6、＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為__________．
[圓心為(2，－1)，半徑r＝2.
圓心到直線的距離d＝＝，
所以弦長(zhǎng)為2＝2＝.]
5．(20xx張家口模擬)已知直線12x－5y＝3與圓x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090279】
4 [把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝3，所以圓心到直線12x－5y＝3的距離d＝＝1，則|AB|＝2＝4.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第117頁)
直線與圓的位置關(guān)系
(1)(20xx開封模擬)直線l：mx－
7、y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定
(2)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為__________．
(3)(20xx全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為________．
(1)A (2)x＋2y－5＝0 (3)4π [(1)法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<.故直線l與圓相交．
法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1,1)，∵點(diǎn)(1,1)在圓C：x
8、2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交．
(2)∵以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)P(1,2)，
∴圓的方程為x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切線的斜率k＝－.
由點(diǎn)斜式可得切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
(3)圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝.|AB|＝2，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π22＝4π.]
[規(guī)律方法] 1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可
9、利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷；
(2)注意靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化運(yùn)算．如“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直”等．
2．與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形進(jìn)行求解．
[變式訓(xùn)練1] (1)(20xx蘭州模擬)過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
(2)(20xx全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作
10、l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝__________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090280】
(1)B (2)4 [(1)依題意知，點(diǎn)(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點(diǎn)．∵圓心(1,0)與切點(diǎn)(3,1)連線的斜率為，所以切線的斜率k＝－2.故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
(2)由圓x2＋y2＝12知圓心O(0,0)，半徑r＝2.∴圓心(0,0)到直線x－y＋6＝0的
距離d＝＝3，|AB|＝2＝2.過C作CE⊥BD于E.
如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2.
∵直線l的方程為x－y＋6＝0，
∴kAB＝，則∠BPD
11、＝30，從而∠BDP＝60.
∴|CD|＝＝＝＝4.]
圓與圓的位置關(guān)系
(1)(20xx山東高考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
(2)(20xx漢中模擬)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長(zhǎng)為2，則a＝________.
(1)B (2)1 [(1)法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長(zhǎng)度為2，∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圓M的方程為x2＋y2
12、－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.
又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝A．
∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．
(2)方程x2＋y2＋2ay－6＝0與x2＋y2＝4.
兩式相減得：2ay＝2，則y＝.
由已知條件＝，即a＝1.
13、]
[規(guī)律方法] 1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小關(guān)系．
2．若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．
3．若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦．
[變式訓(xùn)練2] (1)圓x2＋y2－6x＋16y－48＝0與圓x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切線條數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(20xx山西太原模擬)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
(1)B (2)C [(1)將兩圓x2＋
14、y2－6x＋16y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0化為標(biāo)準(zhǔn)形式分別為(x－3)2＋(y＋8)2＝112，(x＋2)2＋(y－4)2＝82.因此兩圓的圓心和半徑分別為O1(3，－8)，r1＝11；Q2(－2,4)，r2＝8.故圓心距|O1O2|＝＝13.又|r1＋r2|＞|O1O2|＞|r1－r2|，因此兩圓相交，公切線只有2條．
(2)圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．從而|C1C2|＝＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故
15、選C．]
直線與圓的綜合問題
(20xx江蘇高考改編)如圖841，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．
(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090281】
圖841
[解] 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圓心M(6,7)，半徑為5. 1分
(1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．
因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓
16、M外切，
所以0
17、與半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及勾股定理求解．
2．求弦長(zhǎng)常用的方法：①弦長(zhǎng)公式；②半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)．
[變式訓(xùn)練3] 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線：x－y＝4相切．
(1)求圓O的方程；
(2)若圓O上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱，且|MN|＝2，求直線MN的方程．
[解] (1)依題意，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x－y＝4的距離，
則r＝＝2.
所以圓O的方程為x2＋y2＝4. 5分
(2)由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋m＝0.
則圓心O到直線MN的距離d＝. 7分
由垂徑分弦定理，得＋()2＝22，
即m＝. 10分
所以直線MN的方程為2x－y＋＝0或2x－y－＝0. 12分
高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案 文 北師大版
