高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第六章 ：第四節(jié)基本不等式突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第四節(jié)　基本不等式 考點一 利用基本不等式證明不等式 　 [例1]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. [自主解答]?。?，[來源:數(shù)理化網(wǎng)] ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. 【互動探究】 保持例題條件不變，證明： ＋ ≤2. 證明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴ ＋ ＝ ＋ ≤＋＝＝＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝時等號成立．　　　　 【方法規(guī)律】 利用基本不等式證明不等

2、式的方法技巧 利用基本不等式證明不等式時，要充分利用基本不等式及其變形，同時注意基本不等式成立的條件．對待證明的不等式作適當(dāng)變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進(jìn)行證明． 設(shè)a、b均為正實數(shù)，求證：＋＋ab≥2. 證明：由于a、b均為正實數(shù)， 所以＋≥2 ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時等號成立， 又因為＋ab≥2 ＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝ab時等號成立， 所以＋＋ab≥＋ab≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝b＝時取等號. 高頻考點 考點二 利用基本不等式求最值　　 1．利用基本不等式求最值是高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題．[來源:]

3、 2．高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個命題角度： (1)知和求積的最值； (2)知積求和的最值； (3)構(gòu)造不等式求最值． [例2]　(1)(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] (2)(2013·山東高考)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為(　　) A．0 B. C．2 D. (3)(2013

4、83;天津高考)設(shè)a＋b＝2，b>0，則＋的最小值為________． [自主解答]　(1)因為2x>0,2y>0， 所以1＝2x＋2y≥2＝2， 故≤，即2x＋y≤＝2－2， 所以x＋y≤－2. (2)＝＝＋－3≥2 －3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時等號成立． 此時z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2. ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2， ∴當(dāng)y＝1，x＝2，z＝2時，x＋2y－z取最大值，最大值為2. (3)∵a＋b＝2，b>0，∴b＝2－a>0，得a<2.

5、 令t＝＋＝＋， ①當(dāng)0<a<2時，[來源:] t＝＋＝＋＋≥＋2 ＝，[來源:] 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2a，a＝∈(0,2)時，t取得最小值為. ②當(dāng)a<0時， t＝－－＝－＋＋≥－＋2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)－＝－，即b＝－2a，a＝－2時，t取得最小值為.∵>，∴＋的最小值為. [答案]　(1)D　(2)C　(3) 利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略 (1)知和求積的最值．求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”．但應(yīng)注意以下兩點：①具備條件——正數(shù)；②驗證等號成立． (2)知積求和的最值．明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不

6、等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件． (3)構(gòu)造不等式求最值．在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解． 1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有(　　) A．最大值為0 B．最小值為0 C．最大值為－4 D．最小值為－4 解析：選C　∵x<0，∴－x>0， ∴x＋－2＝－－2≤－2 －2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝－，即x＝－1時等號成立． 2．(2014·衢州模擬)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則的最小值為________． 解析：＝＝

7、3;＝5＋2≥5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，取等號． 答案：9 3．(2013·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________. 解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝時等號成立，此時a＝4x2，由已知x＝3時函數(shù)取得最小值，所以a＝4×9＝36. 答案：36 考點三 基本不等式的實際應(yīng)用 　 [例3]　為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝

8、4－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)． (1)將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)； (2)該廠家2014年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？ [自主解答]　(1)由題意有1＝4－， 得k＝3，故x＝4－. 故y＝1.5××x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6－t＝27－－t(t≥0)． (2)由(1)知：y＝27－－

9、t＝27.5－. 基本不等式 ＋≥2×＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝t＋，即t＝2.5時等號成立． 故y＝27－－t＝27.5－≤27.5－6＝21.5. 當(dāng)且僅當(dāng)＝t＋，即t＝2.5時，等號成立，y有最大值21.5. 所以2014年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元． 【方法規(guī)律】 解實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的問題 (1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)； (2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值； (3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求． (4)有些

10、實際問題中，要求最值的量需要用幾個變量表示，同時這幾個變量滿足某個關(guān)系式，這時問題就變成了一個條件最值，可用求條件最值的方法求最值． 某單位建造一間地面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m．房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，房頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用．當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？ 解：由題意可得，造價y＝3＋5 800＝900＋5 800(0<x≤5)， 則y＝900＋5 800≥900×2 ＋5 800＝13 000(元)，當(dāng)

11、且僅當(dāng)x＝，即x＝4時取等號． 故當(dāng)側(cè)面的長度為4米時，總造價最低． ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個技巧——公式的逆用 　運(yùn)用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等，還要注意“添”“拆”項技巧和公式等號成立的條件等． 2個變形——基本不等式的變形 　(1)≥2≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)； (2) ≥≥≥(a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng) a＝b時取等號)． 3個注意點——利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題 　(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可． (2)在運(yùn)用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．[來源:] (3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品