高考數(shù)學復習:第九章 :第六節(jié)數(shù)學歸納法回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第六節(jié) 數(shù)學歸納法 1.了解數(shù)學歸納法的原理. 2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題. [來源:數(shù)理化網(wǎng)] 1.數(shù)學歸納法 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行: (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立; (2)(歸納遞推)假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 2.數(shù)學歸納法的框圖表示 對于不等式

2、 (1)當n=1時,<1+1,不等式成立. (2)假設當n=k(k∈N*且k≥1)時,不等式成立,即

3、*),則f(1)為(  ) A.1 B. C.1++++ D.非以上答案 解析:選C ∵f(n)=1+++…+, ∴f(1)=1+++…+=1++++. 3.某個命題與自然數(shù)n有關,若n=k(k∈N*)時命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得(  ) A.n=6時該命題不成立 B.n=6時該命題成立 C.n=4時該命題不成立 D.n=4時該命題成立 解析:選C 因為當n=k(k∈N*)時命題成立,則當n=k+1時,命題也成立.現(xiàn)n=5時,命題不成立,故n=4時命題

4、也不成立. 4.(教材習題改編)用數(shù)學歸納法證明1+++…+1),第一步要證的不等式是________________. 解析:當n=2時,左邊為1++=1++,右邊為2.故應填1++<2. 答案:1++<2 5.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當n=k+1時,左端應在n=k的基礎上增添的代數(shù)式是_____________________________________________________________. 解析:∵當n=k時,左側(cè)=1+2+3+…+k2, 當n=k+1時,左側(cè)=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1

5、)2, ∴當n=k+1時,左端應在n=k的基礎上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.[來源:] 答案:(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 前沿熱點(十四) 數(shù)學歸納法的應用 數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法,常與數(shù)列、函數(shù)等知識結(jié)合一起考查,常以解答題的形式出現(xiàn),具有一定的綜合性和難度,屬中高檔題. [典例] (2012湖北高考改編)已知函數(shù)f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0

6、,若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2; (2)請將(1)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題. [解題指導]  (1)對于不等式的證明要注意利用已知條件進行突破; (2)本問數(shù)學歸納法的運用相對而言難度高,運算量大,在歸納證明時一要細心運算,二要注意假設條件的恰當運用.[來源:] [解] (1)由已知,當x∈(0,+∞)時,有f(x)≥f(1)=0, 即xr≤rx+(1-r).① 若a1,a2中有一個為0,則ab11ab22≤a1b1+a2b2成立. 若a1,a2均不為0,由b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是在①中令x=,r=b1

7、,可得b1≤b1+(1-b1), 即ab11a1-b12≤a1b1+a2(1-b1),亦即ab11ab22≤a1b1+a2b2. 綜上,對a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),且b1+b2=1,總有ab11ab22≤a1b1+a2b2.②[來源:] (2)(1)中命題的推廣形式為: 設a1,a2,…,an為非負實數(shù),b1,b2,…,bn為正有理數(shù). 若b1+b2+…+bn=1, 則ab11ab22…abnn≤a1b1+a2b2+…+anbn,③ 用數(shù)學歸納法證明如下: a.當n=1時,b1=1,有a1≤a1,③成立. b.假設當n=k時,③成立,即若a1,a2,…,ak為

8、非負實數(shù),b1,b2,…,bk為正有理數(shù),且b1+b2+…+bk=1, 則ab11ab22…abkk≤a1b1+a2b2+…+akbk. 當n=k+1時,已知a1,a2,…,ak,ak+1為非負實數(shù),b1,b2,…,bk,bk+1為正有理數(shù),且b1+b2+…+bk+bk+1=1, 此時00, 于是ab11ab22…abk+1k+1=(ab11ab22…abkk)abk+1k+1 =a1a2…ak1-bk+1abk+1k+1. 因為++…+=1,由歸納假設可得a1a2…ak≤a+a2+…+ak=. 從而ab11ab22…abkkabk+1k+1 ≤

9、1-bk+1abk+1k+1. 又因為(1-bk+1)+bk+1=1,由②得 1-bk+1abk+1k+1 ≤(1-bk+1)+ak+1bk+1 =a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1, 從而ab11ab22…abkkabk+1k+1≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1. 故當n=k+1時,③成立. 由a,b可知,對一切正整數(shù)n,所推廣的命題成立. [名師點評] 解決數(shù)學歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時要特別關注: 一是需驗證n=1,n=2時結(jié)論成立,易忽略驗證n=2; 二是需要熟練掌握數(shù)學歸納法幾種常見的推證技巧,才能快速正確

10、地解決問題. 除此外,應用數(shù)學歸納法時,以下幾點容易造成失分: 1.把初始值搞錯; 2.在推證n=k+1時,沒有用上歸納假設; 3.對項數(shù)估算的錯誤,特別是尋找n=k與n=k+1的關系時,項數(shù)發(fā)生的變化被弄錯. 數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*). (1)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0;[來源:] (2)求c的取值范圍,使{xn}是遞增數(shù)列. 解:(1)證明:先證充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c

11、設{xn}是遞增數(shù)列.由x1=0,得x2=c,x3=-c2+2c. 由x10,即xn<1-. 由②式和xn≥0還可得,對任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③ 反復運用③式,得-xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1, xn<1-和 -xn<(1-)n-1兩式相加,知2-1<(1-)n-1對任意n≥1成立. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=(1-)n的性質(zhì),得2-1≤0,c≤,故0

12、(Ⅱ)若00, 即證xn< 對任意n≥1成立. 下面用數(shù)學歸納法證明當0xn,即{xn}是遞增數(shù)列. 由①②知,使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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