高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第5章 數(shù)列 熱點探究課3 數(shù)列中的高考熱點問題學案 文 北師大版

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1、 熱點探究課(三)　數(shù)列中的高考熱點問題 (對應學生用書第76頁) [命題解讀]　數(shù)列在中學數(shù)學中既具有獨立性，又具有較強的綜合性，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的一個重要銜接點，從近五年全國卷高考試題來看，解答題第1題(全國卷T17)交替考查數(shù)列與解三角形，本專題的熱點題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項與求和；三是數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯，難度中等． 熱點1　等差、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩種數(shù)列的項之間的關系，并注重方程思想的應用，等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”． 　(20xx·

2、天津高考)已知{an}是等比數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項和． [解]　(1)設數(shù)列{an}的公比為q. 由已知，有－＝， 解得q＝2或q＝－1. 2分 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1， 所以a1·＝63，得a1＝1. 所以an＝2n－1. 5分 (2)由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1) ＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首

3、項為，公差為1的等差數(shù)列. 8分 設數(shù)列{(－1)nb}的前n項和為Tn，則 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝＝2n2. 10分 [規(guī)律方法]　1.若{an}是等差數(shù)列，則{ban}(b>0，且b≠1)是等比數(shù)列；若{an}是正項等比數(shù)列，則{logban}(b>0，且b≠1)是等差數(shù)列． 2．對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關系，以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉化． [對點訓練1]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S

4、1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設a1>0，λ＝100.當n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？ 【導學號：00090176】 [解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若a1＝0，則Sn＝0. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以an＝0(n≥1). 2分 若a1≠0，則a1＝. 當n≥2時，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1， 兩式相減得2an－2an－1＝an， 所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列， 所以an＝a1

5、3;2n－1＝·2n－1＝. 綜上，當a1＝0時，an＝0；當a1≠0時，an＝. 5分 (2)當a1>0，且λ＝100時，令bn＝lg， 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2. 7分 所以數(shù)列{bn}是單調遞減的等差數(shù)列，公差為－lg 2. b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0， 當n≥7時，bn≤b7＝lg＝lg<lg 1＝0. 故數(shù)列的前6項和最大. 12分 熱點2　數(shù)列的通項與求和(答題模板) “基本量法”是解決數(shù)列通項與求和的常用方法，同時應注意方程思想的應用． 　(本小題滿分12分)(2

6、0xx·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項公式； (2)求{bn}的前n項和. 【導學號：00090177】 [思路點撥]　(1)取n＝1，先求出a1，再求{an}的通項公式． (2)將an代入anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得出數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，再求{bn}的前n項和． [規(guī)范解答]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 3分 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1.5分 (2)由(1

7、)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 7分 因此{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列. 9分 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝－. 12分 [答題模板]　第一步：求出{an}的首項a1； 第二步：求出{an}的通項公式； 第三步：判定{bn}為等比數(shù)列； 第四步：求出{bn}的前n項和； 第五步：反思回顧，查看關鍵點，易錯點注意解題規(guī)范． [溫馨提示]　若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”，首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法．

8、 [對點訓練2]　數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*. (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)設bn＝3n·，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)證明：由已知可得＝＋1， 2分 即－＝1. 所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列. 5分 (2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n， 所以an＝n2. 7分 從而bn＝n·3n. Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， ① 3Sn＝1·32＋2·33＋…

9、＋(n－1)·3n＋n·3n＋1. ② ①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1 ＝－n·3n＋1＝. 所以Sn＝. 12分 熱點3　數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯 數(shù)列與函數(shù)的交匯一般體現(xiàn)在兩個方面：一是以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標的點在函數(shù)圖像上，可以得到數(shù)列的遞推關系；二是數(shù)列的項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質求解數(shù)列問題． 數(shù)列與不等式的交匯考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列中的一些不等關系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立問題；三是考查與數(shù)列有關的不等式的證明． 角度1　數(shù)列與函數(shù)的交匯

10、 　(20xx·佛山模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋2n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若點(bn，an)在函數(shù)y＝log2 x的圖像上，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n， 當n＝1時，a1＝S1＝4＝4×1， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n. 5分 (2)由點(bn，an)在函數(shù)y＝log2 x的圖像上得an＝log2bn，且an＝4n，所以bn＝2an＝24n＝16n， 8分 故數(shù)列{bn

11、}是以16為首項，公比為16的等比數(shù)列． Tn＝＝. 12分 [規(guī)律方法]　解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應關系進行靈活的處理． 角度2　數(shù)列與不等式的交匯 　(20xx·貴陽適應性考試(二))已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*)，且a3＋a7＝20，a2＋a5＝14. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：Sn<. 【導

12、學號：00090178】 [解]　(1)由2an＋1＝an＋2＋an得{an}為等差數(shù)列. 2分 設等差數(shù)列{an}的公差為d， 由a3＋a7＝20，a2＋a5＝14，解得d＝2，a1＝2， ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 5分 (2)證明：bn＝＝ ＝， 8分 Sn＝ ＝， 當n∈N*，Sn＝<. 12分 [規(guī)律方法]　解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等．總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了．