同步優(yōu)化探究文數(shù)北師大版練習(xí)：第六章 第二節(jié)　基本不等式 Word版含解析

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1、課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．若對(duì)任意x>0，≤a恒成立，即a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥　　　　　　　　 B．a(chǎn)> C．a(chǎn)< D．a(chǎn)≤ 解析：因?yàn)閷?duì)任意x>0，≤a恒成立， 所以對(duì)x∈(0，＋∞)，a≥max， 而對(duì)x∈(0，＋∞)，＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立，∴a≥. 答案：A 2．(2018·廈門(mén)一中檢測(cè))設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)<b<<　 B．a(chǎn)<<<b C．a(chǎn)<<b< D.<a<<b 解析：因?yàn)?&

2、lt;a<b，所以a－＝(－)<0，故a<；b－＝>0，故b>；由基本不等式知>，綜上所述，a<<<b，故選B. 答案：B 3．(2018·山東名校調(diào)研)若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝2x時(shí)，“＝”成立，故4x＋3y的最小值為5. 答案：D 4．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　

3、　) A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋> C.＋≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab 解析：因?yàn)閍b>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 答案：C 5．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)x>0時(shí)，x2＋－x＝2≥0，∴l(xiāng)g≥lg x，故不成立；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)sin x<0時(shí)顯然不成立；對(duì)選項(xiàng)C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；對(duì)選項(xiàng)D，∵x2＋1≥1，∴

4、0<≤1，故不成立． 答案：C 6．若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0， ∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2. 法二：由題設(shè)易知a>0，b>0， ∴＝＋≥2，即ab≥2，選C. 答案：C 7．(2018·天津模擬)若log4(3a＋4 b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 解析：因?yàn)閘og4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且

5、即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，故選D. 答案：D 8．(2018·銀川一中檢測(cè))對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞) C． [－2,2] D．[0，＋∞) 解析：當(dāng)x＝0時(shí)，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此時(shí)a∈R，當(dāng)x≠0時(shí)，則有a≥＝－(|x|＋)，設(shè)f(x)＝－(|x|＋)，則a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝1時(shí)取等號(hào))，

6、則f(x)max＝－2，故a≥－2.故選B. 答案：B 9．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 解析：f(x)＝≤＝1.當(dāng)且僅當(dāng)x＝，x>0即x＝1時(shí)取等號(hào)．所以f(x)有最大值1. 答案：B 10．(2018·南昌調(diào)研)已知a，b∈R，且ab≠0，則下列結(jié)論恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2 B．a(chǎn)2＋b2>2ab C.＋≥2 D．|＋|≥2 解析：對(duì)于A，當(dāng)a，b為負(fù)數(shù)時(shí)，a＋b≥2不成立； 對(duì)于B，當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2>2ab不成立； 對(duì)于C，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，＋≥

7、2不成立； 對(duì)于D，因?yàn)椋?hào)，所以|＋|＝||＋||≥2 ＝2(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)取等號(hào))，即|＋|≥2恒成立． 答案：D 11．設(shè)f(x)＝ln x,0<a<b，若p＝f()，q＝f()，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．q＝r<p B．p＝r<q C．q＝r>p D．p＝r>q 解析：∵0<a<b，∴>，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f()<f()，即q>p，∴r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f()＝p，∴p＝r<q.故選

8、B. 答案：B 12．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝4，則＋的最小值為_(kāi)_________． 解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8， ∴＋ ＝[(a＋1)＋(b＋3)] ＝ ≥(2＋2)＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1時(shí)取等號(hào)， ∴＋的最小值為. 答案： 13．已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝__________. 解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即a＝4x2時(shí)取等號(hào)，則由題意知a＝4×32＝36. 答案：36 14．(2018·邯鄲質(zhì)檢)已知x，y∈(0，＋∞)，

9、2x－3＝()y，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析：2x－3＝()y＝2－y，∴x－3＝－y，∴x＋y＝3.又x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝2x時(shí)取等號(hào))． 答案：3 15．要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________(單位：元)． 解析：設(shè)底面的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x m，y m，總造價(jià)為T(mén)元，則V＝xy·1＝4?xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80

10、＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))． 故該容器的最低總造價(jià)是160元． 答案：160 B組——能力提升練 1．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x>，y>1，不等式＋≥m恒成立，則m的最大值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：依題意得，2x－1>0，y－1>0，＋＝＋≥＋≥4×2 ＝8，即＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，因此＋的最小值是8，m≤8，m的最大值是8，選C. 答案：C 2．若a，b，c∈ (0，＋∞)，且ab＋ac＋bc＋2＝6－a2，則2a＋b＋c的最小值為

11、(　　) A.－1 B.＋1 C．2＋2 D．2－2 解析：由題意，得a2＋ab＋ac＋bc＝6－2，所以24－8＝4(a2＋ab＋ac＋bc)≤4a2＋4ab＋b2＋c2＋4ac＋2bc＝(2a＋b＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立，所以2a＋b＋c≥2－2，所以2a＋b＋c的最小值為2－2，故選D. 答案：D 3．(2018·保定調(diào)研)設(shè)△ABC的內(nèi)角A， B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面積的最大值為9，則λ的值為(　　) A．8 B．12 C．16 D．21 解析：S△ABC＝absin C＝ab≤·()2＝λ2

12、＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”，解得λ＝12. 答案：B 4．已知x，y都是正數(shù)，且x＋y＝1，則＋的最小值為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：由題意知，x＋2>0，y＋1>0，(x＋2)＋(y＋1)＝4，則＋＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝， y＝時(shí)，＋取最小值. 答案：C 5.(－6≤a≤3)的最大值為(　　) A．9 B. C．3 D. 解析：因?yàn)椋?≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，則由基本不等式可知，≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－時(shí)等號(hào)成立． 答案：B 6．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acos(B－)＝b＋c，△A

13、BC的外接圓半徑為，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(　　) A．(3,9] B．(6,8] C．(6,9] D．(3,8] 解析：由2acos(B－)＝b＋c，得acos B＋asin B＝b＋c，由正弦定理得sin Asin B＋sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)，即sin Asin B＝sin B＋cos Asin B，又sin B≠0，∴sin A－cos A＝1，∴sin(A－)＝，由0<A<π得－<A－<，∴A－＝，∴A＝.又△ABC的外接圓半徑為，∴2＝?a＝2sin A＝3. b＋c＝2sin B＋2sin C＝2[sin B＋si

14、n(－B)]＝2(sin B＋cos B)＝6(sin B＋cos B)＝6sin(B＋)，由0<B<得，<B＋<，故3<6sin(B＋)≤6，∴6<a＋b＋c≤9. 答案：C 7．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：∵2x＋2y≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時(shí)等號(hào)成立)，∴≤，∴2x＋y≤，x＋y≤－2，故選D. 答案：D 8．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,4) B．(

15、－∞，－1)∪(4，＋∞) C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：∵不等式x＋<m2－3m有解，∴min<m2－3m，∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2，y＝8時(shí)取等號(hào)， ∴min＝4，∴m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：B 9．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 解析：＝＝≤＝1，當(dāng)且

16、僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1. 答案：B 10．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn，若a1＝d＝1，則的最小值是(　　) A. B. C．2＋ D．2－ 解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝， ∴＝ ＝ ≥ ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號(hào)． ∴的最小值是，故選A. 答案：A 11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin A－sin B＝，b＝，則△ABC的面積的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：根據(jù)正弦定理由sin A－s

17、in B＝可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)取等號(hào)，故ac的最大值為3，這時(shí)△ABC的面積取得最大值，為×3×sin ＝. 答案：A 12．(2018·寶雞模擬)某工廠需要建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離成正比，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬(wàn)元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為5萬(wàn)元，當(dāng)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為_(kāi)_______千米時(shí)，運(yùn)

18、費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為_(kāi)_______萬(wàn)元． 解析：設(shè)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為y1萬(wàn)元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為y2萬(wàn)元，則y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， ∵工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬(wàn)元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為5萬(wàn)元，∴k1＝5，k2＝20，∴運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和為萬(wàn)元， ∵5x＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝， 即x＝2時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小，為20萬(wàn)元． 答案：2　20 13．(2018·青島模擬)已知實(shí)數(shù)x，y均大于零，且x＋2y＝4，則log2x＋log2y的最大值為_(kāi)_________． 解析：因?yàn)閘og2x＋log2y＝log22xy－1≤l

19、og22－1＝2－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2，即x＝2，y＝1時(shí)等號(hào)成立，所以log2x＋log2y的最大值為1. 答案：1 14．在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)求三角形面積，若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其面積S＝，這里p＝(a＋b＋c)．已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，則其面積取最大值時(shí)，sin A＝________. 解析：已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，所以三角形的三邊長(zhǎng)為a＝6，c＝2b，p＝(6＋b＋2b)＝3＋，其面積 S＝ ＝ ＝ ＝ ＝≤×＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)b2－4＝36－b2，即b＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a＝6，b＝2，c＝4，三角形存在，cos A＝＝，所以sin A＝. 答案：