． 則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入＋＝中，有 ＋＝， 2分 即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)

6、． 4分 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C. 6分 (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有 cos A＝＝，8分 所以sin A＝＝. 9分 由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋ sin B， 11分 故tan B＝＝4． 12分 [方法指津] 關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角

7、、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． [變式訓(xùn)練1] (1)(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. 　[法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理， 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A. ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B. 又sin B≠0，∴cos B＝，∴B＝. 法二：∵在△ABC中，acos C＋c

8、cos A＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcos B＝b，∴cos B＝. 又0＜B＜π，∴B＝.] (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0. ①證明：△ABC為等腰三角形； ②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值． [解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0， ∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0， 3分 ∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z． 4分 ∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角， ∴A

9、－B＝0，即A＝B， 5分 ∴△ABC是等腰三角形． 6分 ②由2(b2＋c2－a2)＝bc， 得＝， 7分 由余弦定理得cos A＝， 8分 cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝． 10分 ∵A＝B，∴cos B＝cos A＝， 11分 ∴cos B＋cos C＝＋＝． 12分 熱點題型2　三角形面積的求解問題 題型分析：三角形面積的計算及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等． 【例2】　設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)

10、的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． 【導(dǎo)學(xué)號：04024039】 [解] (1)由題意知 f(x)＝－ ＝－＝sin 2x－． 2分 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 4分 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)． 6分 (2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝， 7分 由題意知A為銳角，所以cos A＝． 8分 由余弦定理a2＝b2＋c2－2b

11、ccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc， 10分 即bc≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立． 因此bcsin A≤， 所以△ABC面積的最大值為． 12分 [方法指津] 1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象與性質(zhì)解決問題． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項，二者的關(guān)系a2＋c2＝(a＋

12、c)2－2ac經(jīng)常用到，有時還可利用基本不等式求最值． [變式訓(xùn)練2]　(20xx深圳二模)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2b＝asin B＋bcos A，c＝4. (1)求A； (2)若D是BC的中點，AD＝，求△ABC的面積． [解] (1)由2b＝asin B＋bcos A及正弦定理， 又0＜B＜π， 可得2＝sin A＋cos A， 2分 即有sin＝1， 4分 ∵0＜A＜π，∴＜A＋＜， ∴A＋＝，∴A＝． 6分 (2)設(shè)BD＝CD＝x，則BC＝2x， 由余弦定理得cos∠BAC＝＝， 得4x2＝b2－4b＋16.?、? 7分 ∵∠ADB＝180－∠ADC， ∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， 8分 由余弦定理得＋＝0， 得2x2＝b2＋2.?、? 9分 聯(lián)立①②，得b2＋4b－12＝0，解得b＝2(舍負(fù))， 11分 ∴S△ABC＝bcsin∠BAC＝24＝2． 12分