文科數(shù)學 北師大版練習：第二章 第四節(jié)　二次函數(shù)的再研究與冪函數(shù) Word版含解析

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1、 課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖像過點，則k＋α＝(　　) A.　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：由冪函數(shù)的定義知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，從而k＋α＝. 答案：C 2．已知冪函數(shù)f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的圖像關于y軸對稱，則下列選項正確的是(　　) A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1) C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1) 解析：由于冪函數(shù)f(x)＝xn的圖像關于y軸對稱，可知f(x)＝xn為偶函數(shù)，所以n＝－2，即f(x)＝x

2、－2，則有f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(－1)，故選B. 答案：B 3．若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的圖像不過原點，則m的取值是(　　) A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 解析：由冪函數(shù)性質(zhì)可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又冪函數(shù)圖像不過原點，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1. 答案：B 4．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，則它的圖像是(　　) 解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0， ∴y＝

3、ax2＋bx＋c的開口向上，且與y軸的交點(0，c)在負半軸上．選D. 答案：D 5．設函數(shù)f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，則f(m－1)的值為(　　) A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．正數(shù)、負數(shù)和零都有可能 解析：函數(shù)f(x)＝x2－x＋a圖像的對稱軸為直線x＝，圖像開口向上，且f(0)＝f(1)＝a＞0.所以當f(m)＜0時，必有0＜m＜1，而－1＜m－1＜0，所以f(m－1)＞0. 答案：A 6．已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則下列成立的是(　　) A．f(m)＜f(0) B．f(m)＝f(0) C．

4、f(m)＞f(0) D．f(m)與f(0)大小不確定 解析：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.當m＝3時，函數(shù)f(x)＝x－1，定義域不是[－6,6]，不合題意；當m＝－1時，函數(shù)f(x)＝x3在定義域[－2,2]上單調(diào)遞增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)． 答案：A 7．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4在區(qū)間[0，m](m＞0)上的最大值為4，最小值為3，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[1,2] B．(0,1] C．(0,2] D．[1，＋∞) 解析：作出函數(shù)的圖像如圖所示，從圖中可以看出當1≤m≤2時，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4

5、在區(qū)間[0，m](m＞0)上的最大值為4，最小值為3.故選A. 答案：A 8．在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的圖像可能是(　　) 解析：因為a>0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故A錯．在B中，由f(x)的圖像知a>1，由g(x)的圖像知0<a<1，矛盾，故B錯．在C中，由f(x)的圖像知0<a<1，由g(x)的圖像知a>1，矛盾，故C錯．在D中，由f(x)的圖像知0<a<1，由g(x)的圖像知0<a<1，相符，故選D. 答案：D 9．若函數(shù)f(x)＝

6、x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實數(shù)a等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：∵函數(shù)f(x)＝x2－ax－a的圖像為開口向上的拋物線， ∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得． ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a， ∴或解得a＝1. 答案：B 10．已知g(x)是R上的奇函數(shù)，當x<0時，g(x)＝－ln(1－x)，函數(shù)f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1) 解析：設x>0，則－x<0，所以

7、g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝并且函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以當f(2－x2)>f(x)時，滿足2－x2>x，解得－2<x<1，故選D. 答案：D 11．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　) A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 解析：由已知得 解得 ∴p＝－0.2

8、t2＋1.5t－2＝－2＋，∴當t＝＝3.75時p最大，即最佳加工時間為3.75分鐘．故選B. 答案：B 12．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＋3f(－x)＝0，當x∈[0,2]時，f(x)＝x2－2x，則當x∈[－4，－2]時，f(x)的最小值為(　　) A．－1 B．－ C．－ D. 解析：設x∈[－4，－2]，則x＋4∈[0,2]．∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴由f(x＋2)＋3f(－x)＝0，可得f(x＋2)＝－3f(－x)＝3f(x)，∴f(x＋4)＝3f(x＋2)，故有f(x)＝f(x＋2)＝.故f(x)＝f(x＋4)＝[(x＋4)2－2(x＋4)]＝(x

9、2＋6x＋8)＝.∴當x＝－3時，函數(shù)f(x)取得最小值為－.故選C. 答案：C 13．設函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤4成立的x的取值范圍是________． 解析： f(x)的圖像如圖所示， 要使f(x)≤4只需x≤4，∴x≤64. 答案：(－∞，64] 14．已知函數(shù)f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析： 如圖，畫出f(x)的圖像，由圖像易得f(x)在R上單調(diào)遞減，∵f(3－a2)<f(2a)，∴3－a2>2a，解得－3<a<1. 答案：(－3,1) 15．已知函數(shù)f(x)＝x

10、2－(a－1)x＋5在區(qū)間上為增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是__________． 解析：函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間上為增函數(shù)，由于其圖像(拋物線)開口向上，所以其對稱軸x＝或與直線x＝重合或位于直線x＝的左側(cè)，即應有≤，解得a≤2，∴f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7. 答案：[7，＋∞) 16．若x＞1，xa－1＜1，則a的取值范圍是________． 解析：因為x＞1，xa－1＜1，所以a－1＜0，解得a＜1. 答案：a＜1 B組——能力提升練 1．(20xx·福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x2－πx，α，β，γ∈(0

11、，π)，且sin α＝，tan β＝，cos γ＝－，則(　　) A．f(α)＞f(β)＞f(γ) B．f(α)＞f(γ)＞f(β) C．f(β)＞f(α)＞f(γ) D．f(β)＞f(γ)＞f(α) 解析：因為sin α＝，tan β＝，cos γ＝－，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜或 ＜α＜π，＜β＜，＜γ＜，因為函數(shù)f(x)＝x2－πx的圖像的對稱軸為x＝，其圖像如圖所示，由圖易知，f(α)＞f(β)＞f(γ)，故選A. 答案：A 2．(20xx·衡陽模擬)已知a為正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a，且對任意的x∈[0，a]，都有f(x)∈[－a，a

12、]，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(1,2) B．[1,2] C．(0，＋∞) D．(0,2] 解析：當0<a<1時，f(0)＝a，f(a)≥－a，即a2－2a＋a≥－a，因此0<a<1；當a≥1時，f(0)＝a，f(1)≥－a，f(a)≤a，即1－2＋a≥－a，a2－2a＋a≤a，因此1≤a≤2.綜上，實數(shù)a的取值范圍為0<a≤2.故選D. 答案：D 3．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·x4m9－m5－1是冪函數(shù)，對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，則f(a)＋f(b)的值(

13、　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷 解析：∵f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當m＝2時，指數(shù)4×29－25－1＝2 015＞0，滿足題意． 當m＝－1時，指數(shù)4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不滿足題意， ∴f(x)＝x2 015. ∴冪函數(shù)f(x)＝x2 015是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)． 又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b， 又ab＜0，不妨設b＜0， 則a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0， 又f(－b)＝－f(b)， ∴

14、f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故選A. 答案：A 4．已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1,3) B．[－3，－1] C．[－3,3) D．[－1,1) 解析：因為f(x)＝ 所以g(x)＝ 又g(x)有三個不同的零點，則方程3－x＝0，x>a有一個解，解得x＝3，所以a<3，方程x2＋4x＋3＝0，x≤a有兩個不同的解，解得x＝－1或x＝－3，又因為x≤a，所以a≥－1.故a的取值范圍為[－1,3)． 答案：A 5．冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6

15、m＋8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 解析：由題意知解得m＝1.故選B. 答案：B 6．下列選項正確的是(　　) A．0.20.2>0.30.2 B．2－<3－ C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3>0.93.1 解析：A中，∵函數(shù)y＝x0.2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B中，∵函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴2－>3－； C中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2，

16、 ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2； D中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故選D. 答案：D 7．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋c，f′(0)<0，且f(x)∈[0，＋∞)，則的最大值為(　　) A．－3 B．－2 C．－ D．－ 解析：由題意得f′(x)＝2ax－b，因為f′(0)<0，所以b>0.由f(x)∈[0，＋∞)得，即，所以c>0，>0，＝－，因為2＝≥≥1，所以≥1，當且僅當a＝c＝時，等號成立，所以＝－≤－2. 答案：

17、B 8．設函數(shù)f(x)＝(a，b，c∈R)的定義域和值域分別為A，B，若集合{(x，y)|x∈A，y∈B}對應的平面區(qū)域是正方形區(qū)域，則實數(shù)a，b，c滿足(　　) A．|a|＝4 B．a(chǎn)＝－4且b2＋16c＞0 C．a(chǎn)＜0且b2＋4ac≤0 D．以上說法都不對 解析：由題意可知a＜0，且ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＞0.設y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于兩點(x1,0)，(x2,0)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝，f(x)的定義域為[x1，x2]， ∴|x1－x2|＝＝＝. 由題意可知 ＝，解得a＝－4. ∴實數(shù)a，b，c滿足a＝－4，b2

18、＋16c＞0，故選B. 答案：B 9．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 解析：函數(shù)f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1圖像的對稱軸為x＝a，且開口向下，分三種情況討論如下： ①當a≤0時，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②當0<a≤1時，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增函數(shù)，在(a,1]上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2

19、a2＋1－a＝a2－a＋1，由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝，∵0<a≤1，∴兩個值都不滿足，舍去． ③當a>1時，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，∴f (x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2. 答案：D 10．對二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a為非零整數(shù))，四位同學分別給出下列結論，其中有且只有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是(　　) A．－1是f(x)的零點 B．1是f(x)的極值點 C．3是f(x)的極值 D．點 (2,8)在曲線y＝f (x)上 解析：由已知得，f′(x

20、)＝2ax＋b，則f(x)只有一個極值點，若A、B正確，則有解得b＝－2a，c＝－3a，則f(x)＝ax2－2ax－3a. 由于a為非零整數(shù)，所以f(1)＝－4a≠3，則C錯． 而f(2)＝－3a≠8，則D也錯，與題意不符，故A、B中有一個錯誤，C、D都正確． 若A、C、D正確，則有 由①②得 代入③中并整理得9a2－4a＋＝0， 又a為非零整數(shù)，則9a2－4a為整數(shù)，故方程9a2－4a＋＝0無整數(shù)解，故A錯． 若B、C、D正確，則有 解得a＝5，b＝－10，c＝8，則f(x)＝5x2－10x＋8， 此時f(－1)＝23≠0，符合題意．故選A. 答案：A 11．已知函數(shù)f

21、(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f(x)＝(x－a)2＋5－a2，根據(jù)f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)知，a≥2，則f(1)≥f(a＋1)， 從而|f(x1)－f(x2)|max＝f(1)－f(a)＝a2－2a＋1， 由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3， 又a≥2，所以2≤a≤3. 答案：[2,3] 12．若方程x2＋ax＋2b＝0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)內(nèi)，則的取值范圍是__________． 解析：令f(x)＝x

22、2＋ax＋2b，∵方程x2＋ax＋2b＝0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)內(nèi)， ∴∴根據(jù)約束條件作出可行域(圖略)，可知<<1. 答案： 13．在平面直角坐標系xOy中，設定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x＞0)圖像上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________． 解析：設P，x＞0， 則|PA|2＝(x－a)2＋2＝x2＋－2a＋2a2＝2－2a＋2a2－2. 令t＝x＋，則由x＞0，得t≥2. 所以|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2， 由|PA|取得最小值得 或， 解得a＝－1或a＝

23、. 答案：－1， 14．設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0, 3]上是“關聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍是________． 解析：由題意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有兩個不同的零點．在同一直角坐標系下作出函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖像如圖所示，結合圖像可知， 當x∈[2,3]時， y＝x2－5x＋4∈， 故當x∈時，函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖像有兩個交點． 答案：