人教版 高中數(shù)學(xué)選修23 教學(xué)案1.1 第二課時(shí)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

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1、人教版高中數(shù)學(xué)精品資料第二課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用選(抽)取與分配問(wèn)題典例某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法？解由題意9人中既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的“多面手”有1人則可分三類(lèi)：第一類(lèi)：“多面手”去參加英語(yǔ)時(shí)，選出只會(huì)日語(yǔ)的一人即可，有2種選法第二類(lèi)：“多面手”去參加日語(yǔ)時(shí)，選出只會(huì)英語(yǔ)的一人即可，有6種選法第三類(lèi)：“多面手”既不參加英語(yǔ)又不參加日語(yǔ)，則需從只會(huì)日語(yǔ)和只會(huì)英語(yǔ)中各選一人，有2×612(種)方法故共有261220(種)選法選(抽)取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一

2、般選用枚舉法、樹(shù)形圖法、框圖法或者圖表法(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：直接使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類(lèi)進(jìn)行間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可活學(xué)活用1甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3,5,2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來(lái)自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有_種不同的推選方法解析：分為三類(lèi)：第一類(lèi)，甲班選一名，乙班選一名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有3×515種選法；第二類(lèi)，甲班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有3×26種選法；第三類(lèi)，乙班

3、選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有5×210種選法綜合以上三類(lèi)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有1561031種不同選法答案：312圖書(shū)館有8本不同的有關(guān)勵(lì)志教育的書(shū)，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人1本，有_種不同的分法解析：分三步進(jìn)行：第一步，先分給第一個(gè)同學(xué)，從8本書(shū)中選一本，共有8種方法；第二步，再分給第二個(gè)同學(xué)，從剩下的7本中任選1本，共有7種方法；第三步，分給第三個(gè)同學(xué)，從剩下的6本中任選1本，共有6種方法所以不同分法有8×7×6336種答案：336用計(jì)數(shù)原理解決組數(shù)問(wèn)題典例用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話(huà)號(hào)碼？(2)可以排

4、成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話(huà)號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×553125(種)(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5100(種)(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類(lèi)，一類(lèi)是末位數(shù)字是0，則有4×312(種)排法；一類(lèi)是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2&#

5、215;3×318(種)排法因而有121830(種)排法即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)組數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解決原則(1)常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”；在某一定范圍內(nèi)的數(shù)的問(wèn)題；各位數(shù)字和為某一定值問(wèn)題；各位數(shù)字之間滿(mǎn)足某種關(guān)系問(wèn)題等(2)解決原則明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類(lèi)”還是“分步”的關(guān)鍵一般按特殊位置(末位或首位)由誰(shuí)占領(lǐng)分類(lèi)，分類(lèi)中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類(lèi)較多，可采用間接法求解要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位活學(xué)活用1從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)

6、數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A24B18C12 D6解析：選B由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開(kāi)始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種因此總共有12618種情況故選B2如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿(mǎn)足a1<a2且a3<a2，則稱(chēng)這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,342,275等)，那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)是多少？解：分8類(lèi)，當(dāng)中間數(shù)為2時(shí)，百位只能選1，個(gè)位可選1、0

7、，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×22個(gè)；當(dāng)中間數(shù)為3時(shí)，百位可選1,2，個(gè)位可選0,1,2，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有2×36個(gè)；同理可得：當(dāng)中間數(shù)為4時(shí)，有3×412個(gè)；當(dāng)中間數(shù)為5時(shí)，有4×520個(gè)；當(dāng)中間數(shù)為6時(shí)，有5×630個(gè)；當(dāng)中間數(shù)為7時(shí)，有6×742個(gè)；當(dāng)中間數(shù)為8時(shí)，有7×856個(gè)；當(dāng)中間數(shù)為9時(shí)，有8×972個(gè)故共有26122030425672240個(gè)用計(jì)數(shù)原理解決涂色(種植)問(wèn)題典例如圖所示，要給“優(yōu)”、“化”、“指”、“導(dǎo)”四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須

8、涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解優(yōu)、化、指、導(dǎo)四個(gè)區(qū)域依次涂色，分四步第1步，涂“優(yōu)”區(qū)域，有3種選擇第2步，涂“化”區(qū)域，有2種選擇第3步，涂“指”區(qū)域，由于它與“優(yōu)”、“化”區(qū)域顏色不同，有1種選擇第4步，涂“導(dǎo)”區(qū)域，由于它與“化”“指”區(qū)域顏色不同，有1種選擇所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×16(種)求解涂色(種植)問(wèn)題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類(lèi)討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)對(duì)

9、于涂色問(wèn)題將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問(wèn)題活學(xué)活用有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗(yàn)田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？解：法一：第一步：種植A試驗(yàn)田有4種方法；第二步：種植B試驗(yàn)田有3種方法；第三步：若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田相同，則D試驗(yàn)田有3種方法，此時(shí)有1×33種種植方法若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田不同，則C試驗(yàn)田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2×24種種植方法由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，有347種方法第四步：由分步乘法計(jì)數(shù)原理有N4×3×784種不同的種植

10、方法法二：(1)若A，D種植同種作物，則A、D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×336種種植方法(2)若A，D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2×248種種植方法 綜上所述，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有N364884種種植方法層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A15B12C10 D5解析：選D分三類(lèi)，第一類(lèi)組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類(lèi)組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)

11、；第三類(lèi)組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè)2三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A4種 B5種C6種 D12種解析：選C若甲先傳給乙，則有甲乙甲乙甲，甲乙甲丙甲，甲乙丙乙甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有6種不同的傳法3若三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)分別為b，c，且滿(mǎn)足b4c，則這樣的三角形有()A10個(gè) B14個(gè)C15個(gè) D21個(gè)解析：選A當(dāng)b1時(shí)，c4；當(dāng)b2時(shí)，c4,5；當(dāng)b3時(shí)，c4,5,6；當(dāng)b4時(shí)，c4,5,6,7故共有10個(gè)這樣的三角

12、形選A4已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A18 B16C14 D10解析：選C分兩類(lèi)：一是以集合M中的元素為橫坐標(biāo)，以集合N中的元素為縱坐標(biāo)有3×26個(gè)不同的點(diǎn)，二是以集合N中的元素為橫坐標(biāo)，以集合M中的元素為縱坐標(biāo)有4×28個(gè)不同的點(diǎn)，故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有6814個(gè)不同的點(diǎn)5如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路，其中共有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通，現(xiàn)在電路不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有()A6種 B36種C63種 D64種解

13、析：選C每個(gè)焊接點(diǎn)都有正常與脫落兩種情況，只要有一個(gè)脫落電路即不通，共有26163種故選C6如圖所示為一電路圖，則從A到B共有_條不同的單支線路可通電解析：按上、中、下三條線路可分為三類(lèi)：從上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×24(條)根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有3148(條)答案：87將4種蔬菜種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊試驗(yàn)田種植一種蔬菜，相鄰試驗(yàn)田不能種植同一種蔬菜，不同的種法有_種(種植品種可以不全)解析：分五步，由左到右依次種植，種法分別為4,3,3,3,3由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×3×3×3×3324(種) 答案：32

14、48古人用天干、地支來(lái)表示年、月、日、時(shí)的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_組解析：分兩類(lèi)：第一類(lèi)，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×630組不同的結(jié)果；同理，第二類(lèi)也有30組不同的結(jié)果，共可得到303060組答案：609某高中畢業(yè)生填報(bào)志愿時(shí)，了解到甲、乙兩所大學(xué)有自己感興趣的專(zhuān)業(yè)，具體情況如下：甲大學(xué)乙大學(xué)專(zhuān)業(yè)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)工商管理學(xué)物理學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一所大學(xué)的一個(gè)專(zhuān)業(yè)，那么他的專(zhuān)業(yè)選擇共有

15、多少種？解：由圖表可知，分兩類(lèi)，第一類(lèi)：甲所大學(xué)有5個(gè)專(zhuān)業(yè)，共有5種專(zhuān)業(yè)選擇方法；第二類(lèi)：乙所大學(xué)有3個(gè)專(zhuān)業(yè)，共有3種專(zhuān)業(yè)選擇方法由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇有N538(種) 10若直線方程AxBy0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解：分兩類(lèi)完成第1類(lèi)，當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示的直線為x0或y0，共2條第2類(lèi)，當(dāng)A，B不為0時(shí)，直線AxBy0被確定需分兩步完成第1步，確定A的值，有4種不同的方法；第2步，確定B的值，有3種不同的方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共可確定4×312條直線由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知

16、，方程所表示的不同直線共有21214條層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1把10個(gè)蘋(píng)果分成三堆，要求每堆至少有1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分法共有()A4種B5種C6種 D7種解析：選A分類(lèi)考慮，若最少一堆是1個(gè)，由至多5個(gè)知另兩堆分別為4個(gè)、5個(gè)，只有一種分法；若最少一堆是2個(gè)，則由3544知有2種分法；若最少一堆是3個(gè)，則另兩堆為3個(gè)、4個(gè)共1種分法，故共有分法1214種2要把3張不同的電影票分給10個(gè)人，每人最多一張，則有不同的分法種數(shù)是()A2 160 B720C240 D120解析：選B可分三步：第一步，任取一張電影票分給一人，有10種不同分法；第二步，從剩下的兩張中任取一張，由于一人已得電影票，不能再

17、參與，故有9種不同分法第三步，前面兩人已得電影票，不再參與，因而剩余最后一張有8種不同分法所以不同的分法種數(shù)是10×9×8720(種) 3用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)有()A36個(gè) B18個(gè)C9個(gè) D6個(gè)解析：選B分三步完成，第一步，確定哪一個(gè)數(shù)字被使用2次，有3種方法；第二步，把這2個(gè)相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個(gè)位置上，有3種方法；第三步，將余下的2個(gè)數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個(gè)位置上，有2種方法故有3×3×218個(gè)不同的四位數(shù)4用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的

18、矩形涂色不同，則不同的涂色方法共有()A12種 B24種C48種 D72種解析：選D先涂C，有4種涂法，涂D有3種涂法，涂A有3種涂法，涂B有2種涂法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×3×272(種)涂法5從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成_個(gè)不同的對(duì)數(shù)值解析：要確定一個(gè)對(duì)數(shù)值，確定它的底數(shù)和真數(shù)即可，分兩步完成：第1步，從這8個(gè)數(shù)中任取1個(gè)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)，有8種不同取法；第2步，從剩下的7個(gè)數(shù)中任取1個(gè)作為對(duì)數(shù)的真數(shù)，有7種不同取法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成8×756個(gè)對(duì)數(shù)值在上述56個(gè)

19、對(duì)數(shù)值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，所以滿(mǎn)足條件的對(duì)數(shù)值共有56452個(gè)答案：526用6種不同的顏色給圖中的“笑臉”涂色，要求“眼睛”(如圖A，B所示區(qū)域)用相同顏色，則不同的涂色方法共有_種解析：第1步涂眼睛有6種涂法，第2步涂鼻子有6種涂法，第3步涂嘴有6種涂法，所以共有63216種涂法答案：2167用6種不同顏色為如圖所示的廣告牌著色，要求在A，B，C，D四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的著色方法？解：(1)法一：分類(lèi)：第一類(lèi)，A，D涂同色，有6×5×4120(種)涂法，第二

20、類(lèi)，A，D涂異色，有6×5×4×3360(種)涂法，共有120360480(種)涂法法二：分步：先涂B區(qū)，有6(種)涂法，再涂C區(qū)，有5(種)涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4(種)涂法，所以共有6×5×4×4480(種)涂法8用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字(可重復(fù))排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成一個(gè)數(shù)列an(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前11項(xiàng)；(2)這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？(3)若an341，求n解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133(2)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)就是用1,2,3,4排成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，每個(gè)位上都有4種排法，則共有4×4×464項(xiàng)(3)比an341小的數(shù)有兩類(lèi)：共有2×4×41×3×444項(xiàng)n44145(項(xiàng))