人教版 高中數(shù)學(xué) 選修23 學(xué)案1.2.2.2 組合的綜合應(yīng)用

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1、2019人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 第2課時(shí)　組合的綜合應(yīng)用 1．學(xué)會(huì)運(yùn)用組合的概念分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)) 2．能解決無(wú)限制條件的組合問(wèn)題． 3．掌握解決組合問(wèn)題的常見(jiàn)的方法．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　組合的實(shí)際應(yīng)用 閱讀教材P23例6～P25，完成下列問(wèn)題． 1．組合與排列的異同點(diǎn) 共同點(diǎn)：排列與組合都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素． 不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無(wú)關(guān)． 2．應(yīng)用組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟 (1)判斷：判斷實(shí)際問(wèn)題是否是組合問(wèn)題． (2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題． (3)計(jì)算：

2、利用組合數(shù)公式結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算． (4)結(jié)論：根據(jù)計(jì)算結(jié)果寫出方案?jìng)€(gè)數(shù)． 1．把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有________． 【解析】　把三張票分給10個(gè)人中的3人，不同分法有C＝＝120(種)． 【答案】　120 2．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2 門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有______種． 【解析】　甲選修2門，有C＝6(種)不同方案． 乙選修3門，有C＝4(種)不同選修方案． 丙選修3門，有C＝4(種)不同選修方案． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選修方案共有644＝96(種)． 【答案】　96 3．從0,1,

3、，， ，2這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)數(shù)字作為直線y＝xtan α＋b的傾斜角和截距，可組成______條平行于x軸的直線． 【解析】　要使得直線與x軸平行，則傾斜角為0，截距在0以外的五個(gè)數(shù)字均可．故有C＝5條滿足條件． 【答案】　5 4．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有________種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97270018】 【解析】　每個(gè)宿舍至少2名學(xué)生，故甲宿舍安排的人數(shù)可以為2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍隨之確定，所以有C＋C＋C＋C＝112種分配方案． 【答案】　112 [質(zhì)疑手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記

4、錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：　 解惑：　 疑問(wèn)2：　 解惑：　 疑問(wèn)3：　

5、 解惑： [小組合作型] 無(wú)限制條件的組合問(wèn)題 　在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)．在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必需參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加． 【精彩點(diǎn)撥】　本題屬于組合問(wèn)題中的最基本的問(wèn)題，可根據(jù)題意

6、分別對(duì)不同問(wèn)題中的“含”與“不含”作出正確分析和判斷，弄清每步從哪里選，選出多少等問(wèn)題． 【自主解答】　(1)從中任取5人是組合問(wèn)題，共有C＝792種不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必需參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，共有C＝36種不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C＝126種不同的選法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C＝3種選法；再?gòu)牧硗?人中選4人，有C種選法．共有CC＝378種不同的選法． 解答簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題的思考方法 1．弄清要做的這件事是什么事． 2．選出的元素是否

7、與順序有關(guān)，也就是看看是不是組合問(wèn)題． 3．結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結(jié)果． [再練一題] 1．現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名． (1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？ (2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？ 【解】　(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C＝＝45. (2)可把問(wèn)題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有C種方法；第2類，選出的2 名是女教師有C種方法，即C＋C＝21(種)． 有限制條件的組合問(wèn)題 　高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，

8、女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)． (1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？ 【精彩點(diǎn)撥】　可從整體上分析，進(jìn)行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決． 【自主解答】　(1)從余下的34名學(xué)生中選取2名， 有C＝561(種)． ∴不同的取法有561種． (2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有C種． 或者C－C＝C＝5 984種． ∴不同

9、的取法有5 984種． (3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有CC＝2 100種． ∴不同的取法有2 100種． (4)選取2名女生有CC種，選取3名女生有C種，共有選取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555種． ∴不同的取法有2 555種． (5)選取3名的總數(shù)有C，因此選取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090種． ∴不同的取法有6 090種． 常見(jiàn)的限制條件及解題方法 1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無(wú)特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)． 2．含有“至多”“至少”等限制語(yǔ)句：要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況

10、，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解． 3．分類討論思想：解題的過(guò)程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解． [再練一題] 2．“抗震救災(zāi)，眾志成城”，在我國(guó)“四川512”抗震救災(zāi)中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴賑災(zāi)前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問(wèn)： (1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ 【解】　(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再?gòu)某饪茖＜业?人中選取4人，有C種選法，所以共有CC＝90(種)抽調(diào)

11、方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法． 法一　(直接法) 按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家，共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有CC＋CC＋CC＝185(種)抽調(diào)方法． 法二　(間接法) 不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒(méi)有外科專家參加，有C種選法，所以共有：C－CC－C＝185(種)抽調(diào)方法． (3)“至多2名”包括“沒(méi)有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答． ①?zèng)]有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參

12、加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115(種)抽調(diào)方法. 組合在幾何中的應(yīng)用 　平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無(wú)任何3點(diǎn)共線．以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？ 【精彩點(diǎn)撥】　解答本題可以從共線的4個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，也可以從反面考慮，任意三點(diǎn)的取法種數(shù)減去共線三點(diǎn)的取法種數(shù)． 【自主解答】　法一：以從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類標(biāo)準(zhǔn)． 第1類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有CC＝48個(gè)不同的三角形； 第2類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有CC＝112個(gè)不同的

13、三角形； 第3類：共線的4個(gè)點(diǎn)中沒(méi)有點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有C＝56個(gè)不同的三角形． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有 48＋112＋56＝216(個(gè))． 法二(間接法)：從12個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)點(diǎn)，有C＝220種取法，而在共線的4個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有C＝4種． 故這12個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為C－C＝216個(gè)． 1．解決幾何圖形中的組合問(wèn)題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問(wèn)題的常規(guī)方法分析解決問(wèn)題，其次要注意從不同類型的幾何問(wèn)題中抽象出組合問(wèn)題，尋找一個(gè)組合的模型加以處理． 2．圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形

14、，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． [再練一題] 3．四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們與點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？ 【解】　如圖所示，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外每個(gè)面都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3C種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法有3C＋3＝33種． [探究共研型] 排列、組合的綜合應(yīng)用 探究1　從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相乘，有多少個(gè)不同的結(jié)果？完成的“這件事”指的是什么？ 【提示】　共有C＝＝6(個(gè)

15、)不同結(jié)果． 完成的“這件事”是指：從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相乘． 探究2　從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素相除，有多少不同結(jié)果？這是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題？完成的“這件事”指的是什么？ 【提示】　共有A－2＝10(個(gè))不同結(jié)果；這個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題；完成的“這件事”是指：從集合{1,2,3,4}中任取兩個(gè)不同元素并相除． 探究3　完成“從集合{0,1,2,3,4}中任取三個(gè)不同元素組成一個(gè)是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類，還是先分步？有多少個(gè)不同的結(jié)果？ 【提示】　由于0不能排在百位，而個(gè)位必須是偶數(shù).0是否排在個(gè)位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需

16、按0是否在個(gè)位分類進(jìn)行．第一類：0在個(gè)位，則百位與十位共A種排法；第二類：0不在個(gè)位且不在百位，則需先從2,4中任選一個(gè)排個(gè)位再?gòu)氖Ｏ路橇銛?shù)字中取一個(gè)排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個(gè)排十位，共CCC＝18(種)不同的結(jié)果，由分類加法原理，完成“這件事”共有A＋CCC＝30(種)不同的結(jié)果． 　有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)： (1)有女生但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表； (3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表； (4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表． 【精彩點(diǎn)撥

17、】　(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選取．(2)采用先選后排的方法．(3)先安排該男生，再選出其他人擔(dān)任4科課代表．(4)先安排語(yǔ)文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔(dān)任余下三科的課代表． 【自主解答】　(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC種，后排有A種， 共(CC＋CC)A＝5 400種． (2)除去該女生后，先選后排，有CA＝840種． (3)先選后排，但先安排該男生，有CCA＝3 360種． (4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共CCA＝360種． 解決排列、組合綜合問(wèn)題要

18、遵循兩個(gè)原則 1．按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步． 2．按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類．解決時(shí)通常從以下三個(gè)途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． [再練一題] 4．(1)某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案共有(　　) A．16種　　　 B．36種　　　C．42種　　　 D．60種 (2)某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求

19、甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為(　　) A．360 B．520 C．600 D．720 【解析】　(1)若選擇了兩個(gè)城市，則有CCA＝36種投資方案；若選擇了三個(gè)城市，則有CA＝24種投資方案，因此共有36＋24＝60種投資方案． (2)分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有CCA＝21024＝480種選法． 第二類，甲、乙都參加時(shí)，則有C(A－AA)＝10(24－12)＝120種選法． 所以共有480＋120＝600種選法． 【答案】　(1)D　(2)C [構(gòu)建體系] 1．樓道里有12盞燈

20、，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞不相鄰的燈，則關(guān)燈方案有(　　) A．72種　 　 B．84種　 　C．120種　 　 D．168種 【解析】　需關(guān)掉3盞不相鄰的燈，即將這3盞燈插入9盞亮著的燈的空中，所以關(guān)燈方案共有C＝120(種)．故選C. 【答案】　C 2．編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開(kāi)燈方案有(　　) A．60種 B．20種 C．10種 D．8種 【解析】　四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入三盞亮燈，即C＝10. 【答案】　C 3．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有

21、________種(用數(shù)字作答). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97270019】 【解析】　有CCA＝36種滿足題意的分配方案．其中C表示從3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學(xué)生去的方法數(shù)；C表示從4名大學(xué)生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；A表示將剩下的2名大學(xué)生分配到另2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù)． 【答案】　36 4．在直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個(gè)． 【解析】　在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為CC＝1515

22、＝225個(gè)． 【答案】　225 5．車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，問(wèn)有多少種選派方法． 【解】　法一：設(shè)A，B代表兩名老師傅． A，B都不在內(nèi)的選派方法有：CC＝5(種)； A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有： CCC＝10(種)； A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有： CCC＝30(種)； A，B都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有： CACC＝80(種)； A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有： CCC＝20(種)； A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有

23、： CCC＝40(種)． 所以共有CC＋CCC＋CCC＋CACC＋CCC＋CCC＝185(種)選派方法． 法二：5名鉗工有4名被選上的方法有： CC＝75(種)； 5名鉗工有3名被選上的方法有： CCC＝100(種)； 5名鉗工有2名被選上的方法有：CCC＝10(種)．所以一共有75＋100＋10＝185(種)選派方法． 我還有這些不足： (1)　 (2)　

24、 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．(2016中山高二檢測(cè))圓上有10個(gè)點(diǎn)，過(guò)每三個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為(　　) A．720　　　 B．360　　　C．240　　　 D．120 【解析】　確定三角形的個(gè)數(shù)為C＝120. 【答案】　D 2．

25、某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)廣告．要求最后必須播放奧運(yùn)廣告，且2個(gè)奧運(yùn)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有(　　) A．120種 B．48種 C．36種 D．18種 【解析】　最后必須播放奧運(yùn)廣告有C種，2個(gè)奧運(yùn)廣告不能連續(xù)播放，倒數(shù)第2個(gè)廣告有C種，故共有CCA＝36種不同的播放方式． 【答案】　C 3．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 【解析】　均為奇數(shù)時(shí)，有C＝5種；均為偶數(shù)時(shí)，有C＝1種；兩奇兩偶時(shí)，有CC＝60

26、種，共有66種． 【答案】　D 4．(2016青島高二檢測(cè))將標(biāo)號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為(　　) A．120 B．240 C．360 D．720 【解析】　先選出3個(gè)球有C＝120種方法，不妨設(shè)為1,2,3號(hào)球，則1,2,3號(hào)盒中能放的球?yàn)?,3,1或3,1,2兩種．這3個(gè)號(hào)碼放入標(biāo)號(hào)不一致的盒子中有2種不同的方法，故共有1202＝240種方法． 【答案】　B 5．從乒乓球運(yùn)動(dòng)員男5名、女6名中組織一場(chǎng)混合雙打比賽，不同的組合方法種數(shù)為(　　) A．C

27、C B．CA C．CACA D．AA 【解析】　分兩步進(jìn)行：第一步，選出兩名男選手，有C種方法；第二步，從6名女生中選出2名且與已選好的男生配對(duì)，有A種．故有CA種． 【答案】　B 二、填空題 6．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)需要從中選出6名成員組成考察團(tuán)外出參觀學(xué)習(xí)，如果按性別分層，并在各層按比例隨機(jī)抽樣，則此考察團(tuán)的組成方法種數(shù)是________． 【解析】　按性別分層，并在各層按比例隨機(jī)抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC＝2 100種抽法． 【答案】　2 100 7．某球隊(duì)有2名隊(duì)長(zhǎng)和10名隊(duì)員，現(xiàn)選派6人上場(chǎng)參加比

28、賽，如果場(chǎng)上最少有1名隊(duì)長(zhǎng)，那么共有________種不同的選法． 【解析】　若只有1名隊(duì)長(zhǎng)入選，則選法種數(shù)為CC；若兩名隊(duì)長(zhǎng)均入選，則選法種數(shù)為C，故不同選法有CC＋C＝714(種)． 【答案】　714 8．現(xiàn)有6張風(fēng)景區(qū)門票分配給6位游客，若其中A，B風(fēng)景區(qū)門票各2張，C，D風(fēng)景區(qū)門票各1張，則不同的分配方案共有________種． 【解析】　6位游客選2人去A風(fēng)景區(qū)，有C種，余下4位游客選2人去B風(fēng)景區(qū)，有C種，余下2人去C，D風(fēng)景區(qū)，有A種，所以分配方案共有CCA＝180(種)． 【答案】　180 三、解答題 9．α，β是兩個(gè)平行平面，在α內(nèi)取四個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)取五個(gè)點(diǎn)．

29、(1)這些點(diǎn)最多能確定幾條直線，幾個(gè)平面？ (2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)最多能作多少個(gè)三棱錐？ 【解】　(1)在9個(gè)點(diǎn)中，除了α內(nèi)的四點(diǎn)共面和β內(nèi)的五點(diǎn)共面外，其余任意四點(diǎn)不共面且任意三點(diǎn)不共線時(shí)，所確定直線才能達(dá)到最多，此時(shí)，最多能確定直線C＝36條．在此條件下，只有兩直線平行時(shí)，所確定的平面才最多．又因?yàn)槿齻€(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故最多可確定CC＋CC＋2＝72個(gè)平面． (2)同理，在9個(gè)點(diǎn)中，除了α內(nèi)的四點(diǎn)共面和β內(nèi)的五點(diǎn)共面外，其余任意四點(diǎn)不共面且任意三點(diǎn)不共線時(shí)，所作三棱錐才能達(dá)到最多．此時(shí)最多能作CC＋CC＋CC＝120個(gè)三棱錐． 10．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？

30、 (1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子； (2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球； (3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球． 【解】　(1)每個(gè)小球都有4種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有46＝4 096種不同放法． (2)分兩類：第1類，6個(gè)小球分3,1,1,1放入盒中；第2類，6個(gè)小球分2,2,1,1放入盒中，共有CCA＋CCA＝1 560(種)不同放法． (3)法一　按3,1,1,1放入有C種方法，按2,2,1,1，放入有C種方法，共有C＋C＝10(種)不同放法． 法二　(擋板法)在6個(gè)球之間的5個(gè)空中插入三個(gè)擋板，將6個(gè)球分成四

31、位，共有C＝10(種)不同放法． [能力提升] 1．(2015四川高考)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　) A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè) 【解析】　分兩類進(jìn)行分析：第一類是萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字分別為0,2；第二類是萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字分別為0,2,4.當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2A個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有CA個(gè)偶數(shù)．故符合條件的偶數(shù)共有2A＋CA＝120(個(gè))． 【答案】　B 2．如圖121，A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建

32、三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方案共有________種． 圖121 【解析】　四個(gè)小島中每?jī)蓫u建一座橋共建六座橋，其中建三座橋連接四個(gè)小島符合要求的建橋方案是只要三座橋不圍成封閉的三角形區(qū)域符合要求，如橋AC，BC，BD符合要求，而圍成封閉三角形不符合要求，如橋AC，CD，DA，不符合要求，故共有C－4＝16種不同的建橋方案． 【答案】　16 3．(2016孝感高級(jí)中學(xué)期中)正五邊形ABCDE中，若把頂點(diǎn)A，B，C，D，E染上紅、黃、綠、黑四種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不相同，則不同的染色方法共有________種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97270020】 【解析

33、】　若用三種顏色，有CA種染法，若用四種顏色，有5A種染法，則不同的染色方法有CA＋5A＝240(種)． 【答案】　240 4．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直至找出所有4件次品為止． (1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ 【解】　(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有A種不同測(cè)試方法，再?gòu)?件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試，有CA＝A種測(cè)法，再排余下4件的測(cè)試位置，有A種測(cè)法． 所以共有不同測(cè)試方法AAA＝103 680種． (2)第5次測(cè)試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同測(cè)試方法CCA＝576種.