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第四節(jié) 合情推理與演繹推理
【考綱下載】
1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.
[來源:]
1.合情推理
(1)歸納推理
①定義:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理.
②特點(diǎn):是由部分到整體、由個別到一般的推理.
(2)類比推理[來源:]
①
2、定義:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理.
②特點(diǎn):是由特殊到特殊的推理.
2.演繹推理
(1)模式:三段論
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情況;
③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷.
(2)特點(diǎn):是由一般到特殊的推理.
1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎?
提示:不一定,結(jié)論是否真實(shí),還需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).
2.演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎?
提示:不一定,只有前提是正確的,推理形式是正確的,結(jié)論才一定是真實(shí)的,錯誤的前提則可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論.
1.下列
3、表述正確的是( )
①歸納推理是由部分到整體的推理;
②歸納推理是由一般到一般的推理;
③演繹推理是由一般到特殊的推理;
④類比推理是由特殊到一般的推理;
⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③ B.②③④
C.②④⑤ D.①③⑤
解析:選D 由歸納推理、類比推理及演繹推理的特征可知①③⑤正確.
2.下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì);
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180;
③某次考試張軍成績是100分,由此推出全班同學(xué)成績都是100分;
4、
④三角形的內(nèi)角和是180,四邊形的內(nèi)角和是360,五邊形的內(nèi)角和是540,由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n-2)180.
A.①② B.①③ C.①②④ D.②④
解析:選C?、偈穷惐韧评?,②④是歸納推理,③是非合情推理.[來源:]
3.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯誤在于( )
A.大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯
B.小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯
C.推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯
D.大前提和小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯
解析:選A 當(dāng)a>1時,y=ax為增函數(shù);當(dāng)0
5、函數(shù).故大前提錯誤.
4.在平面上,若兩個正三角形的邊長的比為1∶2,則它們的面積比為1∶4.類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長的比為1∶2,則它們的體積比為________.
解析:因?yàn)閮蓚€正四面體的棱長的比為1∶2,則底面積之比為1∶4,底面對應(yīng)的高之比是1∶2,所以體積之比為1∶8.
答案:1∶8
5.(教材習(xí)題改編)在△ABC中,不等式++≥成立;在四邊形ABCD中,不等式+++≥成立;在五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立,猜想,在n邊形A1A2…An中,成立的不等式為________.
解析:∵9=32,16=42,25=52,且1=3-2,2=4-2,3=5-2
6、,…,故在n邊形A1A2…An中,有不等式++…+≥成立.
答案:++…+≥(n≥3)
前沿?zé)狳c(diǎn)(十三)
與歸納推理有關(guān)的創(chuàng)新交匯題
1.歸納推理主要有數(shù)與式的歸納推理、圖形中的歸納推理、數(shù)列中的歸納推理;類比推理主要有運(yùn)算的類比、性質(zhì)的類比、平面與空間的類比,題型多為客觀題.
2.解決此類問題首先要通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律);然后把這種相似性推廣到一個明確表述的一般命題(猜想);最后對所得的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn).
[典例] (2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,….若
7、b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,則 ( )
A.{Sn}為遞減數(shù)列
B.{Sn}為遞增數(shù)列
C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列
D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列
[解題指導(dǎo)] 先確定三角形的一邊長不變及周長不變,利用另兩邊最接近的時候面積最大等知識求解.
[解析] 在△A1B1C1中,b1>c1,b1+c1=2a1,∴b1>a1>c1.
在△A2B2C2中,a2=a1,b2=,c2=,b2+c2=2a1,∴c1
8、c3=2a1,
∴a1
9、標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4.
(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是________;
(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=________(用數(shù)值作答).
解析:(1)由定義知,四邊形DEFG由一個等腰直角三角形和一個平行四邊形構(gòu)成,其內(nèi)部格點(diǎn)有1個,邊界上格點(diǎn)有6個,S四邊形DEFG=3.[來源:]
(2)由待定系數(shù)法可得,
?
當(dāng)N=71,L=18時,S=171+18-1=79.
答案:(1)3,1,6 (2)79
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