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1、
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高考大題專攻練
10.解析幾何(B組)
大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)！
1.已知橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，其右焦點(diǎn)為F(1，0).
(1)求橢圓E的方程.
(2)若P，Q，M，N四點(diǎn)都在橢圓E上，已知與共線，與共線，且·=0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.
【解析】(1)由橢圓的離心率公式可知：e==，由c=1，則a=，b2=a2-c2=1，
故橢圓方程為+y2=1.
2、(2)由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(1，0)，
且PQ⊥MN，設(shè)直線PQ的斜率為k(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則PQ的方程為y=k(x-1)，
聯(lián)立整理得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，
x1+x2=，x1x2=，
則|PQ|=·，
于是|PQ|=，
同理：|MN|==.
則S=|PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2，
S=|PQ||MN|==2，
當(dāng)k=±1時(shí)，t=2，S=，且S是以t為自變量的增函數(shù)，
當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形PMQN的面積取最小值.
當(dāng)直線PQ的斜率為0或不存在時(shí)，
3、四邊形PMQN的面積為2.
綜上：四邊形PMQN的面積的最小值和最大值分別為和2.
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Ω：+=1(a>b>0)的離心率為，直線l：y=2上的點(diǎn)和橢圓Ω上的點(diǎn)的距離的最小值為1. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號92494446
(1)求橢圓Ω的方程.
(2)已知橢圓Ω的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是Ω上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，F(xiàn).記直線AC與AB的斜率分別為k1，k2.
①求證：k1·k2為定值；
②求△CEF的面積的最小值.
【解題導(dǎo)引】(1)由題知b=1，由=，b=1聯(lián)立求解即可得出.
4、
(2)①方法一：直線AC的方程為y=k1x+1，與橢圓方程聯(lián)立可得坐標(biāo)，即可得出.
方法二：設(shè)B(x0，y0)(y0>0)，則+=1，因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，則C(-x0，-y0)，利用斜率計(jì)算公式即可得出.
②直線AC的方程為y=k1x+1，直線AB的方程為y=k2x+1，不妨設(shè)k1>0，則k2<0，令y=2，得E，F(xiàn)，可得△CEF的面積S△CEF=|EF|(2-yc).
【解析】(1)由題意知b=1，由=，
所以a2=2，b2=1.
故橢圓的方程為+y2=1.
(2)①方法一：直線AC的方程為y=k1x+1，
由得(1+2)x2+4k1x=0，
解得x
5、C=-，同理xB=-，
因?yàn)锽，O，C三點(diǎn)共線，則由xC+xB=--=0，
整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0，所以k1k2=-.
方法二：設(shè)B(x0，y0)(y0>0)，則+=1，因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，則C(-x0，-y0)，所以k1k2=·===-.
②直線AC的方程為y=k1x+1，直線AB的方程為y=k2x+1，不妨設(shè)k1>0，則k2<0，
令y=2，得E，F(xiàn)，
而yC=k1xC+1=-+1=，
所以，△CEF的面積S△CEF=|EF|(2-yc)=
=··.
由k1k2=-，得k2=-，
則S△CEF=&
6、#183;=3k1+≥，當(dāng)且僅當(dāng)k1=時(shí)取得等號，
所以△CEF的面積的最小值為.
【加固訓(xùn)練】(20xx·廣元一模)已知點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點(diǎn)F(-1，0)的距離為d2，且=.直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B(A，B都在x軸上方)，且∠OFA+∠OFB=180°.
(1)求橢圓C的方程.
(2)當(dāng)A為橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l方程.
(3)對于動直線l，是否存在一個定點(diǎn)，無論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【解題導(dǎo)引】(1)設(shè)P(x，y)，得==，由此
7、能求出橢圓C的方程.
(2)由已知條件得kBF=-1，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直線l方程.
(3)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1在直線AF上.設(shè)直線AF的方程為y=k(x+1)，代入+y2=1，得：
x2+2k2x+k2-1=0，由此能證明直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M(-1，0).
【解析】(1)設(shè)P(x，y)，則d1=|x+2|，d2=，
==，
化簡得+y2=1，
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)因?yàn)锳(0，1)，F(xiàn)(-1，0)，
所以kAF==1，∠OFA+∠OFB=180°，
所以kBF=-1，直線BF的方程為
8、y=-(x+1)=-x-1，
代入+y2=1，得：3x2+4x=0，
所以x=0或x=-，代入y=-x-1得，
(舍)或
所以B.
kAB==，
所以AB的方程為y=x+1.
(3)由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1在直線AF上.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，-y2).
設(shè)直線AF的方程為y=k(x+1)，代入+y2=1，
得：x2+2k2x+k2-1=0，
x1+x2=-，x1x2=，
kAB=，所以AB的方程為y-y1=(x-x1)，
令y=0，得：x=x1-y1=，
y1=k(x1+1)，y2=k(x2+1)，
x==
=
==-1.
所以直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M(-1，0).
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