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第五節(jié) 橢 圓
【考綱下載】
1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)．
2．了解圓錐曲線的簡單應用．
3．理解數(shù)形結(jié)合的思想．
1．橢圓的定義
(1)滿足以下條件的點的軌跡是橢圓
①在平面內(nèi)；
②與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)；
③常數(shù)大于|F1F2|.
(2)焦點：兩定點．
(3)焦距：兩焦點間的距離．
2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
圖
形
性[來源:]
[來源:]
質(zhì)
范圍
－a
2、≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，[來源:]
－a≤y≤a[來源:]
對稱性
對稱軸：坐標軸，
對稱中心：(0,0)
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a，
短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c
的關系
c2＝a2－b2
1．在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，則動點的軌跡如何？
提示：當2a＝|F1F2|時動點的軌跡是線段F1F
3、2；當2a<|F1F2|時，動點的軌跡是不存在的．
2．橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？
提示：離心率e＝越接近1，a與c就越接近，從而b＝就越小，橢圓就越扁平；同理離心率越接近0，橢圓就越接近于圓．
1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：選A 根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6.
2．橢圓＋＝1的離心率為( )
A.
4、 B. C. D.
解析：選D 在橢圓＋＝1中，a2＝16，b2＝8，所以c2＝a2－b2＝8，即c＝2，因此，橢圓的離心率e＝＝＝.
3．橢圓＋＝1的右焦點到直線y＝x的距離是( )
A. B. C．1 D.
解析：選B 在橢圓＋＝1中，a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝4－3＝1，因此，其右焦點為(1,0)．該點到直線y＝x的距離d＝＝.
4．已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓的離心率為________．
解析：橢圓2x2＋3y2＝m(m>0)可化為＋
5、＝1，所以c2＝－＝，因此e2＝＝＝，即e＝.
答案：
5．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________.
解析：橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋＝1，
因為其焦點在y軸上，∴a2＝，b2＝1，
依題意知 ＝2，解得m＝.
答案：
壓軸大題巧突破(一)
與橢圓有關的綜合問題求解
[典例] (2013天津高考)(13分)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為， 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設A, B分別為橢圓的左、右頂點， 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若＋
6、＝8，求k的值．
[化整為零破難題]
(1)基礎問題1：如何得到a與c的關系？
利用橢圓的離心率．
基礎問題2：如何求過F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長？
直線x＝－c與橢圓相交，兩交點的縱坐標之差的絕對值就是線段的長．
(2)基礎問題1：如何求A，B兩點的坐標？
A，B分別為左右頂點即為(－a,0)，(a,0)．
基礎問題2：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，如何尋找x1＋x2，x1x2呢？
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程．利用根與系數(shù)關系即可得到．
基礎問題3：如何表示＋？
利用向量的坐標運算即可．
[規(guī)范解答不失分]
(1)設
7、F(－c,0)，由＝，知a＝c，
過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，
代入橢圓方程有＋＝1，
解得①
于是＝，解得b＝，則b2＝2.2分
又因為a2－c2＝b2，從而a2＝3，c2＝1，
所以所求橢圓的方程為＋＝1.4分
(2)②
由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，
由方程組
消去y得③
6分
根據(jù)根與系數(shù)的關系知x1＋x2＝－，
x1x2＝.8分
因為A(－，0)，B(，0)，
所以＋
=④
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.11分
由已知得6＋＝8，解得k＝.13分
[易錯警示要牢記]
易錯點一
①處易用a，b，c三個量來表示y，造成運算大而出現(xiàn)錯誤，原因是忽略a，b，c三者的關系
易錯點二
②處易忽略設點，而后面直接用根與系數(shù)的關系，造成不嚴謹，出現(xiàn)錯誤
易錯點三
③方程整理錯誤
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高考數(shù)學復習：第八章 ：第五節(jié)橢圓回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
