第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質

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1、第八章 立體幾何第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質題型97 證明空間中直線、平面的垂直關系2013年1. (2013四川文19)如圖,在三棱柱中,側棱底面,分別是線段的中點,是線段上異于端點的點.(1)在平面內,試作出過點與平面平行的直線,說明理由,并證明直線平面;(2)設(1)中的直線交于點,求三棱錐的體積.(錐體體積公式:,其中為底面面積,為高).2. (2013山東文19) 如圖,四棱錐中,分別為的中點(1)求證:平面;(2)求證:平面平面3. (2013重慶文19)如圖,四棱錐中,底面,.(1)求證:平面;(2)若側棱上的點滿足,求三棱錐的體積.2014年1.(2014遼寧文4)已知,

2、表示兩條不同直線,表示平面,下列說法正確的是( )A若則 B若,則C若,則 D若,則2.(2014浙江文6)設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面( ). A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 3.(2014廣東文9)若空間中四條兩兩不同的直線,滿足,則下列結論一定正確的是( ).A B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置關系不確定4.(2014北京文17)(本小題滿分14分)如圖所示,在三棱柱中,側棱垂直于底面,分別為,的中點.(1)求證:平面平面;(2)求證:平面;(3)求三棱錐的體積.5.(2014新課標文19) 如圖所示,三棱柱中,側面為菱形,的中點為,且平面. (1)求證:; (

3、2)若,求三棱柱的高. 6.(2014遼寧文19)如圖所示,和所在平面互相垂直,且,分別為,的中點. (1)求證:平面; (2)求三棱錐的體積.附:錐體的體積公式,其中為底面面積,為高.7. (2014廣東文18)如圖1所示,四邊形為矩形,平面,作如圖2所示的折疊:折痕.其中點分別在線段上,沿折疊后點在線段上的點記為,并且.(1) 求證:平面;(2) 求三棱錐的體積. 8.(2014江蘇16)如圖所示,在三棱錐中,分別為棱,的中點已知,求證:(1)直線平面;(2)平面平面9.(2014重慶文20)如圖所示,四棱錐中,底面是以為中心的菱形,底面,為上一點,且.(1)求證:平面;(2)若,求四棱錐

4、的體積.10(2014湖北文20)如圖所示,在正方體中, 分別是棱, ,的中點. 求證:(1)直線平面;(2)直線平面. 2015年1.(2015湖南文18)如圖所示,直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,分別是,的中點.(1)證明:平面平面;(2)若直線與平面所成的角為,求三棱錐的體積.1. 解析 (1)如圖所示,因為三棱柱是直三棱柱,所以,又是正三角形的邊的中點,所以,因此平面,又平面,所以平面平面.(2)設的中點為,聯(lián)結.因為是正三角形,所以.又三棱柱是直三棱柱,所以,因此平面.所以為直線與平面所成的角.由題設,所以,在中,所以.故三棱錐的體積.2.(2015天津文17)如圖所示,已知平面

5、, , , 點,分別是,的中點.(1)求證: 平面 ;(2)求證:平面平面.(3)求直線與平面所成角的大小.2.分析 (1)要證明平面,只需證明且平面;(2)要證明平面平面,可證明,;(3)取 中點,聯(lián)結 ,則就是直線 與平面所成角,中,由,得直線與平面所成角為.解析 (1)如圖所示,聯(lián)結,在中,因為和分別是,的中點,所以,又因為平面, 所以平面.(2)因為, 為中點,所以.因為平面,所以平面,從而.又 ,所以平面 .又因為平面,所以平面平面.(3)取中點和中點,聯(lián)結,因為和分別為,中點,所以, ,故,所以.又因為平面,所以平面,從而就是直線與平面所成角.在中,可得,所以.因為,所以,又由,有

6、,在中,可得, 在中,因此.所以直線與平面所成角為.3.(2015全國1文18)如圖所示,四邊形為菱形,G為與的交點,平面.(1)求證:平面平面;(2)若,三棱錐的體積為,求該三棱錐的側面積.3. 解析 (1)因為平面,所以.又為菱形,所以.又因為,平面,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在菱形中,取,又,所以,.在中,所以,所以在中,所以,解得.在中,可得.所以.4(2015山東文18)如圖所示,在三棱臺中,分別為的中點.(1)求證:平面;(2)若,求證:平面平面.4. 解析 (1)證法一:聯(lián)結.設,聯(lián)結,如圖所示.在三棱臺中,為的中點,可得,所以四邊形是平行四邊形,則為的中點.又是的中

7、點,所以.又平面,平面,所以平面.證法二:在三棱臺中,由,為的中點,可得,所以為平行四邊形,可得.在中,分別為,的中點,所以.又,所以平面平面,因為平面,所以平面.(2)證明:聯(lián)結,如圖所示.因為分別為的中點,所以.由,得.又為的中點,所以,因此四邊形是平行四邊形,所以.又,所以.又平面,所以平面.又平面,所以平面平面.5. (2015浙江文18) 如圖所示,在三棱柱中, ,在底面的射影為的中點,為的中點.(1)證明:平面; (2)求直線和平面所成的角的正弦值.此題無答案26.(2015重慶文20) 如題(20)圖,三棱錐中,平面平面,點,在線段上,且,點在線段上,且.(1)證明:平面.(2)

8、若四棱錐的體積為7,求線段的長. 26. 解析 (1)由,知點為等腰中底邊的中點,故又平面平面,平面平面,平面,所以平面,從而因為,故.從而與平面內兩條相交直線,都垂直,所以平面(2)設,則在中,從而.由,知,得,故,即由,從而四邊形的面積為 由(1)知,平面,所以為四棱錐的高在中,體積,故得,解得或由于,可得或,所以或2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面,交于直線.若直線,滿足,則( ).A. B. C. D. 1.C 解析 對于選項A,因為,所以.又因為,所以與平行或異面.故選項A不正確;對于選項B和D,因為,所以或.又因為,所以與的關系平行、相交或異面都有可能.故選項B和

9、D不正確;對于選項C,因為所以因為所以,故選項C正確,故選C.2.(2016全國甲文19)如圖所示,菱形的對角線與交于點,點,分別在,上, ,交于點.將沿折到的位置. (1)證明:;(2)若 ,求五棱錐的體積.2.解析 (1)因為四邊形為菱形,所以,所以,所以,所以.又因為,所以,所以.所以.(2)由得,由得 所以 于是故由(1)知,又,所以平面,于是又由,所以平面.又由得,五邊形的面積.3.(2016北京文18)如圖所示,在四棱錐中,平面,.(1)求證:平面; (2)求證:平面平面;(3)設點為的中點,在棱上是否存在點,使得平面?說明理由.3.解析 (1)因為平面,所以.又因為,.所以平面.

10、(2)由(1)知,平面,又,所以平面. 又平面,所以平面平面(3)棱上存在點,使得平面.證明如下.取中點,聯(lián)結.又因為為的中點,所以.又因為平面,所以平面.4.(2016山東文18)在如圖所示的幾何體中,是的中點,.(1)已知,. 求證:;(2)已知分別是和的中點.求證:平面.4.解析 (1)證明:因為,所以與確定一個平面,連接,如圖1所示. 因為為的中點,所以;同理可得. 又因為,所以平面,因為平面,所以.(2)設的中點為,連接,如圖2所示. 在中,是的中點,所以.又,所以;在中,是的中點,所以.又,所以平面平面.因為平面,所以平面. 5(2016江蘇16)如圖所示,在直三棱柱中,分別為的中

11、點,點在側棱上,且,.求證:(1)直線平面;(2)平面平面.5.解析 (1)因為分別為的中點,所以為的中位線,所以.又因為三棱柱為直棱柱,故,所以.又因為平面,且,故平面.(2)三棱柱為直棱柱,所以平面.又平面,故.又,且,平面,所以平面.又因為平面,所以.又因為,且平面,所以平面.又因為平面,所以平面平面.6.(2016全國乙文18)如圖所示,已知正三棱錐的側面是直角三角形,頂點在平面內的正投影為點,在平面內的正投影為點.聯(lián)結并延長交于點.(1)求證:是的中點;(2)在題圖中作出點在平面內的正投影(說明作法及理由),并求四面體的體積.6.解析 (1)由題意可得為正三角形,故.因為在平面內的正

12、投影為點,故平面.又平面,所以.因為在平面內的正投影為點,故平面.又平面,所以.因為,平面,所以平面.又平面,所以.因為,所以是的中點.(2)如圖所示,過作交于,則即為所要尋找的正投影.理由如下,因為,故.同理,又,平面,所以平面,故即為點在平面內的正投影.所以.在中,故由等面積法知.由勾股定理知,由為等腰直角三角形知,故.7.(2016四川文17)如圖所示,在四棱錐中,.(1)在平面內找一點,使得直線平面,并說明理由; (2)證明:平面平面 7.解析(1)取棱的中點平面,點即為所求的一個點.證明如下:因為,所以,且所以四邊形是平行四邊形,從而又平面,平面,所以平面 (說明:取棱的中點,則所找

13、的點可以是直線上任意一點). (2)由已知,因為,所以直線與相交,所以平面從而因為,所以,且 所以四邊形是平行四邊形.所以,所以又,所以平面又平面,所以平面平面2017年1.(2017全國3文10)在正方體中,為棱的中點,則( ).A BC D解析 因為,且,所以平面,又因為平面.所以.故選C.評注 本題屬于線面關系定理的實際應用問題,有一定難度,需要學生有較強的空間想象能力和公式定理的實際應用能力,問題的重點與難點在于找到與包含的平面垂直的直線!2.(2017全國1文18)如圖所示,在四棱錐中,且.(1)證明:平面平面;(2)若,且四棱錐的體積為,求該四棱錐的側面積.解析 (1)因為,所以.

14、因為,所以,因為,所以又,所以平面.因為平面,所以平面平面(2)由(1)知平面,因為平面,所以平面平面如圖所示,取中點.因為,所以.又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面由,得四邊形為平行四邊形.又因為平面,得,即四邊形是矩形.不妨設,則,所以,且因此四棱錐的體積為,解得所以3.(2017全國3文19)如圖所示,四面體中,是正三角形,(1)證明:;(2)已知是直角三角形,若為棱上與不重合的點,且,求四面體與四面體的體積比解析 (1)設中點為,聯(lián)結,. 由,得,由,得.又因為,所以平面.又因為平面,所以.(2)設,則.由,得,故.又因為,所以.所以,所以,可得. 即點為的中點,點到平面的距離是

15、點到平面的距離的一半,所以,所以體積比為.評注 本題第一問考查線線垂直的證明,屬于常規(guī)題型;第二問用相似或解三角形的方法求解直線長度,特別是用相似在高中階段比較少見,但16年全國卷選擇題的壓軸題也有類似考法.這說明,雖然幾何證明在高中階段已經不再作為一個固定的選作題出現(xiàn),但其主要知識點仍然可以作為考點,在高考中進行考查,筆者提醒各位老師在今后的教學中要特別注意到這一點.4.(2017北京文18)如圖所示,在三棱錐中,為線段的中點,為線段上一點(1)求證:;(2)求證:平面平面;(3)當平面時,求三棱錐的體積解析 (1)因為, ,所以平面.又因為平面,所以.(2)因為,為線段的中點,所以在等腰中

16、,.又由(1)可知,所以平面.由為線段上一點,則平面,所以又因為平面,所以平面平面.(3)當平面時,平面,且平面平面,可得.由是邊的中點知,為邊的中點.故而,因為平面,所以平面.由,為邊中點知,又,有,即因此,.5.(2017山東文18)由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示,四邊形為正方形,為與的交點,為的中點,平面.(1)證明:平面;(2)設是的中點,證明:平面平面.解析(1)如圖所示,取中點,聯(lián)結,由于為四棱柱,所以,因此四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因為四邊形是正方形,所以,分別為和的中點,所以.又 面,平面,所以.因為 ,所以.又平面,所以平面,又平面,所

17、以平面平面.解析(1)如圖所示,取中點,聯(lián)結,由于為四棱柱,所以,因此四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因為四邊形是正方形,所以,分別為和的中點,所以.又 面,平面,所以.因為 ,所以.又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.6.(2017浙江19)如圖所示,已知四棱錐,是以為斜邊的等腰直角三角形,為的中點.(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)如圖所示,設DE的中點為,聯(lián)結,.因為,分別為,的中點,所以,且.又因為,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以平面.(2)分別取,的中點為,.聯(lián)結交于點,聯(lián)結.因為,分別是,的中點,所以為

18、的中點,在平行四邊形中,.由為等腰直角三角形,得.由,是的中點,所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以.又,所以平面,由,得平面,又平面,所以平面平面.過點作的垂線,垂足為,聯(lián)結.是在平面上的射影,所以是直線與平面所成的角.設.在中,由,由余弦定理得,又平面,平面,所以.在中,由,,為的中點,得.在中,所以,所以直線與平面所成角的正弦值是.7.(2017江蘇15)如圖所示,在三棱錐中, 平面平面, 點(與不重合)分別在棱上,且求證:(1)平面; (2)解析 (1)在平面內,因為,且點與點不重合,所以.又因為平面,平面,所以平面.(2)因為平面平面,平面平面, 平面,所以平面.因為平面,所

19、以.又,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以.題型98 與垂直有關的開放性、探究性問題2015年1.(2015安徽文19) 如圖所示,在三棱錐中,平面,.(1)求三棱錐的體積;(2)求證:在線段上存在點,使得,并求的值.1.分析 (1)在中,由三角形的面積公式,求出三角形面積.又因為面,所以是三棱錐的高,根據錐體的體積公式即可求出結果;(2)過點作于點,過作交于點,根據線面垂直的判定定理和性質定理,可知此點即為所求,根據相似三角形的性質即可求出結果.解析 (1)在中,所以.又因為面,所以是三棱錐的高,所以.(2)過點作交于點,過點作交于點,聯(lián)結,如圖所示.因為面,所以面.又面,得.又,所以面

20、.又面,所以.此時點即為所找點,在中,由題意可得,所以.由,可得,所以,所以.2.(2015北京文18) 如圖所示,在三棱錐中,平面平面,三角形為等邊三角形,且,分別為,的中點.(1) 求證:平面.(2) 求證:平面平面 .(3) 求三棱錐的體積. 2.解析 (1)依題意,分別為,的中點,則是的中位線,所以,平面,平面,故平面.(2)因為在中,且為的中點,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,故平面平面.(3)由(2)知,平面,所以3(2015福建文20)如圖所示,是圓的直徑,點是圓上異于的點,垂直于圓所在的平面,且(1)若為線段的中點,求證:平面;(2)求三棱錐體積的最大值;(

21、3)若,點在線段上,求的最小值3.分析 (1)要證明平面,只需證明垂直于面內的兩條相交直線首先由垂直于圓所在的平面,可證明.又,為的中點,可證明,進而證明結論;(2)三棱錐中,高,要使得體積最大,則底面面積最大,又是定值,故當邊上的高最大,此時高為半徑,進而求三棱錐體積的最大值;(3)將側面繞旋轉至平面,使之與平面共面,此時線段的長度即為的最小值解析 (1)在中,因為,為的中點,所以又垂直于圓所在的平面,所以.因為,所以平面(2)因為點在圓上,所以當時,到的距離最大,且最大值為1又,所以面積的最大值為又因為三棱錐的高,故三棱錐體積的最大值為(3)解法一:在中,所以同理,所以在三棱錐中,將側面繞

22、旋轉至平面,使之與平面共面,如圖所示當共線時,取得最小值又因為,所以垂直平分,即為中點從而,即的最小值為解法二:由解法一可知, ,所以當為的中點時,與同時取得最小值.故.所以的最小值為.4.(2015湖北文20)九章算術中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中,側棱底面,且,點是的中點,連接、.(1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,請說明理由;(2)記陽馬的體積為,四面體的體積為,求的值.4.解析 (1)因為底面,所以. 由底面為長方形,有,而,所以平面. 平面

23、,所以. 又因為,點是的中點,所以. 而,所以平面.由平面,平面.可知四面體的四個面都是直角三角形,即四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別是(2)由已知,是陽馬的高,所以.由(1)知,是鱉臑的高,所以.在中,因為,點是的中點,所以,于是 5.(2015江蘇文22)如圖所示,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,(1)求平面與平面所成二面角的余弦值;(2)點是線段上的動點,當直線與所成的角最小時,求線段的長5.解析 由平面,故,兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標系,則,(1)易知平面,故平面的一個法向量為又,.設平面的一個法向量為,則,.所以,取,則,故,因此.易知平面與平面所成二面角

24、為銳二面角,故其余弦值為(2)因,設,所以,因此,設,所以,令,則,所以函數在上單調遞增,在上單調遞減,所以當時,有最大值,即有最大值,此時直線與所成的角最小,故評注 也可以假設點的坐標解決在求解的最大值時,也可以處理成:,設,則,所以,所以當,取最小值, 此時取最大值,此時直線與所成的角最小,即,解得,故6.(2015四川文18)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請按字母F,G,H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系.并說明你的結論;(3)求證:直線平面.6.解析 (1)點F,G,H的位置如圖所示.(2)平面平面

25、.證明如下:因為為正方體,所以,.又,所以,.所以為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.同理平面.又,所以平面平面.(3)聯(lián)結,因為為正方體,所以平面.因為平面,所以.又,所以平面.又平面,所以.同理,.又,所以平面.題型99 空間角與空間距離2013年1(2013江西文19)如圖,直四棱柱中, 為上一點,.(1)證明:平面;(2)求點到平面的距離2. (2013天津文17) 如圖, 三棱柱中, 側棱底面,且各棱長均相等.分別為棱的中點. (1)證明:平面; (2)證明:平面平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17) 如圖2.在直棱柱中,是的中點,點在棱上運動

26、.(1)證明:;(2)當異面直線, 所成的角為時,求三棱錐的體積.4.(2013浙江文20)如圖,在在四棱錐中,面, ,為線段上的點.(1)證明:平面; (2)若是的中點,求與所成的角的正切值;(3)若滿足 面,求的值.2014年1.(2014大綱文4)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的余弦值為( ).A B C D2.(2014天津文17)如圖所示,四棱錐的底面是平行四邊形,,分別是棱的中點.(1) 求證:平面;(2) 若二面角為, 求證:平面平面; 求直線與平面所成角的正弦值.3.(2014浙江文20)如圖所示,在四棱錐中,平面平面;,.(1)求證:平面;

27、(2)求直線與平面所成的角的正切值. 4.(2014大綱文19)如圖所示,三棱柱中,點在平面ABC內的射影D在AC上,.(1)求證:;(2)設直線與平面的距離為,求二面角的大小.5. (2014新課標文18)如圖所示,四棱錐中,底面為矩形,平面,為的中點.(1)求證:平面; (2)設,三棱錐的體積,求到平面的距離.5.(2014湖南文18)如圖所示,已知二面角的大小為,菱形在面內,兩點在棱上,是的中點,面,垂足為. (1)求證:平面; (2)求異面直線與所成角的余弦值. 2015年1.(2015江蘇文22)如圖所示,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,(1)求平面與平面所成二面角的余弦值

28、;(2)點是線段上的動點,當直線與所成的角最小時,求線段的長1.解析 由平面,故,兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標系,則,(1)易知平面,故平面的一個法向量為又,設平面的一個法向量為,則,所以,取,則,故,因此,易知平面與平面所成二面角為銳二面角,故其余弦值為(2)因,設,所以,因此,設,所以,令,則,所以函數在上單調遞增,在上單調遞減,所以當時,有最大值,即有最大值,此時直線與所成的角最小,故評注 也可以假設點的坐標解決在求解的最大值時,也可以處理成:,設,則,所以,所以當,取最小值, 此時取最大值,此時直線與所成的角最小,即,解得,故2016年1.(2016全國乙文11)平面過正方

29、體的頂點,平面,平面,平面,則所成角的正弦值為( ).A. B. C. D.1.A 解析 解法一:將圖形延伸出去,構造一個正方體,如圖所示.通過尋找線線平行構造出平面,即平面,即研究與所成角的正弦值,易知,所以其正弦值為.故選A.解法二(原理同解法一):過平面外一點作平面,并使平面,不妨將點變換成,作使之滿足同等條件,在這樣的情況下容易得到,即為平面,如圖所示,即研究與所成角的正弦值,易知,所以其正弦值為.故選A.2.(2016浙江文14)如圖所示,已知平面四邊形,.沿直線將翻折成,直線與所成角的余弦的最大值是_.2. 解析 設直線與所成角為.設是中點由已知得,如圖所示,以為軸,為軸,過與平面

30、垂直的直線為軸,建立空間直角坐標系,有,.作于,翻折的過程中,始終與垂直,且的長度始終不變,則,因此可設,則,與平行的單位向量為.所以,所以時,取最大值.3.(2016上海文19)將邊長為的正方形(及其內部)繞旋轉一周形成圓柱,如圖所示,長為,長為,其中與在平面的同側.(1)求圓柱的體積與側面積;(2)求異面直線與所成的角的大小.3.解析 (1)由題意可知,圓柱的母線長,底面半徑.圓柱的體積,圓柱的側面積.(2)設過點的母線與下底面交于點,則,所以或其補角為與所成的角.由長為,可知,由長為,可知,所以異面直線與所成的角的大小為.4.(2016浙江文18)如圖所示,在三棱臺中,平面平面,.(1)

31、求證:平面;(2)求直線與平面所成角的余弦值.4.解析 (1)因為此幾何體三棱臺,延長可相交于一點,如圖所示.因為平面,平面為,且,所以,因此.又因為,可以求得,所以為等邊三角形,且為的中點,則.因為,所以平面.(2)因為平面,所以是直線與平面所成的角,因為點為的中點,所以.在中,得.所以直線與平面所成的角的余弦值為.5.(2016天津文17)如圖所示,四邊形是平行四邊形,平面平面,為的中點.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值.5.解析 (1)如圖所示,取的中點為,聯(lián)結,.在中,因為是的中點,所以且.又因為,所以且,即四邊形是平行四邊形,所以.又平面,平面

32、,所以平面(2)證明:在中,.由余弦定理可得,進而可得,即.又因為平面平面,平面,平面平面,所以平面.又因為平面,所以平面平面.(3)因為,所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點作于點,連接,如圖所示.又因為平面平面,由(2)知平面,所以直線與平面所成角即為.在中,.由余弦定理可得,所以.因此.在中,所以直線與平面所成角的正弦值為.2017年1.(2017天津文17)如圖所示,在四棱錐中,平面,.(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求證:平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)如圖所示,由已知,故或其補角即為異面直線與所成的角.因為平面,平面,所以.在中,由勾股定理,得

33、,故.所以異面直線與所成角的余弦值為.(2)證明:因為平面,直線平面,所以.又因為,所以.又,且,所以平面.(3)如圖所示,過點作的平行線交于點,聯(lián)結,則與平面所成的角等于與平面所成的角.因為PD平面,平面,所以PD,所以為在平面上的射影,所以為直線和平面所成的角.因為,所以四邊形是平行四邊形,所以.由,得.因為平面,平面,所以,又因為,所以.在中,由勾股定理得,所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.2.(2017浙江19)如圖所示,已知四棱錐,是以為斜邊的等腰直角三角形,為的中點.(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)如圖所示,設DE的中點為,聯(lián)結,.因為,分別為,的中點,所以,且.又因為,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以平面.(2)分別取,的中點為,.聯(lián)結交于點,聯(lián)結.因為,分別是,的中點,所以為的中點,在平行四邊形中,.由為等腰直角三角形,得.由,是的中點,所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以.又,所以平面,由,得平面,又平面,所以平面平面.過點作的垂線,垂足為,聯(lián)結.是在平面上的射影,所以是直線與平面所成的角.設.在中,由,由余弦定理得,又平面,平面,所以.在中,由,,為的中點,得.在中,所以,所以直線與平面所成角的正弦值是.歡迎訪問“高中試卷網”http:/sj.fjjy.org

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