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1、
跟蹤強(qiáng)化訓(xùn)練(十八)
一、選擇題
1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝( )
A. B. C. D.
[解析] 解法一：令n＝2,3,4,5，分別求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝，故選A.
解法二：當(dāng)n≥2時(shí)，a1·a2·a3·…·an＝n2.當(dāng)n≥3時(shí)，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.
兩式相除得an＝2，∴a3＝，a5
2、＝，∴a3＋a5＝，故選A.
[答案] A
2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝( )
A．n B.n－1
C．n2 D．2n－1
[解析] 由an＝n(an＋1－an)，得＝，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n，故選A.
[答案] A
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a1·a2·a3·…·a20xx＝( )
A．－6 B．6 C．－2 D．2
[解析] ∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理，a3＝－，a4＝，a5＝
3、2，…，∴an＋4＝an，a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a20xx＝(a1a2a3a4)504×a1＝1×2＝2.故選D.
[答案] D
4．(20xx·衡水中學(xué)二調(diào))已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，數(shù)列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為2的等差數(shù)列，則S25＝( )
A．232 B．233 C．234 D．235
[解析] ∵數(shù)列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為2的等差數(shù)列，∴an＋3－an＝(an＋1＋an＋2＋an＋3)－(an＋an＋1＋an＋2)
4、＝2，∴a1，a4，a7，…是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，a2，a5，a8，…是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，a3，a6，a9，…是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，∴S25＝(a1＋a4＋a7＋…＋a25)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a23)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a24)＝9×1＋＋8×2＋＋8×3＋＝233，故選B.
[答案] B
5．(20xx·鄭州模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是( )
A．若a3>0，則a20xx<0
B．若a4>0，則a20xx<0
C．若a3>0，則S2
5、0xx>0
D．若a4>0，則S20xx>0
[解析] 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得a20xx＝a1·q20xx＝a3q20xx，a20xx＝a1q20xx＝a4q20xx，易知A，B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閍3＝a1q2>0，所以a1>0，當(dāng)q>0時(shí)，任意an>0，故有S20xx>0；當(dāng)q<0時(shí)，仍然有S20xx＝>0，C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，可列舉公比q＝－1的等比數(shù)列－1，1，－1,1，…，顯然滿足a4>0，但S20xx＝0，故D錯(cuò)誤．故選C.
[答案] C
6．(20xx·山西大同模擬)已知數(shù)列{an}
6、的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S60＝( )
A．－30 B．－60 C．90 D．120
[解析] 由題意可得，當(dāng)n＝4k－3(k∈N*)時(shí)，an＝a4k－3＝1；當(dāng)n＝4k－2(k∈N*)時(shí)，an＝a4k－2＝6－8k；當(dāng)n＝4k－1(k∈N*)時(shí)，an＝a4k－1＝1；當(dāng)n＝4k(k∈N*)時(shí)，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，
∴S60＝8×15＝120.
[答案] D
二、填空題
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1(
7、n∈N*)，則an＝________.
[解析] 由已知可得Sn＋1＝2n＋1，則Sn＝2n＋1－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，因?yàn)閚＝1時(shí)不滿足an＝2n，故an＝
[答案]
8．(20xx·河南新鄉(xiāng)三模)若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝________.
[解析] ∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，
∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，
∵a1＝1，∴an
8、＝.
[答案]
9．(20xx·安徽省淮北一中高三最后一卷改編)若數(shù)列{an}滿足－＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且b1＋b2＋…＋b20xx＝20xx0，則b2b20xx的最大值是________．
[解析] 因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以bn＋1－bn＝d，
即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，
所以b1＋b2＋…＋b20xx＝＝＝20xx0，
所以b2＋b20xx＝20.
又>0，所以b2>0，b20xx>0，
所以b2＋b20xx＝20≥2，
即b2b20xx≤100(當(dāng)且僅當(dāng)b2＝b20xx
9、時(shí)等號(hào)成立)，因此b2b20xx的最大值為100.
[答案] 100
三、解答題
10．(20xx·鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)由已知條件得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴Sn＝2n2－n.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，而4×1－3＝1，∴an＝4n－3.
(2)由(1)可得bn＝(－1
10、)nan＝(－1)n(4n－3)，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4×＝2n，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n＋1為偶數(shù)，
Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1.
綜上，Tn＝
11．(20xx·北京海淀模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2an－a1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－a1，
∴an＝2an－2an－1，化為an＝2an－1
11、.
由a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列得，2(a2＋1)＝a1＋a3，
∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2.
∴an＝2n.
(2)∵an＋1＝2n＋1，∴Sn＝＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.
∴bn＝＝＝.
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
Tn＝
＝.
12.(20xx·山東卷)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n
12、＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn.
[解] (1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q，由已知知q>0.
由題意得
所以3q2－5q－2＝0.
因?yàn)閝>0，所以q＝2，x1＝1.
因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1.
(2)過(guò)P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，
由題意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①
2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
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