人教版 高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理單元綜合檢測選修23

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1、人教版高中數(shù)學精品資料 高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理單元綜合檢測 新人教A版選修2-3 時間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1．(2014·新課標Ⅰ理，5)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為 A．　　　　　　　 B． C． D． [答案]　D [解析]　四位同學各自在周六、周日兩種選擇一天參加公益活動的情況有24＝16種方式，其中僅在周六(周日)參加的各有一種，故所求概率P＝1－＝. 2．已知C－C＝C(n

2、∈N*)，則n等于(　　) A．14　　 B．12　　 C．13　　 D．15 [答案]　A [解析]　因為C＋C＝C，所以C＝C. ∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故選A． 3．(2015·河南省高考適應性測試)3對夫婦去看電影，6個人坐成一排，若女性的鄰座只能是其丈夫或其他女性，則坐法的種數(shù)為(　　) A．54 B．60 C．66 D．72 [答案]　B [解析]　記3位女性為a、b、c，其丈夫依次為A、B、C，當3位女性都相鄰時可能情形有兩類：第一類男性在兩端(如BAabcC)，有2A種，第二類男性在一端(如XXAabc)，有2AA種，共有A(2A

3、＋2)＝36種，當僅有兩位女性相鄰時也有兩類，第一類這兩人在一端(如abBACc)，第二類這兩人兩端都有其他人(如AabBCc)，共有4A＝24種，故滿足題意的坐法共有36＋24＝60種． 4．(2013·晉中市祁縣二中高二期中)某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有(　　) A．8種 B．10種 C．12種 D．32種 [答案]　B [解析]　此人從A到B，路程最短的走法應走兩縱3橫，將縱用0表示，橫用1表示，則一種走法就是2個0和3個1的一個排列，只需從5個位置中選2個排0，其余位置排1即可，故共有C＝10種． (注：若排法為10011，

4、則走法如圖中箭頭所示) 5．(2015·廣東理，4)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A．　　　 B． C． D．1 [答案]　B [解析]　從袋中任取 2個球共有 C＝105種，其中恰好1個白球1個紅球共有CC＝50種，所以恰好1個白球1個紅球的概率為＝，故選B． 6．(2014·安徽理，8)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有(　　) A．24對 B．30對 C．48對 D．60對 [答案]　

5、C [解析]　解法1：先找出正方體一個面上的地角線與其余面對角線成60°角的對數(shù)，然后根據(jù)正方體六個面的特征計算總對數(shù)． 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8條，同理與BD成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的對角線與其相鄰4個面的對角線，共組成16對，又正方體共有6個面，所有共有16×6＝96對．因為每對都被計算了兩次(例如計算與AC成60°角時，有AD1，計算與AD1成60°角時有AC，故AD1與AC這一對被計算

6、了2次)，因此共有×96＝48對． 解法2：間接法．正方體的面對角線共有12條，從中任取2條有C種取法，其中相互平行的有6對，相互垂直的有12對，∴共有C－6－12＝48對． 7．(2015·湖南理，6)已知5的展開式中含x的項的系數(shù)為30，則a＝(　　) A． B．－ C．6 D．－6 [答案]　D [解析]　Tr＋1＝C(－1)rarx－r，令－r＝得r＝1，可得－5a＝30?a＝－6，故選D． 8．從0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為(　　) A．300 B．216 C．180

7、D．162 [答案]　C [解析]　本小題主要考查排列組合的基礎知識． 由題意知可分為兩類， (1)選“0”，共有CCCA＝108， (2)不選“0”，共有CA＝72， ∴由分類加法計數(shù)原理得72＋108＝180，故選C． 9.(2014·山東省膠東示范校檢測)已知某動點在平面直角坐標系第一象限的整點上運動(含x，y正半軸上的整點)，其運動規(guī)律為(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m＋1，n－1)．若該動點從原點出發(fā)，經(jīng)過6步運動到點(6,2)，則不同的運動軌跡有(　　) A．15種 B．14種 C．9種 D．103種 [答案]　C [解析]　由

8、運動規(guī)律可知，每一步的橫坐標都增加1，只需考慮縱坐標的變化，而縱坐標每一步增加1(或減少1)，經(jīng)過6步變化后，結果由0變到2，因此這6步中有2步是按照(m，n)→(m＋1，n－1)運動的，有4步是按照(m，n)→(m＋1，n＋1)運動的，因此，共有C＝15種，而此動點只能在第一象限的整點上運動(含x，y正半軸上的整點)，當?shù)谝徊?m，n)→(m＋1，n－1)時不符合要求，有C種；當?shù)谝徊?m，n)→(m＋1，n＋1)，但第二、三兩步為(m，n)→(m＋1，n－1)時也不符合要求，有1種，故要減去不符合條件的C＋1＝6種，故共有15－6＝9種． 10．(2015·河北唐山市一模)3展

9、開式中的常數(shù)項為(　　) A．－8 B．－12 C．－20 D．20 [答案]　C [解析]　∵3＝6，∴Tr＋1＝Cx6－r·r＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常數(shù)項為C(－1)3＝－20. 11．高三(三)班學生要安排畢業(yè)晚會的3個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，3個音樂節(jié)目恰有兩個節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是(　　) A．240 B．188 C．432 D．288 [答案]　D 1 2 3 4 5 [解析]　先從3個音樂節(jié)目中選取2個排好后作為一個節(jié)目有A種排法，這樣共有5

10、個節(jié)目，兩個音樂節(jié)目不連排，兩個舞蹈節(jié)目不連排，如圖，若曲藝節(jié)目排在5號(或1號)位置，則有4A·A＝16種排法；若曲藝節(jié)目排在2號(或4號)位置，也有4AA＝16種排法，若曲藝節(jié)目排在3號位置，有2×2AA＝16種排法，∴共有不同排法，A×(16×3)＝288種，故選D． 12.已知直線ax＋by－1＝0(a、b不全為0)與圓x2＋y2＝50有交點，且交點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線有(　　) A．66條 B．72條 C．74條 D．78條 [答案]　B [解析]　先考慮x≥0，y≥0時，圓上橫、縱坐標均為整數(shù)的點有(1,7)(

11、5,5)(7,1)，依圓的對稱性知，圓上共有3×4＝12個點的橫、縱坐標均為整數(shù)，經(jīng)過其中任意兩點的割線有C＝66(條)，過每一點的切線共有12條，又考慮到直線ax＋by－1＝0不經(jīng)過原點，而上述直線中經(jīng)過原點的有6條，所以滿足題意的直線共有66＋12－6＝72(條)． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上) 13．將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排1名學生，其中甲同學不能分配到A班，那么不同的分配方案有__________ ________. [答案]　24種 [解析]　將4名新來的同學分配到A、B、C三個班

12、級中，每個班級至少安排一名學生有CA種分配方案，其中甲同學分配到A班共有CA＋CA種方案．因此滿足條件的不同方案共有CA－CA－CA＝24(種)． 14．(2015·新課標Ⅱ理，15)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝__________ ________. [答案]　3 [分析]　考查二項式定理．解答本題應特別注意所求項是兩個多項式相乘得到的，其奇次冪項由a與(1＋x)4展開式的奇次冪項相乘和由x與(1＋x)4展開式的偶次冪項相乘得到． [解析]　由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的

13、奇數(shù)次冪項分別為4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系數(shù)之和為4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3. 15．(2015·廣西柳州市模擬)在(1－x)(1＋x)10的展開式中，含x5的項的系數(shù)為__________ ________. [答案]　42 [解析]　由二項式展開式的通項公式得(1－x)(1＋x)10中，含x5項為Cx5＋(－x)Cx4＝(C－C)x5＝42x5，故系數(shù)為42. 16．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務，不同的分配方案有__________ ________種．(用數(shù)字作答) [答案]　90種 [解

14、析]　本題考查了排列組合中的平均分組分配問題，先分組，再把三組分配乘以A得：·A＝90種． 三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}，試問： 從集合A和B中各取一個元素作為直角坐標系中點的坐標，共可得到多少個不同的點？ [解析]　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}． 從A中取一個數(shù)作為橫坐標，從B中取一個數(shù)作為縱坐標，有5×5＝25(個)，而8作為橫坐標的情況有5種，3作為縱坐標且

15、8不是橫坐標的情況有4種，故共有5×5＋5＋4＝34個不同的點． 18．(本題滿分12分)求證：對任何非負整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除． [證明]　當n＝0時，原式＝0，可被676整除． 當n＝1時，原式＝0，也可被676整除． 當n≥2時， 原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1 ＝(26n＋C·26n－1＋…＋C·262＋C·26＋1)－26n－1 ＝26n＋C26n－1＋…＋C·262. 每一項都含262這個因數(shù)，故可被262＝676整除． 綜上所述，對一切非負整數(shù)n,33n－26n－1可被67

16、6整除． 19．(本題滿分12分)(2015·青島市膠州高二期中)已知(1＋m)n(m是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為256，展開式中含x項的系數(shù)為112. (1)求m，n的值； (2)求展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和； (3)求(1＋m)n(1－x)的展開式中含x2項的系數(shù)． [解析]　(1)由題意可得2n＝256，解得n＝8. ∴通項Tr＋1＝Cmrx， ∴含x項的系數(shù)為Cm2＝112， 解得m＝2，或m＝－2(舍去)． 故m，n的值分別為2,8. (2)展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為C＋C＋C＋C＝28－1＝128. (3)(1＋2)8(1－x)＝(

17、1＋2)8－x(1＋2)8， 所以含x2的系數(shù)為C24－C22＝1008. 20．(本題滿分12分)某校高三年級有6個班級，現(xiàn)要從中選出10人組成高三女子籃球隊參加高中籃球比賽，且規(guī)定每班至少要選1人參加．這10個名額有多少不同的分配方法？ [解析]　解法一：除每班1個名額以外，其余4個名額也需要分配．這4個名額的分配方案可以分為以下幾類：(1)4個名額全部給某一個班級，有C種分法；(2)4個名額分給兩個班級，每班2個，有C種分法；(3)4個名額分給兩個班級，其中一個班級1個，一個班級3個．由于分給一班1個，二班3個和一班3個、二班1個是不同的分法，因此是排列問題，共有A種分法；(4)分

18、給三個班級，其中一個班級2個，其余兩個班級每班1個，共有C·C種分法；(5)分給四個班，每班1個，共有C種分法． 故共有N＝C＋C＋A＋C·C＋C＝126種分配方法． 解法二：該問題也可以從另外一個角度去考慮：因為是名額分配問題，名額之間無區(qū)別，所以可以把它們視作排成一排的10個相同的球，要把這10個球分開成6段(每段至少有一個球)．這樣，每一種分隔辦法，對應著一種名額的分配方法．這10個球之間(不含兩端)共有9個空位，現(xiàn)在要在這9個位子中放進5塊隔板，共有N＝C＝126種放法． 故共有126種分配方法． 21．(本題滿分12分)用0、1、2、3、4這五個數(shù)字，可以

19、組成多少個滿足下列條件的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)？ (1)被4整除； (2)比21034大的偶數(shù)； (3)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)． [解析]　(1)被4整除的數(shù)，其特征應是末兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可分為兩類：當末兩位數(shù)是20、40、04時，其排列數(shù)為3A＝18，當末兩位數(shù)是12、24、32時，其排列數(shù)為3A·A＝12.故滿足條件的五位數(shù)共有18＋12＝30(個)． (2)①當末位數(shù)字是0時，首位數(shù)字可以為2或3或4，滿足條件的數(shù)共有3×A＝18個． ②當末位數(shù)字是2時，首位數(shù)字可以為3或4，滿足條件的數(shù)共有2×A＝12個． ③當末位數(shù)字是4時，首位數(shù)

20、字是3的有A＝6個，首位數(shù)字是2時，有3個，共有9個． 綜上知，比21034大的偶數(shù)共有18＋12＋9＝39個． (3)方法一：可分為兩類： 末位數(shù)是0，有A·A＝4(個)； 末位數(shù)是2或4，有A·A＝4(個)； 故共有A·A＋A·A＝8(個)． 方法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有A個；首位從2,4中取，有A個；余下的排在剩下的兩位，有A個，故共有AAA＝8(個)． 22．(本題滿分14分)已知n(n∈N*)的展開式的各項系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項，求n的展開式中a－1項的二項式系數(shù)． [解析]　對于5：Tr＋1＝C(4)5－rr＝C·(－1)r·45－r·5－b. 若Tr＋1為常數(shù)項，則10－5r＝0，所以r＝2，此時得常數(shù)項為T3＝C·(－1)2·43·5－1＝27. 令a＝1，得n展開式的各項系數(shù)之和為2n.由題意知2n＝27，所以n＝7.對于7：Tr＋1＝C7－r·(－)r＝C·(－1)r·37－ra. 若Tr＋1為a－1項，則＝－1，所以r＝3. 所以n的展開式中a－1項的二項式系數(shù)為C＝35.