高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國(guó)新課標(biāo)數(shù)學(xué) 文科高考備考方法策略:專題篇 7 當(dāng)方程不易求解時(shí)的三種策略 Word版含答案

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1、 當(dāng)方程不易求解時(shí)的三種策略 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具,其核心又是由導(dǎo)數(shù)值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,往往需要解方程.若該方程不易求解時(shí),如何繼續(xù)解題呢?本文將介紹三種策略解決這種問題.1 策略1猜猜出方程的根例1 求函數(shù)的最小值.解 可得.接下來(lái),須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,所以須解不等式及,因而須解方程.但此方程不易求解,所以我們可以先猜后解.易知是增函數(shù),所以方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解,且可觀察出此實(shí)數(shù)解就是ln2,所以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù),得.例2 設(shè).(1)若函數(shù)在上有極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 (1)(過程略)所求實(shí)數(shù)的

2、取值范圍是(0,1).(2)方程即.設(shè),可得所求實(shí)數(shù)的取值范圍即函數(shù)的值域.得.接下來(lái),須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,所以須解不等式及,因而須解方程.但此方程不易求解,所以我們可以先猜后解:可得,且,所以函數(shù)在上分別是增函數(shù)、減函數(shù),得.進(jìn)而可得函數(shù)的值域是,所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.2 策略2設(shè)設(shè)出方程的根例3 (高考新課標(biāo)全國(guó)卷文科第21題)設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若為整數(shù),且當(dāng)時(shí),求的最大值.解 (1).當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),所以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù).(2)可得題設(shè)即恒成立.令,得.由(1)的結(jié)論知,函數(shù)是增函數(shù).又,所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)(也可把該零點(diǎn)叫做函數(shù)的

3、隱零點(diǎn),這種設(shè)法類似于解析幾何中的“設(shè)而不求”的解法).當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以.又由,得,所以.由,得.所以所求的最大值是2.注 由此解法,還可求得:整數(shù)的取值范圍是不大于2的整數(shù),實(shí)數(shù)的取值范圍是,其中是方程的正數(shù)解.例4 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)求的取值范圍.解 (1)得,所以方程即.設(shè),得.進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再由此作出函數(shù)的圖象如圖1所示:圖1因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí),所以由圖1可得的取值范圍是.(2)由,得,所以由圖1可得的取值范圍是(0,1),進(jìn)而可得的取值范圍是(0,1).同理可得,由圖1可得的取值范圍是,進(jìn)而可得的取值范圍是.例5 (北京市朝陽(yáng)區(qū)高三文科二模第

4、20題)已知函數(shù),其中 (1)當(dāng)時(shí),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性; (2)當(dāng)時(shí),若不等式對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍 解 (1)因?yàn)?,所以所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù) (2)令,得.因?yàn)樵趨^(qū)間上,所以因?yàn)?,且函?shù)在上單調(diào)遞增,所以方程在上必有一根,記為.得因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.得又因?yàn)?,且,所以?所以依題意得,當(dāng)時(shí),恒成立.即時(shí),恒成立令,得 即解得或所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.3 策略3證證明方程無(wú)根例6 若存在使不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解 .題設(shè)即存在使不等式成立.設(shè),得題設(shè)即使不等式成立.設(shè),下面須求函數(shù)的最小值.得,須解方程,但此方程不易求

5、解.可大膽猜測(cè)方程無(wú)解(若方程無(wú)解,則的值恒正或恒負(fù)(否則由勘根定理知方程有解),得是增函數(shù)或減函數(shù),此時(shí)研究函數(shù)就很方便),證明如下:進(jìn)而可得,所以函數(shù)是增函數(shù),得其最小值為. 所以題設(shè)即,由此可得答案.例7 已知R,函數(shù).(1)求函數(shù)的極小值;(2)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)設(shè),若使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 (1)(過程略)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取極小值,且極小值是1.(2)(過程略)所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)題意即關(guān)于的不等式在上有解,也即關(guān)于的不等式有解.設(shè),下面須求函數(shù)的最小值.得,但不易求解方程.可大膽猜測(cè)方程無(wú)解,證明如下:由,可得,所以,得是減函數(shù),所以函數(shù)的值域是,進(jìn)而可得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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