高三數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)夯基提能作業(yè)本：第九章 平面解析幾何 第七節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　拋物線 A組　基礎(chǔ)題組 1.拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A.(0,a) B.(a,0) C.0,116a D.116a,0 2.(20xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=(　　) A.12 B.1 C.32 D.2 3.(20xx山西高三考前質(zhì)檢)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2:x2=-2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),C1的焦點(diǎn)為F,若△FAB的面積等于1,則C1的方程是(　　) A.x2=2y B.x2=2y C.x2=y

2、D.x2=22y 4.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為-1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 5.已知P為拋物線y=12x2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)M,點(diǎn)A的坐標(biāo)為6,172,則|PM|+|PA|的最小值是(　　) A.8 B.192 C.10 D.212 6.(20xx陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=　　　　. 7.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上

3、,且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為12,則點(diǎn)P到x軸的距離為　　　　. 8.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬　　　　米. 9.如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l經(jīng)過點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn). (1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y=2上,求直線l的方程; (2)若線段|AB|=20,求直線l的方程. 10.(20xx陜西商洛月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(4,m)在拋物線上,且|AF|=5. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

4、; (2)是否存在直線l,使l過點(diǎn)(0,1),并與拋物線交于B,C兩點(diǎn),且滿足=0?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由. B組　提升題組 11.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若=4,則|QF|=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.72 B.3 C.52 D.2 12.過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F作直線AB,CD與拋物線交于A,B,C,D四點(diǎn),且AB⊥CD,則+的最大值等于(　　) A.-4 B.-16 C.4 D.-8 13.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,

5、直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為(　　) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=33(x-1)或y=-33(x-1) C.y=3(x-1)或y=-3(x-1) D.y=22(x-1)或y=-22(x-1) 14.(20xx天津,14,5分)設(shè)拋物線x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù),p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B.設(shè)C72p,0,AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為32,則p的值為　　　　. 15.(20xx廣東深圳一模)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且傾斜角為的直線與拋物

6、線交于A,B兩點(diǎn),若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(0,2),則p等于　　　　. 16.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)得k=12=2,故選D.

7、 3.A　由題意得F0,p2,不妨設(shè)Ap,-p2,B-p,-p2,∴S△FAB=122pp=1,則p=1,即拋物線C1的方程是x2=2y,故選A. 4.C　由題可知焦點(diǎn)為p2,0,∴直線AB的方程為y=-x-p2,與拋物線方程聯(lián)立得y=-x-p2,y2=2px消去y,得4x2-12px+p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p.∵線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,∴3p2=3,∴p=2,∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1. 5.B　依題意可知焦點(diǎn)為F0,12,準(zhǔn)線方程為y=-12,延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于點(diǎn)H(圖略). 則|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-12,|PM|+|

8、PA|=|PF|+|PA|-12. 因?yàn)閨PF|+|PA|≥|FA|, 又|FA|=62+172-122=10. 所以|PM|+|PA|≥10-12=192,故選B. 6.答案　22 解析　拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2(p>0),故直線x=-p2過雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)(-2,0),從而-p2=-2,解得p=22. 7.答案　2 解析　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP). 拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,根據(jù)已知條件及拋物線的定義,可知xPxP-(-1)=12?xP=1,∴yP2=4,∴|yP|=2. 則點(diǎn)P到x軸的距離為2. 8.答案　26

9、解析　建立坐標(biāo)系如圖所示. 則可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0). ∵點(diǎn)(2,-2)在拋物線上,∴p=1,即拋物線方程為x2=-2y. 當(dāng)y=-3時(shí),x=6. ∴水位下降1米后,水面寬26米. 9.解析　(1)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0). 因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y=2上,所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22. 由y12=4x1,y22=4x2,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 所以2y0k=4. 又y0=2,所以k=1, 故直

10、線l的方程是y=x-1. (2)設(shè)直線l的方程為x=my+1,與拋物線方程聯(lián)立得x=my+1,y2=4x,消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0. |AB|=m2+1|y1-y2| =m2+1(y1+y2)2-4y1y2 =m2+1 =4(m2+1). 所以4(m2+1)=20,解得m=2,所以直線l的方程是x=2y+1,即x2y-1=0. 10.解析　(1)∵點(diǎn)A(4,m)在拋物線上, 且|AF|=5, ∴4+p2=5,∴p=2, ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. (2)存在. 理由:由題意可設(shè)直線l的方程為

11、x=k(y-1)(k≠0), 代入拋物線方程,整理得y2-4ky+4k=0, 則Δ=16k2-16k>0?k<0或k>1, 設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2), 則y1+y2=4k,y1y2=4k, 由=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0, 則有(k2+1)4k-k24k+k2=0, 解得k=-4或k=0(舍去), ∴直線l存在,其方程為x+4y-4=0. B組　提升題組 11.B　∵=4,∴點(diǎn)Q在線段PF上,且在兩端點(diǎn)之間,過Q作QM⊥l,垂足為M,由拋物線定義知|QF|=|QM|,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N,則|F

12、N|=4,又易知△PQM∽△PFN,則|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=34.∴|QM|=3,即|QF|=3.故選B. 12.B　依題意可得,=-(||||). 因?yàn)閨|=yA+1,||=yB+1, 所以=-(yAyB+yA+yB+1). 設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k≠0), 聯(lián)立x2=4y,可得x2-4kx-4=0, 所以xA+xB=4k,xAxB=-4. 所以yAyB=1,yA+yB=4k2+2. 所以=-(4k2+4). 同理,=-4k2+4. 所以+=-4k2+4k2+8≤-16. 當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立. 13.C　由題意知直線l不

13、垂直于x軸. 當(dāng)直線l的傾斜角α<時(shí),如圖, 過A作AA1垂直準(zhǔn)線于A1,過B作BB1垂直準(zhǔn)線于B1.設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線x=-1交于點(diǎn)C.由拋物線的定義可設(shè)|BF|=|BB1|=t,則|AF|=|AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2,易知△AB2B∽△BB1C,∴|BC||AB|=|BB1||AB2|,則有|BC|4t=12,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直線l的傾斜角α=. 當(dāng)傾斜角α>時(shí),由對(duì)稱性可知α=23π. ∴直線l的傾斜角α=或23π. 又F(1,0),∴直線l的方程為y=3(x-1)或y=-3(x-1).故選C. 14.答案　6 解析　由已知得拋

14、物線的方程為y2=2px(p>0),則|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=32p,A(p,2p)(不妨設(shè)A在第一象限).易證△EFC∽△EAB,所以|EF||AE|=|FC||AB|=|FC||AF|=2,所以|AE||AF|=13,所以S△ACE=13S△AFC=1332p2p=22p2=32,所以p=6. 15.答案　45 解析　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則y12=2px1,y22=2px2, 兩式相減,整理得(y1+y2)y1-y2x1-x2=2p,即2y01=2p,所以y0=p, 又AB的方程為y=x-p2, 所以x0=32p,即M3

15、2p,p, 代入AB的中垂線y=-x+2,可得p=45. 16.解析　(1)直線AB的方程是y=22x-p2, 與y2=2px聯(lián)立,整理得4x2-5px+p2=0, 所以x1+x2=5p4. 由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=9, 所以p=4,從而拋物線的方程是y2=8x. (2)將p=4代入4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0, 從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42, 從而A(1,-22),B(4,42). 設(shè)=(x3,y3),則(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22),又y32=8x3,所以22(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.